Диссертация (Единый аналитический и вычислительный подход к решению квантовой задачи трёх тел), страница 8

Вообще говоря, радиусы вращений могут различаться, однако висследованных приложениях они были выбраны одинаковыми, так что в даль­нейшем будет использоваться одно значение для обеих координат, причёмтребуется ≥ для уравнений (1.74), и ≥ ′ для уравнения (1.71). Этитри уравнения имеют одинаковую структуру оператора (отличие только в по­тенциале), но различаются правыми частями. Например, краевая задача дляфункции [Φ0 ] имеет вид⎧ ∑︀(︁ [︀ ]︀)︁)︀ −1(︀ ⎪⎪ ′ − ′ Θ Θ [Φ0 ] ′ = −Θ Ψ0 0 ,⎪⎨ ′ =0 Θ Θ [Φ0 ]ограничена во всём пространстве,⎪⎪⎪⎩ [Φ ] → 0 при , → ∞,Θ0 (1.88)для всех = 0, . .

. , . Последнее условие при переходе к численной аппрок­симации записывается в виде [Φ0 ] (max , , ) = [Φ0 ] ( , max , ) = 0при некотором выбранном параметре max > . Важно отметить, что выбран­ное комплексное вращение не изменяет функцию [Φ0 ] в области , < .Задача (1.88) является замкнутой и может быть решена без привлечения допол­нительных соображений.1.4.5. Представления для амплитуд рассеянияПри использовании метода комплексного вращения для решения задачирассеяния, полное решение задачи становится двухшаговой процедурой. Напервом шаге, решаются неоднородные уравнения (1.88) и строится волноваяфункция Ψ (1.75) в области , < . Решение уравнений осуществляется спомощью метода внешних комплексных вращений, т.е.

используются нулевыеграничные условия на бесконечности. Тем самым, знания амплитуд допусти­мых процессов рассеяния не требуется. На втором шаге, по уже построеннойволновой функции в области , < , находятся амплитуды рассеяния, от­вечающие интересующим нас процессам.Можно выделить два класса методов, позволяющих найти амплитуды про­46цессов рассеяния по построенной функции рассеяния: интегральные и асимпто­тические. Первые представляют амплитуды как линейные формы (интегралы)от волновой функций по всему конфигурационному пространству системы, или,по крайней мере, по его существенной части. Достоинством таких представле­ний является их более высокая точность и стабильность, а недостатком – боль­шая трудоёмкость вычисления соответствующих форм.

Кроме того, особенно вслучае кулоновских взаимодействий, не для всех амплитуд можно получить схо­дящиеся интегральные представления. Асимптотические методы определенияамплитуд строятся на сравнении построенной волновой функции и некоторойизвестной асимптотической функции (например, представления (1.54)). Такиефункции, используемые сравнения, называют ещё пробными функциями [69].Они, как правило, требуют знания волновой функции лишь на некотором под­множестве, положительной коразмерности, исходного конфигурационного про­странства.

Таким образом, достоинством этих методов является вычислитель­ная эффективность. С другой стороны, точность и стабильность (по отношениюк параметрам численной аппроксимации) такого подхода, как правило, оказыва­ется ниже. Это часто приводит к необходимости определять волновую функциюв более далёкой, по сравнению с интегральными методами, области конфигура­ционного пространства.

