Диссертация (Симметрия Вейля и антиинвариантная функция кратности), страница 9

Будем называть веса с ненулевым̃︁⊗ (, ) сингулярными. В конце этой главы будет доказано, чтозначением 2̃︁⊗ (, ) = ⊗ (, ), что оправдывает подобное обозначение. Сингуляр­ные веса будем задавать координатами { } в базисе ˜ , где начало отсчетасдвинуто на −. Опишем множество сингулярных весов для модуля ⊗(см.

Рис.3.1). Условия (1-4) из алгоритма определяют структуру функции̃︁⊗ (, ) следующим образом:2̃︁⊗ (, ) вне орбиты старшего веса дает мно­1. условие кратности нулю 2житель1Γ(︁−(1 +22 )+63)︁Этот множитель гарантирует, что все точки слева от границы множе­ства сингулярных весов имеют кратность 0 (см. Рис.3.1).

С ростом эта67Рис. 3.1. Алгебра 2 . Множество сингулярных весов для ⊗при = 9. Область определе­̃︁⊗ (, ) состоит из 3-х камер Вейля. Черными точками обозначены веса сния функции 2̃︁⊗ (, ). Серым цветом обозначены веса с нулевой кратностью.ненулевыми значениями 2граница смещается влево. Поскольку мы считаем, что все нули должныбыть простыми, то введем этот множитель с кратностью 1.̃︁⊗ (, ) на границах камер Вей­2. требование равенства нулю функции 2̃︁⊗ (, ) вля дает множители 1 , 2 .

Первый приводит к обнулению 2узлах с координатами 1 ˜2 , второй - в узлах с координатами 2 ˜1 .3. на этом шаге необходимо построить Вейль-антиинвариантные комбина­ции выражений, полученных на предыдущих шагах.Рассмотрим действие образующих группы Вейля на вес:1 (1 ˜1 + 2 ˜2 ) = −1 ˜1 + (1 + 2 )˜22 (1 ˜1 + 2 ˜2 ) = (1 + 2 )˜1 − 2 ˜268Построим простейшие антисимметричные комбинации числителя1 2 (1 + 2 ),и знаменателя111)︁ (︁)︁ (︁)︁ .−(1 +22 )+6+(21 +2 )+6+(−1 +2 )+6ΓΓΓ333(︁̃︁⊗ = 1 окончательно фиксирует искомое выражение:4.

условие ̃︁⊗ ({1 , 2 } , ) =(2 )Γ(︁Γ( + 1) 1 2 (1 + 2 ))︁ (︁)︁ (︁)︁+(21 +2 )+6+(−1 +2 )+6ΓΓ33−(1 +22 )+63(3.10)Антиинвариантная функция кратности для g = Предложенный выше алгоритм допускает обобщение на все алгебры се­рии . Для -й тензорной степени 1-го фундаментального модуля получим̃︁⊗ ({ } , ):следующее выражение для функции кратности ( )̃︁⊗ ({ } , )( ))︀ ∑︀∏︀2 (︀∑︀−1∏︀−1∏︀=1=1 + (=1 )=1 ( + +1 ) · · ·=1 )︁)︁(︁= ∏︀ (︁∑︀∑︀−111!= ( − ) +1=0 +1 + 2 ( + 1) +=1 (− ) +!(3.11)Здесь { } - координаты веса в базисе фундаментальных весов ˜ , с центромотсчета в точке −.Для алгебры 1 , формула (3.11) имеет вид:!−+1 ,( ++1)!()!22и при перехо­де к координате = − 2 + 1 и переобозначая = получаем ферми­онную формулу Бете (2.67).

Отметим, чтобы получить функцию кратности(, ) необходимо рассматривать лишь ≥ 1 Формулу (3.11) также можноназвать фермионной, поскольку фунция кратности для тензорной степенимодуля Кириллова-Решетихина вследствие полноты бетевских векторов счи­тает количество собственных векторов бете для спиновой цепочки в узле ко­торой действует фундаментальное представление алгебры , а рассмотрен­ный фундаментальный модуль является модулем Кириллова-Решетихина(1)1 .693.2.2.

Построение антиинвариантной функции кратности дляg = при помощи алгоритмаДля алгебры g = введем необходимые обозначения:⋃︀Δ = {± ± | ̸= } {± }. = { = − +1 , = | = 1, . . . , − 1}{ }- стандартный евклидов базис в пространстве = R . = - -й фундаментальный модуль, = 2 , =1 +2 +···+2- -й фундаментальный весПостроение антиинвариантной функции кратности для g = 2В случае алгебры 2 для расширенной области определения функции̃︁⊗ (, ) достаточно использовать 3 камеры Вейля (см.

