Диссертация (Структура решений теории гравитации, основанной на изометрических вложениях), страница 12

Для max8732F (ρ τ)10−1012345ρ τ /ΛРис. 3.2: График функции ( ). Максимум при > 0 достигается вточке = 2Λ.можно получить оценку сверхуmax 6 √1.κΛ(3.45)Параметр достигает значения max либо асимптотически (если соотношение (3.42) становится равенством), либо за конечное время, послекоторого расширение сменяется сжатием.Теперь рассмотрим случай, когда − 23 Λ < 0 < 0, а значит, , < 0(отметим, что изображенная на рис.

3.1 функция ( ) имеет минимумпри = − 32 Λ). Снова учитывая предположение ˙ 0 > 0, из рис. 3.1 легко заметить, что в этом случае с течением времени будет происходитьдвижение по графику вправо, в сторону уменьшения | |. При этом, каквидно из рис. 3.2, значения функции ( ) будут уменьшаться, а значит, для = 1 правая часть уравнения (3.41) будет отделена от нуля ееначальным значением. Если же = 0, −1, то она тоже отделена от нуля положительной константой, поэтому при in из указанного диапазонаобязательно будет иметь место инфляция, в процессе которой будет88монотонно уменьшаться, приближаясь при → ∞ к нулю со стороныотрицательных значений.И, наконец, рассмотрим случай, когда −Λ < < − 23 Λ, при этом снова , < 0.

Снова учитывая предположение ˙ 0 > 0, из рис. 3.1 легко заметить, что в этом случае с течением времени будет происходить движениепо графику влево, в сторону увеличения | |. Если = 1, то, как видноиз рис. 3.2, при некотором значении max правая часть уравнения (3.41)обязательно обратится в ноль, в результате чего расширение сменитсясжатием. Для величины max в этом случае можно получить оценку(κΛ20 )3/2.max 6 018(3.46)Сжатие будет происходить вплоть до достижения минимально возможного значения параметра , соответствующего точке = − 32 Λ, в которой изображенная на рис.

3.1 функция имеет минимум. Анализируяуравнения в окрестности этой точки, можно показать, что она будет достигнута за конечное время, с конечным значением величины ,˙ однакопри стремлении к ней величина ¨ будет стремиться к бесконечности. Каквидно из уравнения (3.36), это означает обращение в бесконечность величины , т. е. пространственных компонент тензора Эйнштейна, а значит,говорит о том, что классические уравнения в окрестности этой точки ужене применимы.Если же = 0, −1, то правая часть уравнения (3.41) не обращаетсяв ноль при конечных значениях , но, в отличие от рассмотренных выше случаев, приводящих к инфляции, она не отделена от нуля положительной константой. Проанализируем, как будет происходить расширениеВселенной в этом случае.

Как видно из формулы (3.40), после увеличения параметра всего в несколько раз значение станет близко к −Λ иможно будет воспользоваться асимптотикой ≈ −Λ +2.Λ 2 8(3.47)Подстановка этой асимптотики в уравнение (3.39) приводит его к виду:89(︃ )︃2˙κ 2= 2 8 − 2.3Λ (3.48)Из этого уравнения следует, что для = 0 расширение будет происходить по закону ∼ 1/4 , а для = −1 сначала, возможно, по этому жезакону, а затем (когда второе слагаемое в правой части (3.47) начнет играть главную роль) по закону ∼ .

Таким образом, расширение будетиметь медленный степенной характер (без ускорения) и инфляция отсутствует.Собирая вместе результаты, полученные для всех рассмотренных случаев, можно для первой классической эпохи, в которую главную рольиграет имитирующая Λ-член материя, сделать следующие заключения.Для открытой и пространственно-плоской моделей Фридмана ( = −1, 0)инфляция происходит (реализуется «инфляционный» сценарий) если выполняется условие 0 > − 32 Λ, которое, используя (3.36), можно записатьв виде ограничения на начальные данные˙ 20 + 1>κ Λ 20 9(3.49)(соответствующая область значений начальных данных показана нарис.

3.3 горизонтальной штриховкой). Если же это условие нарушено,то вместо инфляции происходит медленное степенное расширение Вселенной, несмотря на то, что тензор энергии импульса материи сводится квкладу Λ-члена. Причиной этого является быстро происходящая полнаякомпенсация вклада Λ-члена вкладом в уравнении (3.11). Назовемтакой вариант расширения Вселенной «компенсационным» сценарием.Для закрытой модели Фридмана ( = 1) «инфляционный» сценарий реализуется, если одновременно выполнено условие (3.48) и хотя бы одноиз условий (3.43) или (3.44). В противном же случае расширение Вселенной происходит только до некоторого конечного значения параметра ,для которого верна одна из оценок сверху (3.45) или (3.46).

Этот случайназовем «ограниченным» сценарием.9010.80.6ρ inτ >0ȧ2in− 23 Λ <ρ inτ <00.40.2002−Λ <ρ inτ <− 3 Λ36æΛa2in912Рис. 3.3: Области значений начальных данных, приводящих к инфляциив закрытой модели Фридмана.Заметим, что во всех случаях реализации «инфляционного» сценариявеличина стремится к нулю при → ∞. Используя формулы (3.33) и(3.35) легко определить характер стремления к нулю величин и втаком пределе:1+ 0Λ√︃ ≈ 0(︃0)︃4,1 ≈ .3(3.50)Поскольку именно эти величины показывают, насколько динамикатеории вложения в рамках симметрии Фридмана отличается от эйнштейновской динамики, можно заключить, что при реализации «инфляционного» сценария к концу инфляции отклонения от точного выполненияуравнений Эйнштейна становятся чрезвычайно малы.