В развиваемом в данной работе подходе, это означаетвыбор бо́льших значений .Для двухчастичной задачи оба типа методов могут быть легко построены,в том числе для кулоновского взаимодействия. Соответствующие формулы исравнение точности подходов можно найти в работах [45, 50, 56]. Для трёхча­стичного рассеяния, будут использоваться асимптотические методы. Посколь­ку волновая функция вычисляется в области , < , а для применениятаких методов необходимо её сравнение с асимптотическим поведением (1.54), должно быть достаточно велико для того, чтобы волновая функция хорошоописывалась своей асимптотикой на таких расстояниях.Для определения амплитуд из асимптотического представления (1.54), необ­47ходимо найти его разложение в терминах -функций, аналогичное разложе­нию (1.76). Асимптотика компоненты волновой функции записывается в виде∑︁∼ [︀ ]︀′Ψ(,,)→∞Ψ+˜ ( )( , ) ( , )′0 ′0+′( / , ; p )0 (, ).00(1.89)^ p ) из представления (1.54)Тогда полные амплитуды 0 (^y , ) и 00 (;разлагаются по парциальным амплитудам следующим образом:′ ′ (^x )0 (^y , ) =∞ ∑︁∑︁∑︁ ∑︁(︀^ p ) =00 (;)︀*′(Ω )( , ), (1.90)0=0 =− ′ =0∞ ∑︁∑︁ ∑︁∑︁(︀′′)︀*′(Ω )( / , ; p ).00(1.91)=0 =− ′ =0Полные амплитуды 0 (^y , ) представляются в виде суммы слагаемыхв соответствии с представлением (1.75) волновой функции Ψ:˜0 = [0 ]0 + [1 ]0 + []0 .(1.92)Слагаемое [0 ]0 отвечает функции Ψ0 и вычисляется явно с использованиемпредставления (1.69) для Ψ0 при > .

Слагаемое [1 ]0 отвечает функции˜Ψ1 , а []0 – функции Φ = Φ0 + Φ1 .Полные амплитуды могут быть вычислены двумя разными способами. Во­′первых, можно вычислить парциальные амплитуды , проецируя компо­ненты полной волновой функции на функции ˜ ( ),′( , )0Z=−1 ( , )−3/2 2 ˜ ( )Ψ ′ ( , , )+(), (1.93)0а затем просуммировать их в соответствии с уравнениями (1.90, 1.91). Коор­динаты Якоби внутри плоскости с различными индексами { , , cos } и{ , , cos } связаны соотношением (1.10).Второй способ, хорошо пригодный для определения амплитуд 2 → 2 про­цессов, состоит в непосредственном проецировании полной волновой функции48и её асимптотического представления на подходящие асимптотические состо­яния.

Действительно, спроектируем волновую функцию Φ на двухчастичнуюволновую функцию связанного состояния выходного канала и нормируем её наасимптотический множитель ( , ) (1.57) в этом канале:Z ( ) = −1˜ ( )ℓ*′ ′ (^x )Φ(x , y ), ( , ) x (1.94)где = {, ′ , ℓ′ , ′ }. Рассмотрим асимптотическое поведение ( ) при →∞. Проецируя представление (1.54), найдём:∼ ( ) →∞−1 ( , )Z∑︁0 (^y , ) ( , ) ×× x ˜ ( )′′ ′′ (^x )˜ ( )*′ ′ (^x ) +Z−1^ p ),+ ( , )0 (, ) x ˜ ( )*′ ′ (^x )00 (;(1.95)где индексы с двойным штрихом отвечают состояниям = {, ′′ , ℓ′′ , ′′ }.

Вто­рое слагаемое, отвечающее амплитуде развала, убывает быстрее, чем первое,−3/2на при → ∞ в двухчастичных областях. Таким образом, оно не даётвклада в старшем порядке по и им можно пренебречь. Благодаря попарнойортогональности двухчастичных собственных функций, для = единствен­ное слагаемое, не обращающееся в нуль в сумме по , отвечает состоянию с′ = ′′ , ℓ′ = ℓ′′ , и ′ = ′′ . Для ̸= , вычисляется интеграл от двух функ­ций связанного состояния, отвечающих различным кластеризациям в системе.Так как x = x + y , области, в которых такие функции существенноотличны от нуля, не перекрываются для больших значений , и интеграл от ихпроизведения стремится к нулю при → ∞. Таким образом, ( ) стремится−3/2к амплитуде 0 (^y , ) при → ∞, 0 (^y , ) = ( ) + (49), и дляамплитуды верно асимптотическое представлениеZ0 (^y , ) =×−1 ( , ) Z∞ ∑︁∑︁∑︁ ∑︁x ˜ ( )*′ ′ (^x )Φ(x , y ) = −1 ( , ) ×(︀ )︀*x (Ω )˜ ( )*′ ′ (^x )Φ′ ′ ( , , )=0 =− ′ =0(1.96)при → ∞.

