Диссертация (Симметрия Вейля и антиинвариантная функция кратности), страница 6

Будем называть такую частицу магноном (Бетеиспользовал термин спиновая волна). Энергия и импульс этой квазичастицывыглядят следующим образом:+/2() = 1 ln −/2() =1− 2 (2 +1/4)(2.50)Нас будет интересовать то, как будет выглядеть множество возможных зна­чений для различных бетевских векторов.Для одночастичного бетевского вектора Ψ () = ()Ω уравнениеБете имеет вид:)︂ + /2= 1 ⇐⇒ () = 1(2.51) − /2в пределе → ∞, допустимые () ∈ [0, 2) и соответствующие веще­(︂ственны.Для двухчастичного бетевского вектора, Ψ (1 , 2 ) = (1 )(2 )Ωуравнения Бете имеют вид:⎧ (︁)︁⎪⎨ 1 +/2= −/2)︁(︁ 1⎪⎩ 2 +/2=2 −/21 −2 +1 −2 −2 −1 +2 −1 −(2.52)У этой системы могут быть как вещественные, так и комплексные решения(1 , 2 ).Вещественные решения в пределе → ∞ пробегут всю ось, а соответствую­щий вектор описывает состояние рассеяния двух независимых магнонов.43У этой системы уравнений Бете есть ещё и комплексные решения. Они опи­сывают связанные состояния двух магнонов.

Положим,1 =: 1 + 1(2.53)2 =: 2 + 2(2.54)Подставляя их в уравнение Бете, можно показать, что асимптотически при → ∞ оба комплексных решения параметризуются одним числом ∈ R иимеют вид:⎧⎨ = + 12⎩2 = − (2.55)2Величина параметризует полный импульс этого состояния(︂)︂(︂)︂[︂]︂(︁ )︁1+(1 , 2 ) = (1 ) + (2 ) = ++ −=ln=22−2(2.56)а для полной энергии получаем(1 , 2 ) = (1 ) + (2 ) = − (1 − cos ((1 ) + (2 )))2(2.57)Энергия этого состояния по модулю меньше, чем энергия двух независи­мых магнонов, поэтому его естественно будет назвать связанным состояниемдвух магнонов или "струной".Бетевский вектор для произвольного Ψ (1 , . .

. ) = (1 ) . . . ( )Ω(2.58)исследуется аналогичным образом. При вещественных он соответствует со­стоянию независимых магнонов. Комплексные группируются в струны наборы из 2 + 1 чисел, расположенных симметрично относительно веще­ственной оси на комплексной плоскости: = + , = −, − + 1, . . . , − 1, , = 0, 1/2, . . .(2.59)44Обозначим как число струн длины 2 +1. Тогда можно записать в видеразбиения:=∑︁(2 + 1)(2.60)Обозначим полное число струн: :=∑︁(2.61)Струны будем нумеровать с использованием индекса и введем обозначение, для вещественной части cтруны с номером .Набор (, , { }) называется конфигурацией и характеризует бетевский век­тор с точностью до задания чисел , .

М.Такахаши и М.Годен [80, 81]получили уравнения на числа , . Было установлено, что решения этих урав­нений однозначно параметризуются числами {, }, которые могут быть це­лыми или полуцелыми. Для заданной конфигурации (, , { }) эти числарасположены симметрично относительно ноля:− 6 1, < 2, < . .

. < , 6 где максимальное значение определяется как∑︁1=−2 (, ′ ) ′ −22′(2.62)а (, ′ ) имеет вид:⎧⎨ 2 min (, ′ ) + 1, ̸= ′′ (, ) :=⎩ 2 + 1 , = ′(2.63)2Каждому допустимому набору {, } соответствует единственное {, }. Бу­дем называть допустимые значения для чисел {, } вакансиями. Числовакасий для каждого обозначим через : :=2+1= −2∑︁′ (, ′ ) ′(2.64)45В конфигурации (, , { }) состояния заданы для каждого конкретнымвыбором чисел , среди допустимых для них значений.