Отметим, что дляоставшихся двух возможных сценариев — «компенсационного» и «ограниченного» — это не так.913.4Динамика лишних решений после инфляцииПредположим, что реализовался «инфляционный» сценарий, и проанализируем, как происходит расширение Вселенной в эпохах, следующих после завершения инфляции. В процессе инфляции величина уменьшалась в соответствии с формулой (3.50), а менялось очень медленно. Поэтому к концу инфляции и сразу после нее выполнялось соотношение ≪ , используя которое из соотношения (3.35) легко получитьприближенную формулу ≈ √ 4 .(3.51)Если предположить, что величина (˙ )/( )˙ ограничена некоторойконстантой (как будет видно далее, это верно для любой эпохи после инфляции), то из уравнения (3.33) легко получить, что по модулю неможет сильно превышать .

Поэтому если ≪ 1, то это означает, чтоуравнения Эйнштейна (в рамках симметрии Фридмана) выполняются схорошей точностью, поскольку в уравнении (3.10) вклад мал по сравнению с .Используя известные зависимости () для эпох, в которые играютглавную роль разные виды материи, с помощью (3.50) легко получитьзависимость от величин и для этих эпох, в предположении, чтосоотношение ≪ остается верным.

Эти зависимости имеют вид:в конце эпохи инфляции() ∼ 0 , () ∼ −4 ,() ∼ −4 ;(3.52)() ∼ 2 ;(3.53)в эпоху ультрарелятивистской материи() ∼ −4 , () ∼ −2 ,92в эпоху нерелятивистской материи() ∼ −3 , () ∼ −5/2 ,() ∼ 1/2 .(3.54)В эпоху, к началу которой относится настоящий момент времени, длякоторой главный вклад в дает Λ-член («темная энергия»), верны те жезависимости, что для эпохи инфляции, т. е. формулы (3.52).Интересно отметить, что в эпохи как ультрарелятивистской, так инерелятивистской материи величина , показывающая степень отклонения от точного выполнения уравнений Эйнштейна, начинает расти.Мы уже упоминали, что для решения известных проблемы теории горячего Большого взрыва, необходимо (см., например, [2]), чтобы за времяинфляционного периода масштабный фактор вселенной вырос не менеечем в 60 раз.

Чтобы это обеспечить, прежде всего предположим, как этообычно делается, что в начальный момент во Вселенной главную рольиграет материя, имитирующая Λ-член. Как показано выше, для теориивложения даже в этом случае инфляции может не быть: при реализации"ограниченного» сценария расширение сменяется сжатием, причем максимальный размер Вселенной при этом не может сильно превышать pl(см. оценки (3.44), (3.45)), а при реализации "компенсационного» сценария расширение происходит неограниченно, но идет по степенному закону, без ускорения.

Поэтому дополнительно предположим, что для нашейВселенной начальные данные оказались таковы, что по крайней мере внекоторой области реализовался «инфляционный» сценарий. При этомбудем считать, что в рассматриваемой области, которая затем перейдетв ныне видимую область вселенной, достаточно точно выполняется симметрия Фридмана. Отметим, что, как видно из расчетов, вероятность реализации именно «инфляционного» сценария не меньше, чем двух других.Исходя из того, что за время инфляции Вселенная расширилась неменее чем в 60 раз, и используя (3.37), значение величины к концуинфляции с точностью до нескольких порядков можно оценить как .

−240 ≈ 10−104 ,93(3.55)т. е. оно становится очень мало. Однако, согласно (3.52) и (3.53), в эпохи ультрарелятивистской и нерелятивистской материи значение увеличивается. Считая, что к концу инфляции плотность не должна иметьзначение, большее, чем планковское, можно оценить сверху число раз, вкоторое Вселенная могла увеличиться за время эпохи ультрарелятивистской материи, как 1029 . За время же эпохи нерелятивистской материи произошло расширение не более чем в 104 раз. Тогда, используя (3.52),(3.53)к концу эпохи нерелятивистской материи значение величины можнооценить как . 10−44 ,(3.56)причем в последующую эпоху темной энергии уже не растет, см. (3.37).Таким образом, несмотря на возможность роста в некоторые эпохи, величина остается чрезвычайно малой во все моменты времени после окончания инфляции. Это означает (см.

обсуждение после формулы (3.51)),что в течение всего этого времени величина является лишь очень малой поправкой к , т. е. в рамках симметрии Фридмана с очень хорошейточностью выполняются уравнения Эйнштейна.Для того чтобы понять, с какой точностью будут выполняться уравнения Эйнштейна после инфляции в теории вложения вне рамок симметрии Фридмана, необходимо проанализировать поведение флуктуацийвеличины . Как упоминалось во Введении, если эйнштейновские связи точно выполняются в некоторый момент времени, то это приводит кточному выполнению всех уравнений Эйнштейна при дальнейшем развитии системы (технические предположения, необходимые для доказательства этого утверждения, указаны в [73]).

Это дает основания надеяться,что, поскольку уравнения Эйнштейна (а значит, в частности, эйнштейновские связи) выполняются с очень хорошей точностью (3.55) в моментывремени, когда отклонения от симметрии Фридмана малы, то они будутдостаточно точно выполняться и во все последующие моменты времени.Таким образом, кажется наиболее вероятным, что флуктуации величины будут всегда оставаться очень малы.94Отметим, однако, что если эти флуктуации все-таки окажутся достаточно велики, чтобы их влияние было заметным, введенная формально -материя, возможно, будет в какой-то степени играть роль темной материи. Но для того, чтобы она могла играть такую роль в масштабахВселенной, т.