Диссертация (Измерение малых энергий бета-распада нуклидов с использованием ионных ловушек Пеннинга), страница 7

По оси ординат отложено отклонение дефектамасс, вычисленное по i-ой формуле (MEi ) от среднего значения дефекта масс (MEсредн ),вычисленного по всем формулам. Черными кружками обозначены экспериментальныезначения из AME-2012 [49]. Видно сильное разногласие результатов в области неизвестныхмасс, т.е. отсутствие надежной предсказательной силы теоретических расчетов.28Глава 2. Физические свойства, лежащие в основе работы ловушкиПеннингаЕще в 1842 году [52] было отмечено, что удержание заряженных частиц в трех-мерномпространстве невозможно с использование только электростатического поля, или постоянно­го магнитного поля.

В терминах уравнений Максвелла [53] это понимается как отсутствиетрех-мерного потенциального экстремума в однородном пространстве, в котором, в лучшемслучае, может существовать только седловая точка. Однако при сочетании однородного маг­нитного поля и квадрупольного электростатического потенциала удержание заряженныхчастиц в трех-мерном пространстве все же возможно.

Первое описание устройства, осно­ванного на этом принципе было сделано в 1949 году [54] и было названо «магнетроннойловушкой». В 1959 году Ганс Демельт впервые реализовал эту идею на практике [55], за чтов 1989 был удостоен Нобелевской премии за огромный вклад по внедрению этих ловушек вобласти атомной спектроскопии, а также за высокоточные измерения g-фактора свободногоэлектрона [56; 57]. Свое изобретение Демельт назвал «ловушкой Пеннинга» в знак признанияФ.М.Пеннингу, выдвинувшему еще в 1936 году идею о радиальном удержании заряженныхчастиц в аксиальном магнитном поле в контексте вакуумных датчиков, хотя и без исполь­зования электростатического поля [58].

На сегодняшний день ловушки Пеннинга получилиширокое распространение в области высокоточных измерений масс атомов и элементарныхчастиц. Обширный обзор ловушек Пеннига и их применения можно найти, например, в ра­ботах [59—61].2.1Идеальная ловушка ПеннингаВ этом разделе дано краткое введение в физику идеализированной ловушки Пеннинга,в которой движение заряженной частицы рассматривается как суперпозиция трех неза­висимых гармонических осцилляций.

Более подробную информацию по теории ловушкиПеннинга можно найти в [62].2.1.1Траектория и частоты движения частицыЧастица с зарядом , движущаяся перпендикулярно линиям однородного магнитногополя = 0 ˆ со скоростью , удерживается в этом поле силой Лоренца = [ ×] . Угловаячастота вращения такого периодического движения для частицы с массой называется29«истинной циклотронной частотой» и равна:ω = · /.(2.1)Для создания гармонического осцилляторного потенциала в аксиальном направлении ис­пользуется статический электрический квадрупольный потенциал, выражаемый следующейформулой [63]:ϕ (,) =)︀0 (︀ 222−,42(2.2)где 0 — напряжение, приложенное к соответствующим электродам ловушки, и –радиальное и аксиальное расстояния от центра ловушки, соответственно. В первом при­ближении квадрупольный потенциал может быть, например, образован одним центральными двумя чашевидными электродами гиперболической формы, как показано на Рис.

2.1(а).Альтернативно, квадрупольный потенциал может быть создан одним центральным и двумяоконечными электродами цилиндрической формы (Рис 2.1(б)). Для создания гармоническогопотенциала во втором приближении дополнительно используются так называемые корректи­рующие электроды. Результирующий электрический потенциал изображена на Рис. 2.1(в).Характеристический размер ловушки задается следующим выражением:(︂)︂02122 +,(2.3) =2 02где 0 — внутренний радиус ловушки и 0 — минимальное аксиальное расстояние от цен­тра ловушки до оконечного электрода.

Теперь, в присутствие суперпозиции квадрупольного(а)(б)(в)электрод:оконечныйкорректирующийU0кольцевойU0корректирующийоконечныйРисунок 2.1 — Эскиз ловушки Пеннинга гиперболического (а) и цилиндрического (б) типа.Оба типа позволяют создать квадрупольный электрический потенциал в центре ловушки,эквипотенциальная поверхность которого изображена справа (в).электрического поля и однородного магнитного уравнение движения определяется полнойсилой Лоренца:(︁)︁ = −∇ϕ + × = ,(2.4)30где — радиус-вектор, направленный из центра ловушки в точку расположения иона.Решением такого уравнения будут три независимые моды гармонических колебаний с ча­стотами [62]:√︂0ω 1 √︀ 2±ω − 2ω2 ,(2.5)ω =,ω=±222где ω , ω− , ω+ — аксиальная, магнетронная и модифицированная циклотронная частоты,соответственно.

На Рис. 2.2 показан возможный вариант движения иона в ловушке Пеннинга,соответствующий некоторым значениям амплитуд собственных колебаний. Стоит отметить,что амплитуды колебаний могут варьироваться в широком диапазоне значений, а, следо­вательно, и результирующая траектория движения может быть сколь угодно разной. Изрезультирующиедвижениеаксиальноедвижениепроекция радиальных движений:модифицированноециклотронноемагнетронноеРисунок 2.2 — Пример возможной траектории движения заряженной частицы в идеальнойловушке Пеннинга, состоящей из трех независимых движений.