Следова­тельно, число состояний ( |{ }), соответствующих каждой конфигура­ции (, , { }):( |{ }) =∏︁(2.65)Подсчет числа бетевских векторов длины эквивалентен подсчету числа со­стояний для всех конфигураций с фиксированным :∑︁(, ) =( |{ })(2.66)∑︀ (2 +1) =Бете [68] удалось решить данную задачу. Полученное им выражение имеетвполне простой вид: − 2 + 1 (2.67) −+1 Несмотря на простоту конечного результата, вывод является достаточно гро­(, ) =моздким. В нем производится подсчет числа бетевских векторов, в терминахестественной для спиновой цепочки струнной параметризации решений.

Сдругой стороны, как уже отмечалось выше, она представляет собой кратностьв разложении тензорной степени фундаментального модуля алгебры 2 нанеприводимые. анзац Бете стал составной частью иерархии подстано­вок Бете, которые применялись в моделях квантовой теории поля с цветовы­ми степенями свободы [73],[74], что, в свою очередь, привело к необходимостиобобщения формулы кратностей на другие алгебры.2.2.6. Формула Кириллова-РешетихинаРазвитие теории квантовых интегрируемых систем привело к возникно­вению новых математических конструкций.

Было установлено [11], что инте­грируемые системы, к которым применим квантовый метод обратной зада­чи, находятся во взаимнооднозначном соответствии с представлениями неко­46торой алгебры Хопфа (g), называемой Янгианом. Матрицу монодромии,которая играет центральную роль в квантовом методе обратной задачи, есте­ственно рассматривать как представление (g). Такая алгебра Хопфа можетбыть построена для любой простой алгебры Ли g.

Кириллов и Решетихин[77] показали, что теорию представлений алгебры (g) можно использоватьдля получения новых результатов для теории представлений g. Комбинатор­ная формула для кратностей (2.66) была обобщена Кирилловым в [75] наслучай тензорного произведения представлений +1 , а затем в [76] она была()обобщена далее на серии специальных представлений простых алгебрЛи, получаемых ограничением представлений (g) на g. Гипотеза Кирил­лова-Решетихина состояла в полноте состояний анзаца Бете для обобщеннойнеоднородной цепочки Гейзенберга с представлением Янгиана (g) в -м узлецепочки.

Если анзац Бете дает полный набор решений, тогда состояния Бетедолжны находиться во взаимнооднозначном соответствии с g-старшими век­торами в гильбертовом пространстве гамильтониана, которое представляет( )собой тензорное произведение модулей .

Таким образом, подсчитав чис­ло решений уравнений Бете, можно написать гипотетические формулы длякратностей. Ниже мы опустим подробности вычислений, и изложим резуль­тат согласно [75].Рассмотрим алгебру g с фундаментальными весами { }=1 , корнями( , ){ }=1 и матрицей Картана { } := 2 ( , ) . Рассмотрим пространство пред­⨂︀( )ставления Оно является пространством представления спиновой це­=1почки с узлами, в -м узле которого задано специальное представление( ) алгебры g.

Для полупростых алгебр g это представления вида:• g = ( + 1)()|g = (, . . . , , 0, . . . 0)⏟⏞ = 1 . . . , = 1, 2, 3, . . .47• g = (2 + 1) , ≥ 2, 1 ≤ ≤ , ˜ =∑︀[ 2 ] ∑︀ ∑︀() |g = =00≤1 ···≤ 2 ( , ) = (,˜ ...,˜,˜ − 1 , . . . ˜ − 1 , . . . , ˜ − , . . . − , 0, . . . 0)⏟⏞⏞⏟−22• g = (2) ≥ 2, 1 ≤ ≤ ∑︀() |g = ≥1 ≥···≥ ≥0 =(2) = (1 , 2 , . . .