Таким образом, вычисление двухчастичной амплитуды сводится квычислению трёхмерного интеграла в уравнении (1.96) при некотором большом . Из-за использования внешнего комплексного вращения для вычисления вол­новой функции, значения координат , не могут быть больше чем радиусвращения . Для проведения этого вычисления, необходимо выразить коорди­наты Ω , , , в терминах координат x , y .Канал без перестройкиРассмотрим вначале более простой случай канала без перестройки = ,т.е. канала, в котором та же пара координат Якоби используется для описанияначальных и конечных состояний системы.

Процессы в этом канале включаютупругое рассеяние и возбуждение мишени, {, } → {′ , ′ }. Выберем направле­ние вектора y во вращающейся системе координат вдоль оси . Угол Эйлера определяет поворот координатной системы вокруг оси в новую координат­ную систему. Следовательно, вектор y зависит только от углов Эйлера и . Эти углы и являются полярным и азимутальным углами вектора y : = , = .(1.97)Третий угол вычисляется по сферическим углам {, } векторов x, y как [73]cot = cot ( − ) cos −cot sin .sin ( − )(1.98)(Нужно отметить, что обозначения, используемые здесь для векторов x, y, пе­реставлены по отношению к обозначениям работы [73]: x ⇔ y.) Угол вычис­50ляется как скалярное произведение векторов ^ и ^:cos = (^, ^) = sin sin cos ( − ) + cos cos .(1.99)Рассмотрим, как уравнение (1.96) выглядит для простого, но важного слу­чая нулевого полного углового момента.

Все суммы содержат только по одномуслагаемому, и выражение для амплитуды принимает вид:2ZZZ10 (^y , ) = √ 2 ˜ ( ) sin ℓ*′ ′ (^x )Φ0+00 ( , , )2 ( , )000(1.100)при → ∞. Угол = и задаётся формулой (1.99).Поскольку амплитуда определяется, как правило, для многих направле­ний ^ = ( , ), количество вычисляемых трёхмерных интегралов в форму­ле (1.100) может быть велико, что приводит к высокой вычислительной сложно­сти. В таком случае можно воспользоваться идеей, аналогичной используемойв разделе 2.3.5 для вычисления матричных элементов потенциала. Именно, раз­ложим решение Φ0+00 ( , , ) по полиномам Лежандра:Φ0+00 ( , , )∞∑︁[︀ 0+ ]︀=Φ00 ( , ) (cos ).(1.101)=0При подстановке этого разложения в выражение (1.100) интеграл факторизует­ся, и оно принимает вид10 ( , , ) = −1 ( , ) √22Z∞∑︁=0⎡⎤Z[︀]︀⎣ 2 ˜ ( ) Φ0+⎦00 ( , ) ×0Z sin ℓ*′ ′ ( , ) (cos ).×0(1.102)0Зависимость амплитуды от углов ( , ) в этом выражении определяется толь­ко двойным интегралом, который, в свою очередь, не зависит от волновой функ­ции.

Более того, он может быть вычислен с использованием теоремы сложения51для полиномов Лежандра [98]: (cos cos + sin sin cos ( − )) = (cos ) (cos ) +∑︁( − )! +2 (cos ) (cos ) cos ( − ). (1.103)( + )!=1Вычисления дают следующий простой результат:2ZZ sin ℓ*′ ′ ( , ) (cos ) = ℓ′ 04*′ ( , ).2 + 1(1.104)0Таким образом, окончательное выражение для амплитуды 0 ( , , ) при­нимает вид:√*y ) ×0 (^y , ) = 2−1 ( , )ℓ′ ′ (^ZZ2× ˜ ( ) sin ℓ′ (cos )Φ0+00 ( , , ).0(1.105)0Аналогичный подход с разложением решения по полиномам Лежандра можетбыть применён в случае канала без перестройки и к представлению для нену­левого полного момента (1.96).Полное сечение рассеяния процесса 0 , ℓ0 → , ℓ определяется по вычис­ленной амплитуде стандартной формулойtot0 ,ℓ0 → ,ℓ Zℓℓ0∑︁∑︁1=^ |0 (^y , )|2 .0 2ℓ + 1 0 0(1.106) =−ℓ =−ℓКаналы перестройкиДля вычисления амплитуд (1.96) в каналах перестройки, ̸= , нужныдополнительные формулы для пересчёта координат с индексом в координа­ты с индексом .