Автореферат (Симметрия Вейля и антиинвариантная функция кратности)

На правах рукописиПостнова Ольга ВикторовнаСимметрия Вейля и антиинвариантнаяфункция кратности01.04.02 – Теоретическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург – 2017Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор,Ляховский Владимир ДмитриевичОфициальные оппоненты:Деркачев Сергей Эдуардовичдоктор физико-математических наук,Санкт-Петербургское отделение Ма­тематического института им. В.А.Стеклова РАН, ведущий научный со­трудник;Борзов Вадим Васильевичдоктор физико-математических наук,доцент, Санкт-Петербургский государ­ственный университет телекоммуни­каций им. проф. М.А.Бонч-Бруевича,профессор;Ведущая организация:Объединенный институт ядерных ис­следованийЗащита состоится «»2017 г.

вчасов на заседаниидиссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государ­ственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр.В.О., д. 41/43, ауд. 304С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургскогогосударственного университета и на сайте https://disser.spbu.ru.Автореферат разослан «»2017 г.Ученый секретарьдиссертационного совета,д.ф.-м.н.Аксенова Е.В.2Общая характеристика работыАктуальность темы. В последние годы все большее количество задачтеоретической физики решается при помощи методов теории интегрируемыхсистем. Классическим примером такой системы служит интегрируемая спино­вая цепочка, представляющая собой одномерную линейную цепочку взаимо­действующих спинов с периодическими граничными условиями. Интегриру­емые спиновые цепочки возникают в некоторых режимах квантовой хромо­динамики, в AdS/CFT соответствии, теории конденсированного состояния.Спектр состояний в различных моделях интегрируемых спиновых цепочекможет быть вырожден с различной кратностью, в зависимости от действую­щих симметрий.

Можно выделить два основных направления решения задачиопределения кратности вырождения состояний спиновой цепочки.В рамках первого направления, которое условно можно назвать алгебра­ическим, используется тот факт, что собственные векторы в модели спиновойцепочки являются старшими векторами представлений алгебры Ли, действу­ющей в ее узлах. Поскольку гамильтониан ℋ интегрируемой спиновой цепоч­ки с узлами задается на тензорном произведении пространств состояний в⨂︀ ⨂︀ ⨂︀узлах цепочки ℰ = ℰ1 ℰ2 · · · ℰ , то в случае, если он инвариантен поотношению к действию алгебры Ли g: [ℋ, ] = 0, ∈ g, количество собствен­ных подпространств, отвечающих одному и тому же собственному значению,совпадает с кратностью (, ) в разложении пространства ℰ состояний си­стемы в прямую сумму неприводимых модулей алгебры g:ℰ = ( )⊗ =∑︁(, ) .(1)Это позволяет использовать аппарат теории представлений алгебр Ли, в част­ности, методы разложения тензорного произведения модулей на неприводи­мые, такие как правило Климыка, формула Литтлвуда-Ричардсона, кристал­лические базисы Кашивара, модель путей Литтельманна, для определения3кратности вырождения собственных состояний интегрируемой спиновой це­почки.В рамках второго направления, которое условно можно назвать комбина­торным, используется то, что собственные вектора интегрируемой спиновойцепочки параметризуются решениями системы алгебраических уравнений Бе­те [6].

В работе А.Н.Кириллова [7] была доказана полнота системы бетевскихвекторов - состояний обобщенного магнетика Гейзенберга, параметризуемыхчислами, удовлетворяющими системе уравнений Бете. Позже в совместной ра­боте А.Н.Кирилловым и Н.Ю.Решетихиным [8] была получена фермионнаяформула, позволяющая считать число решений этих уравнений. При усло­вии полноты системы бетевских векторов их количество совпадает с коли­чеством собственных подпространств данной модели, и фермионная форму­ла описывает кратность в разложении тензорного произведения пространствсостояний узлов цепочки на неприводимые.