, , 0, . . . 0) = 1 . . . , = 1, 2, 3, . . .• g = (2), ≥ 3при 1 ≤ ≤ − 2 совпадает с формулой для (2 + 1), при = − 1 и = имеет вид:()−1 |g(︁ )︁...,22=() |g=(︁ )︁... ,−222Для спиновой цепочки решениями системы уравнений Бете являются числа{ }=1, = 1 . . . .Общее число решений системы уравнений Бете с фиксированным наборомчисел { }=1 задается формулой: ({}, {}|{}) := ∏︁∑︁ ∏︁{} =1 >1() ()() ()+(2.68)где {} = {1 , . . . }, {} = {1 , .

. . } и {} = {1 , . . . } – наборы чисел∈ Z+ ∪ {0}. Cуммирование в этой формуле происходит по всевозможным()разбиениям – числа =:∑︁() ,() > 0(2.69)>1()для которых функция () :==∑︁=1min (, ), − 2∑︁>1min (,())+∑︁ ∑︁>1 =1()min (− , − )(2.70)48больше или равна нулю.Теорема 2 (Кириллова-Решетихина). Кратность вхождения неприводимой(1 )компоненты () со старшим весом в тензорное произведение 1( ). . . ⊗ ⊗задается выражением:[︃⨂︁]︃( )(2.71)= ({}{}|{})=1где принадлежит главной камере Вейля и связана с числами { }=1 вы­ражением:=∑︁ −=1∑︁(2.72) =1Для ( + 1) она была доказана А.Н.

Кирилловым[75], а затем в работе сН.Ю. Решетихиным[76] это доказательство было обобщено на случай другихпростых алгебр Ли.()Следствие. Представление ():=∑︁′алгебры Ли g(︃1 ({}, {}|{}) −∑︁)︃ (2.73)=1{}где штрих означает, что суммирование происходит только по тем {}, для∑︀которых вес ( − =1 ) оказывается доминантным, а () – неприво­димое представление g со старшим весом . Для алгебр ( + 1) это пред­ставления()= ( ), ∈ Z+ = 1...(2.74)2.2.7. Фермионная формулаФормула Кириллова-Решетихина (2.71), является частным случаем обоб­щенной фермионной формулы.

Самым первым примером фермионной фор­мулы (при = 1) является формула Бете. В последние годы изучение данного49вопроса было расширено на квантовые деформации кратностей в разложениитензорного произведения [59, 60, 61, 62, 63, 64]. Термин фермионная форму­ла был введен группой из университета Stony Brook, где она возникала вмодели конформной теории поля для квазичастиц, подчиняющихся принци­пу Паули[52]. Поясним ниже, согласно [51, 50] понятие обобщенной фермион­ной формулы. Известно, что собственные функции гамильтониана спиновойцепочки находятся во взаимноодозначном соотвествии с решениями набораалгебраических уравнений(уравнений Бете).

Решения задаются набором це­лых чисел, выбираемых на определенном конечном интервале. Выбор одногочисла интрепретируется как одна квазичастица - магнон, а выбор чиселкак квазичастиц. Эти числа пропорциональны импульсу частиц, одной изсохраняющихся величин.

Тот факт, что эти числа не могут совпадать, наде­ляет их фермионными свойствами.Будем считать энергию каждой квазичастицы линейной функцией отимпульса, и, следовательно, от чисел Бете. Допустим, гильбертово простран­ство с квазичастицами характеризуется набором чисел, которые выбра­ны из интервала [1, + ] для некоторого ≥ 0. Обозначим = , где коэффициент пропорциональности между энергией и числом Бете. Тогда ста­тистическая сумма таких квазичастиц на интервале [1, + ] будет иметьвид⎡⎤∑︁ (+1) + ⎦ () = 2 ⎣≥0(2.75)где -биномиальный коэффициент⎡⎤∏︁+1 − +⎣⎦ =,1−=1≥(2.76)в пределе −→ ∞ она имеет вид∑︁ (+1)1() = 2 ∏︀=1 (1 − )≥0(2.77)50Отметим, что в показателе экспоненты стоит квадратичная функция от чис­ла частиц . Это энергия основного состояния системы из фермионов.