Автореферат (Стационарная система Максвелла в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами)

Федеральное Государственное бюджетное образовательное учреждение высшегопрофессионального образования Санкт-Петербургский ГосударственныйУниверситетНа правах рукописиПорецкий Александр СергеевичСтационарная система Максвелла в волноводахс несколькими цилиндрическими выходамиСпециальность 01.01.03 —«Математическая физика»Авторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург — 2015Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский Государственный УниверситетНаучный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорПламеневский Борис АлексеевичОфициальные оппоненты: Борисов Денис Иванович,доктор физико-математических наук,Институт математики с вычислительным центромУфимского научного центра РАН,ведущий научный сотрудникКачалов Александр Павлович,доктор физико-математических наук, профессор,Санкт-Петербургское отделение Математическогоинститута им.

В.А. Стеклова РАН,ведущий научный сотрудникВедущая организация:Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессиональногообразования «Санкт-Петербургский государственныйуниверситет телекоммуникаций им. проф. М.А. БончБруевича»Защита состоится 17 сентября 2015 г. в 15 часов на заседании диссертационногосовета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском Государственном Университете поадресу: Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43, ауд. 304.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького СПбГУи на сайте http://spbu.ru/science/disser.Автореферат разосланУченый секретарьдиссертационного советаД 212.232.24, д.ф.-м.н.2015 года.АксеноваЕлена ВалентиновнаОбщая характеристика работыАктуальность темы.

Классическими задачами теории электромагнитныхволноводов являются задача рассеяния (дифракции) электромагнитной волны нанеоднородностях волновода и задача возбуждения электромагнитного поля заданными зарядами и токами. Среди многочисленных математических работ, посвященныхизучению этих задач, выделим два направления. В работах одного направлениярассматриваются цилиндрические волноводы с заполняющей средой, не меняющейся вдоль оси волновода, при этом предполагается, что заряды и токи имеюткомпактный носитель; допускаются также некоторые локальные возмущения (вограниченной области) формы волновода и характеристик среды (см. работы [1–3]и указанную там литературу). Другое направление связано с нахождением приближенных решений задач в двумерных модельных областях при помощи методовВинера-Хопфа и сшивания.

Рассматриваются ситуации, где система Максвелласводится к уравнению Гельмгольца, а волновод распадается на конечное числомодельных областей. Обзоры таких методов имеются в монографиях [4–6].Актуальной проблемой является расширение класса электромагнитныхволноводов, допускающих математически строгое исследование, и развитие математической теории рассеяния для таких волноводов, в частности, определение матрицырассеяния с позиций этой теории, развитие асимптотических методов исследованияэтой матрицы, разработка и обоснование метода ее приближенного вычисления.В настоящей работе мы отказываемся от ограничений, связанных с цилиндрической формой волновода, и допускаем волноводы, имеющие любое конечноечисло цилиндрических выходов на бесконечность; в ограниченной области волноводможет иметь произвольную форму с гладкой границей.

Для таких волноводов мыформулируем и обосновываем принцип излучения, вводим матрицу рассеяния,зависящую от спектрального параметра и определенную на непрерывном спектреволновода. Для всех значений спектрального параметра эта матрица являетсяунитарной и имеет конечный размер, который меняется на порогах и остаетсяпостоянным между двумя соседними порогами. Кроме того в работе предлагаетсяи обосновывается метод приближенного вычисления матрицы рассеяния.Мы не используем ни методов, ни результатов работ, упомянутых в первомабзаце. Отправной точкой нашего исследования является расширение оператораМаксвелла до оператора эллиптической краевой задачи. Речь идет об “ортогональном” расширении, предложенном в работах Гудович, Крейна и Куликова [7].Такое расширение использовалось, в частности, в работах Бирмана и Соломяка [8]при изучении спектра оператора Максвелла в областях с негладкой границей.Эллиптические краевые задачи (для систем уравнений) в волноводах с несколькимицилиндрическими выходами изучались в монографии Назарова и Пламеневского [9].3В частности, была предложена корректная постановка задачи с естественнымиусловиями излучения и определена унитарная матрица рассеяния.