В аксиальном направлениичастица осциллирует между оконечными электродами с частотой ω . В радиальнойплоскости присутствуют два круговых движения: быстрое циклотронное движение счастотой ω+ , и медленное магнетронное на частоте ω− . Суперпозицией всех трехсобственных мод колебания является достаточно сложная траектория движения,обозначенная как результирующая.условия того, что подкоренные выражения в уравнениях 2.5 должны быть положительнымиможно получить следующие соотношения:| 2 ||| 2 > 2 20 ,0 > 0.(2.6)Эти соотношения являются критериями для стабильного удержания заряженной частицыв ловушке Пеннинга. Так, первое соотношение накладывает ограничение на минимальноемагнитное поле, требуемое для компенсации выталкивающей радиальной силы со стороныэлектрического поля.

Второе соотношение говорит о том, что для удержания отрицательно31заряженной частицы разность потенциалов 0 между оконечными и центральным электро­дами должна быть отрицательно, и наоборот, для удержания положительно заряженнойчастицы – положительна. Обычно, в ловушках Пеннига применяется сильное однородноемагнитное поле (несколько Тесла) и слабое электрическое поле (несколько десятков Вольт)так, что соблюдается следующая иерархия частот: ω− ≪ ω ≪ ω+ < ω (смотри, на­пример, Рис.

2.2).Сравнивая выражения в формулах 2.5, можно прийти к следующим важным соотно­шениям:ω = ω+ + ω− ,(2.7)ω2 = ω2+ + ω2− + ω2 ,(2.8)ω2 = 2ω+ ω− ,(2.9)Таким образом, свободная циклотронная частота ω может быть получена из комбинациисобственных частот по формуле (2.7) или (2.8). В то время, как первое соотношение вы­полняется строго только для идеальной ловушки, второе соотношение является более болееуниверсальным и выполняется строго, даже если ловушка до некоторой степени не идеальна.Стоит еще отметить, что амплитуды и фазы аксиального и радиального движений зависятот начальных параметров, т.е.

от координаты и вектора скорости заряженной частицы вмомент ее создания в ловушке или же в момент инжекции в ловушку.Поскольку на практике ω ≪ ω , то подкоренные выражения в формулах 2.5 могутбыть разложены в ряд Тейлора, и в первом приближении имеем:ω− ≈0,22 ω+ ≈ ω −0,22 (2.10)откуда легко видеть, что в первом порядке приближения магнетронная частота не зависитот массы иона, но только от электрического потенциала в центре ловушки 0 /22 и напря­женности магнитного поля .Численные значения параметров конкретной ловушки и используемого магнитного по­ля варьируются в достаточно широком диапазоне.

Так, например, для масс-спектрометраShiptrap, описанного в разделе 3.1), имеем следующий набор значений: 0 = 42 В, 0 = 16мм, 0 = 17 мм, = 7 Т. Для однократно заряженного иона с массовым числом = 100 соб­ственные частоты его колебаний в ловушке будут следующие: ω+ /2π ≈ 1.1 МГц, ω /2π ≈ 53кГц, ω− /2π ≈ 1.3 кГц.322.1.2Энергия заряженной частицы в ловушке ПеннингаВ классическом подходе полную энергию заряженной частицы с нулевым спином вловушке Пеннинга можно представить как сумму энергий каждой собственной моды ее ко­лебаний [64] согласно следующей формулы:tot =)︀ (︀)︀ 2 (︀ 2+ ω+ − ω+ ω− + 2 ω2 + 2+ ω2− − ω+ ω− ,⏞⏞⏟2⏟2 ⏞⏟2+(2.11)−где + , и − – амплитуда собственных колебаний.

Аксиальная энергия – это гар­монического осциллятора. В радиальной плоскости средняя кинетическая и потенциальнаяэнергии колебаний равны соответственно:±kin = 2 2 ω ,2 ± ±(2.12) 2± ω− ω+ = − 2± ω2 .(2.13)24С учетом типичной иерархии частот ω2− ≪ 2ω− ω+ = ω2 ≪ ω2+ получается, что полнуюэнергию модифицированного циклотронного движения почти полностью составляет кине­тическая энергия, в то время как в магнетронном движении доминирует потенциальнаяэнергия. Кроме того, полная кинетическая энергия магнетронного движения отрицатель­на, и, следовательно, является «метастабильным».

Уменьшение энергии ведет к увеличениюорбиты магнетронного движения и, если его радиус превышает радиус самой ловушки, ток потере самой частицы.Помимо вышеописанного классического подхода описания энергии движения иона,существует также и квантово-механический подход [62], где собственные моды движениярассматриваются как независимы гармонические осцилляторы с полной энергией (в случаебесспиновой частицы):)︂(︂)︂(︂)︂(︂111+ }ω +− }ω− − +,(2.14) = }ω+ + +222±pot = −где – квантовое число соответствующей моды колебаний. Если для примера взять те жечастоты, что приводились для установки Shiptrap в конце подраздела 2.2.1, то соответству­ющие энергии осцилляций равны: }ω+ = 5 нэВ, }ω = 0.2 нэВ и }ω− = 5 пэВ. В лучшемслучае, каждая из мод может находится в термическом равновесии с окружающей средой.Даже если эта среда криогенная (∼ 4 К), то энергия была бы ∼ 345 мкэВ, что соответствуетквантовому числу гораздо больше, чем 103 , что, в свою очередь, полностью оправдываетклассический подход для описания энергий частицы.332.1.3От циклотронной частоты к массеКак уже отмечалось, истинная циклотронная частота ω частицы с зарядом , вра­щающейся в магнитном поле , обратно пропорциональна ее массе (см.