После этого было опубликова­но множество работ, в которых кратность в разложении тензорного произ­ведения модулей изучалась при помощи фермионных формул. Б.Л.Фейгини С.А.Локтев [9] предложили структуру градуированного тензорного произ­ведения, что позволило различить эквивалентные неприводимые представле­ния в рассматриваемом разложении. Р.Кедем с Ф.Ди Франческо [10] доказалианалог формулы Кириллова-Решетихина для случая произведения Фейгина­Локтева. Г.Хатайама, А.Куниба, М.

Окадо [11] использовали теорию кристал­лических базисов для обобщения фермионной формулы на афинные алгебры.Однако эти формулы достаточно громоздки и вычисления кратностей с ихпомощью можно осуществить только для простейших примеров.Цель диссертационной работы. Разработать простой метод подсче­та кратностей в разложении тензорных степеней модулей полупростой алгеб­ры Ли, позволяющий определять количество собственных векторов опреде­ленной длины в модели спиновой цепочки Бете и ее обобщениях, в частности4для градуированных тензорных произведений.Научная новизна. Введено понятие антиинвариантной относительнопреобразований группы Вейля функции кратности и сформулирован методее построения для фундаментальных модулей. Предложен эффективный ал­горитм вычисления кратностей в разложении тензорных степеней модулейметодом сужения антиинвариантной функции кратности на главную камеруВейля.

Введено понятие обобщенных (g, ) - пирамид, на основе которогосформулирован альтернативный алгоритм нахождения функции кратностидля произвольного модуля полупростой алгебры Ли.Теоретическая и практическая значимость. Результаты работымогут быть использованы для упрощения вычисления кратностей вырожде­ния собственных состояний спиновой цепочки, а также изучения их в термо­динамическом пределе.На защиту выносятся следующие основные результаты и по­ложения:• Введено понятие антиинвариантной относительно преобразований груп­пы Вейля функции кратности и сформулирован метод вычисления крат­ностей неприводимых компонент для степеней фундаментального моду­ля алгебр серии , .• Проведено исследование асимптотических свойств полученных формулпри −→ ∞ и их максимумов, которые нельзя было осуществить длякратностей, полученных при помощи других методов.• Сформулирован метод обобщенных (g, ) - пирамид для разложениятензорных степеней произвольного модуля полупростой алгебры Ли иполучены кратности для -й тензорной степени векторного фундамен­тального модуля алгебры 2 , а также кратности неприводимых ком­понент для произведения фундаментальных и векторных модулей5алгебры 1 .• Проведено обобщение метода (g, ) - пирамид для нахождения градуи­рованной функции кратности в разложении произведения Фейгина-Лок­тева фундаментальных модулей алгебры 1 .Апробация результатов работы.

Материалы диссертации были представ­лены на 5 международных конференциях: CQIS-2011 (24.01.2011-27.01.2011,Дубна), SQS-2011 (18.07.2011-23.07.2011, Дубна), QTS-7 (7.08.2011-13.08.2011,Прага), MQFT-2015 (21.09.2015 - 25.09.2016, Санкт-Петербург), Теория пред­ставлений и математическая физика (23.05.2016-27.05.2016, Санкт-Петербург).По теме диссертации опубликовано 5 статей в ведущих рецензируемых жур­налах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов кандидат­ских и докторских диссертаций и входящих в базы Web of Scienсe и Scopus[1, 2, 3, 4, 5].Личный вклад автора. Все представленные в диссертации результатыполучены соискателем лично, либо при ее прямом неотделимом участии всоавторстве.Содержание работыВо Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показанапрактическая значимость полученных результатов, представлены выносимыена защиту научные положения.Глава 1 является вводной.

В ней даны определения основных понятий,необходимые для дальнейшего изложения.Глава 2 носит обзорный характер. Она посвящена описанию существую­щих методов нахождения кратностей в разложении тензорных степеней моду­лей полупростых алгебр Ли: правило Климыка, правило Литтлвуда-Ричард­6сона, теория кристаллических базисов Кашивара, модель путей Литтельман­на, а также фермионная формула Кириллова-Решетихина, позволяющая по­лучить кратность в разложении тензорной степени модуля путем подсчетачисла решений уравнений Бете.