По существу, этаматрица определена на непрерывном спектре волновода и при любом значенииспектрального параметра имеет конечный размер, равный кратности непрерывногоспектра волновода.После расширения системы Максвелла до эллиптической краевой задачи мывыясняем специфические свойства этой задачи. В частности, проводится подробноеизучение операторных пучков, порожденных эллиптической задачей. Затем изсведений, полученных об эллиптической задаче, извлекается информация о системеМаксвелла.Цели и задачи работы:1. Обоснование для системы Максвелла в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами «принципа излучения», т.е.

корректной постановки задачи сестественными условиями излучения,2. Описание непрерывного спектра волновода, определение матрицы рассеяния иизучение ее свойств,3. Исследование поведения матрицы рассеяния в окрестности порогов,4. Формулировка и обоснование метода приближенного вычисления матрицырассеяния.Научная новизна.

Для волноводов сведение системы Максвелла к эллиптической краевой задаче применяется впервые (вероятно, из-за того, что теория волноводов для эллиптических систем была развита в достаточной общности сравнительно недавно). Впервые рассматривается электромагнитный волновод с несколькимицилиндрическими выходами; предполагается, что волновод пустой (матрицы диэлектрической и магнитной проницаемости единичные) и имеет идеально проводящуюграницу.

Основные результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми:1. Обоснована корректная постановка задачи с естественными условиями излучения(принцип излучения). Естественные условия излучения означают, что главныйчлен асимптотики решения на бесконечности содержит только уходящие волны.Задача с такими условиями имеет единственное решение, которое непрерывнозависит от правой части.2. Описан непрерывный спектр волновода, на непрерывном спектре определена матрица рассеяния и изучены ее свойства. Матрица рассеяния является унитарнойи имеет конечный размер, который меняется на порогах и остается постоянныммежду двумя соседними порогами.3.

На интервалах между порогами матрица рассеяния аналитически зависит отспектрального параметра, а на порогах имеет конечные правый и левый пределы.В окрестности порога определяется расширенная матрица рассеяния, которая ана4литически зависит от спектрального параметра. Поведение (обычной) матрицырассеяния в окрестности порогов описывается в терминах расширенной матрицы.4. Предложен и обоснован метод приближенного вычисления матрицы рассеянияна всем непрерывном спектре, в том числе в окрестности порогов (возможноеприсутствие собственных значений волновода на непрерывном спектре невлияет на формулировку метода).

В качестве приближения для строки матрицырассеяния служит минимизатор некоторого квадратичного функционала. Длятого чтобы построить этот функционал, решается вспомогательная задача вограниченной области. При увеличении размера области минимизатор сходитсяк строке матрицы рассеяния с экспоненциальной скоростью.Научная и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты расширяют возможности теории электромагнитныхволноводов, в частности включают в рассмотрение ветвящиеся волноводы (волноводы с несколькими цилиндрическими выходами). Изучение электромагнитного поля,возникающего в таких волноводах, представляет практический интерес, в частности,при проектировании оптоволоконных сетей.

Возбуждение волн зарядами и токамиописывается принципом излучения, а распространение волн описывается матрицейрассеяния. Метод приближенного вычисления матрицы рассеяния позволяет проводить компьютерное моделирование реального процесса распространения волн вветвящихся волноводах.Предложенная методика может быть использована для дальнейшего развитиятеории, в частности, для изучения волноводов с неоднородным заполнением, дляисследования задачи с учетом поглощения и др.Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры Высшей математики и математическойфизики, а также на международных конференциях:1. Days on Diffraction 2012, Russia, St.

Petersburg, 2012. (устный доклад)2. The Fourth St. Petersburg Conference in Spectral Theory, Russia, St. Petersburg, 2012.(устный доклад)3. European Congress on Computational Methods in Applied Sciences (ECCOMAS2012), Austria, Vienna, 2012. (устный доклад)4. The Seventh International Conference on Differential and Functional DifferentialEquations, Russia, Moscow, 2014. (устный доклад)5.