Рис.3.2). Сингуляр­2ные веса задаются координатами { } в базисе = { : ⃗ ‖ ⃗ , | | = | 2 |}и начало отсчета сдвинуто на − в центр симметрии сингулярного элемента.Рассмотрим множество сингулярных весов для модуля ⊗ . Условия (1-4)̃︁⊗ (, ) следующим образом:определяют структуру функции 2• Требование равенства нулю вне орбиты старшего веса ⊗дает мно­житель1(−1 +32)! ∈ R,• Требование равенства нулю на границах камер Вейля приводит к появ­лению множителей: 1 , 2 , (1 + 2 ), (1 − 2 )Эти множители дают нули на горизонтальных, вертикальных и диаго­нальных границах камер Вейля (см.

Рис. 3.2).• Требование Вейль-антиинвариантности приводит к антиинвариантнымкомбинациям множителей:1 2 (1 + 2 ) (1 − 2 )70Рис. 3.2. Алгебра 2 . Множество сингулярных весов для ⊗при = 5. Область определе­̃︁⊗ (, ) состоит из 3-х камер Вейля. Черными точками обозначены веса сния функции 2̃︁⊗ (, ). Серым цветом обозначены веса с нулевой кратностью.ненулевыми значениями 2и1111 (︀ −1 +3 )︀ (︀ −2 +3 )︀ (︀ +1 +3 )︀ (︀ +1 +3 )︀!!!!2222⊗ ̃︁• условие = 1 окончательно фиксирует искомое выражение:̃︁⊗ ({1 , 2 } , ) =(2 )()!( + 2)! ( + 2 ) (1 − 2 )(︀ −1 +3 )︀ (︀ −12 +32 )︀ (︀1 +1 +3)︀ (︀ +2 +3 )︀4!!!!2222(3.12)Антиинвариантная функция кратности для g = Предложенный выше алгоритм допускает обобщение, справедливое длявсякой алгебры серии . Для -й тензорной степени n-го фундаментально­го модуля получим следующее выражение для антиинвариантной функции71кратности:̃︁⊗ ({ } , ) =( )−1∏︁∏︁ ∏︁ (︀)︀( + 2)!(︁)︁ (︁)︁2 − 22 ++1 +2−1 ! −+1 +2−1 !<=0 2=122(3.13)Здесь { } - координаты веса в базисе = { : ⃗ ‖ ⃗ , | | = | 2 |}, гденачало отсчета сдвинуто на −.3.3.

Свойства антиинвариантной функции кратностиВ этом параграфе опишем ряд свойств антиинвариантной функции крат­ности, построенной согласно алгоритму.1. Связь с инвариантами группы Вейля̃︁ (, ) является антиинвариантом группы Вейля в алгебреФункция функций Fun (, R ) (генерируемой координатными функциями () ).2. Множество сингулярных весовКак следует из соотношения (3.9) функция кратности (, ) сингу­лярного элемента описывает полный набор сингулярных весов в разло­(︀)︀∑︀жении Ψ ( )⊗ в сумму сингулярных элементов ∈ + Ψ() . Допу­̃︁ (, ) = (, ). Чтобы описать кратно­стим, мы доказали, что сти всех сингулярных весов модуля, необходимо рассматривать получен­̃︁ (, )ные выражения для антиинвариантной функции кратности для веса ∈ (для конкретной это означает, что ∈ ( + )).

Этоможно сделать, заменив факториалы в выражениях (3.11,3.13) гамма­функциями.3. Грани множества весов̃︁ для весов, находящихся наЗначения антинвариантной функции внешней границе главной камеры Вейля для алгебры , совпадают72с кратностями весов в главной камере Вейля для алгебр −1 , −1 .

Этосвойство обусловлено структурой фундаментальных модулей рассмат­риваемых алгебр.4. Универсальные полиномыВ (3.11),(3.13) функция (, ) имеет вид рациональной функции от. Если перейти к другой системе координат, то зависимость от ста­новится полиномиальной.̃︁⊗ в координатах, отсчитываемых от старшегоВ узле ∈ функция веса, описывается полиномами по . Рассмотрим, например, g = 2 , заменимбазис ˜1 , ˜2 на 23 ˜1 , 23 ˜2 и сдвинем начало координат в старший вес 1 + (см.̃︁ имеет вид: ̃︁ (; 1 , 2 ) =Рис. 3.1). В новых координатах 1 , 2 функция 2!(−1 +2)! (2 − 31 − 2 +× 14 1 ( − )(!2 +1)( 2 1 2 ) ( 12 (1 +2 )+1)!2) (2 − 31 + 2 + 4) ×При фиксированных координатах { } старшего веса подмодуля мы по­лучаем единственный полином от , который описывает значения антиинва­риантной функции кратности для данного типа модулей (далее будет дока­зано, что он описывает кратность сингулярного элемента соответствующегомодуля).