Далее рассматривается общий случай фер­мионной формулы, в которой кратность становится градуированной.В главе 3 вводится понятие антиинвариантной относительно преоб­разований группы Вейля функции кратности и формулируется алгоритм,который позволяет получить явное выражение для разложения тензорныхстепеней фундаментальных (порождающих) модулей алгебр серии , нанеприводимые.

Основные результаты данной главы опубликованы в работах[1, 2, 3, 4].В задаче разложения тензорной степени модуля на неприводимые под­∑︀модули ( )⊗ = (, ) искомая кратность (, ) задана на решет­ке доминантных весов + . Можно переформулировать задачу таким обра­зом, чтобы новая искомая функция (, ) была задана на всем весовомпространстве и при этом обладала определенными свойствами симметрии от­носительно преобразований группы Вейля. В настоящей работе это продол­жение построено так, чтобы новая функция кратности (, ) совпадала скратностью сингулярного элемента рассматриваемого модуля, что позволяетвоспользоваться свойствами ее антисимметрии для получения явного вида (, ).Для этого используется формула Вейля: ℎ( ) =Ψ( ) ,где ℎ( ) –характер интегрируемого модуля старшего веса полупростой алгебры Ли,∏︀Ψ( ) – сингулярный элемент этого модуля, = ∈Δ+ (1 − − )mult() –знаменатель Вейля, Δ+ – множество положительных корней алгебры.

Син­гулярный элемент определяется набором сингулярных весов модуля и имеетразный вид для разных типов модулей старшего веса. Например, Ψ( ) =∑︀(+)−для неприводимых модулей ( – группа Вейля, – век­∈ ()7тор Вейля). Знаменатель Вейля является универсальным объектом, харак­теризующим корневую систему алгебры Ли, а свойства модуля определяютсясингулярным элементом.Продолжение функции (, ) на всю весовую решетку строится какВейль-антиинвариантная функция: (( + ) − , )|∈ = () (, ).(2)Функция (( + ) − , ) = (, ) описывает кратности сингулярныхвесов в разложении:Ψ(( )⊗ ) =∑︁ (, ) ,(3)∈Областью определения функции (, ) является вся весовая решетка .В главной камере Вейля она совпадает с (, ), это позволяет получить (, ) сужением (, ) на главную камеру Вейля.

Теперь задача сведенак нахождению (, ).В первой части главы 3 формулируется понятие антиинвариантной̃︁⊗ (, ), которая представляет собой функцию, по­функции кратности строенную по определенному алгоритму, а во второй части главы 3 приведено̃︁⊗ (, ) совпадает с (, ) для фундаменталь­доказательство того, что ных модулей наименьшей размерности для алгебр серии , . Наиболеекратко основное утверждение главы 3 можно сформулировать следующимобразом: Функция кратности (, ) для фундаментальных модулей наи­меньшей размерности алгебр серии , однозначно определяется свой­ствами антисимметрии относительно преобразований группы Вейля, огра­ничениями области существования и граничными условиями.Алгоритм̃︁⊗ (, ), определяется согласноАнтиинвариантная функция кратности следующим требованиям:8̃︁⊗ (, ) равна нулю вне орбиты старшего веса = на решетке• доминантных весов, и все эти нули являются простыми.̃︁⊗ (, ) равна нулю на границах камер Вейля (сдвинутых на −),• и все эти нули являются простыми.̃︁⊗ (, ) антиинвариантна по отношению к преобразованиям Вей­• ̃︁⊗ (, ) = () ̃︁⊗ (, ); ∈ .ля: ∘ ̃︁⊗ (, ) удовлетворяет граничным условиям ̃︁⊗ ( + , ) = 1.• Далее вышеописанный алгоритм используется для построения антиинвари­антной функции кратности для степени фундаментального модуля наимень­шей размерности алгебры g = .