Мы будем называть это свойством универсальности полино­̃︁⊗ длямов. Например, значение антиинвариантной функции кратности веса = ( + 1) 1 − 1 равно − 1 для алгебры 2 . Другие универсальныеполиномы для тензорной степени первого фундаментального модуля алгебры2 изображены на Рис.3.3.Расстояние между центром Вейлевской симметрии и старшим весом модуля, кратность которого описывается универсальным полиномом, не фик­сировано (оно зависит от ). Класс конгруэнтности веса + также зависитот .

Расстояние между старшим весом и является фиксированным. Оказы­вается, что универсальные полиномы от описывают количество бетевских73векторов в зависимости от для спиновой цепочки, для которой пространствосостояний является тензорной степенью ⊗ .На Рис. 3.3 корневая система Δ2 построена вокруг центра вейлевскойсимметрии сингулярного элемента. Красным обозначены оси, направленныевдоль фундаментальных весов. Для произвольного старший вес Ψ⊗ нефиксирован на решетке. Черными линиями обозначено замыкание главнойкамеры Вейля (0) . Черные точки внутри этого контура соответствуют весамс кратностями, описываемыми универсальными полиномами. Полиномы, ука­занные на рисунке, отвечают старшим весам + с координатами (1 , 2 ) ={(0, 0) , (1, 1) , (2, 2)} в первой строке и с координатами (1 , 2 ) = (7, 1) в деся­той строке.Рис.

3.3. Решетка алгебры 2 . Универсальные полиномы743.3.1. Антиинвариантная функция кратности и фермионнаяформула˜ ⊗ для алгебры 1Свойства Проанализируем свойства полученного выражения для функции кратно­˜ ⊗ на примере алгебры 1 . Обозначим для удобства ̃︁⊗ = ̃︁(, ).сти Согласно алгоритму, антиинвариантная функция кратности в этом случаеимеет вид:^(, ) =Γ( + 1)(3.14)++1( ++12 )!( 2 )!В формуле (3.14) можно заменить факториалы гамма-функциями, и тогда мыполучим выражение, определенное на ∈ (−∞ · · ·+∞).

При сужении (, )на главную камеру Вейля мы получим функцию (, ), определенную на = (1 . . . ∞). Напомним, что функция кратности для этой задачи должнабыть равна числу бетевских векторов с третьей проекцией спина =−12вспиновой цепочке длины . Нетрудно заметить, что полученное вышеописан­ным алгоритмом выражение для (, ) совпадает с фермионной формулойБете (2.67). Нормировав (, ) на общее число частиц, получим функциюраспределения по cостояниям с фиксированным спином для данной цепочки.̃︁(, ) (и формулы Бете), важныхОтметим некоторые свойства функции для модели интегрируемых спиновых цепочек.1. Наличие максимума̃︁(, ) имеет максимум max̃︁(, ) = ̃︁( , ) внутри главнойФункция камеры Вейля.Обозначим - координату максимума в переменных =−12 .Соответствую­щая (, ), рассматриваемая на решетке весов, имеет один или два максиму­̃︁(, ) внутри главной камеры Вейля свидетель­ма.

Наличие максисума у ствует о том, что в спиновой цепочке наибольшее число бетевских векторов75̃︁(, ) для алгебры 1 для = 10 имеет один максимум, лежащийРис. 3.4. Функция внутри главной камеры Вейля. На отрицательной полуоси наблюдается минимум, наличиекоторого обусловлено вейлевской антисимметрией.отвечает состоянию не с минимальным спином. Под действием возбужденийв спиновой цепочке возникает больше частиц со спином , нежели со спином0.Исследуем зависимость положения от длины цепочки . Вначале изу­чим поведение (, ), т.е рассмотрим (, ) на дискретном множестве спи­нов = 0, 12 , 1, .

. . . Из рис 3.5 видно, что с ростом положение максимума отдаляется от нуля, однако не так быстро, как растет длина цепочки . По­ложение на решетке локализуется в некотором промежутке спинов 2 − 1для некоторого интервала изменения . Длина этого промежутка равна шагурешетки фундаментальных весов. Для некоторого значения возникает ситу­ация, когда два веса имеют максимальную кратность. Это обусловлено тем,что мы рассматриваем задачу функцию кратности на одномерной решетке. С76Рис.