Автореферат (Симметрия Вейля и антиинвариантная функция кратности), страница 2

Пошагово алгоритм проиллюстрированна примере 1-го фундаментального модуля алгебры 2 . В качестве расши­̃︁⊗ (, ) в этом случае используетсяренной области определения функции 2подмножество весов на весовой решетке, лежащее в трех камерах Вейля. Ве­са заданы координатами { } в базисе ˜ (фундаментальные веса, сдвинутыена −). Алгоритм приводит к следующим множителям:̃︁⊗ (, ) нулю вне орбиты старшего веса дает• требование равенства 2множитель. Этот множитель гарантирует, что все точки)слева от границы множества сингулярных весов имеют кратность 0 (см.1Γ(−(1 +22 )+63Рис.1). С ростом эта граница смещается влево.̃︁⊗ (, ) на• Для выполнения требования равенства нулю функции 2границах камер Вейля используются координатные функции веса: 1 , 2 .̃︁⊗ (, ) в узлах с координатами 1 ˜2 иОни приводят к обнулению 22 ˜1 соответственно.9• на этом шаге необходимо построить Вейль-антиинвариантные комбина­ции выражений, полученных на предыдущих шагах.

В данном случаеобразующие группы Вейля действуют на вес как: 1 (1 ˜1 + 2 ˜2 ) =−1 ˜1 + (1 + 2 )˜2 , 2 (1 ˜1 + 2 ˜2 ) = (1 + 2 )˜1 − 2 ˜2 , и мы получа­ем Вейль-антиинвариантные комбинации числителя: 1 2 (1 + 2 ),)︁ (︁)︁ (︁)︁(︁+(21 +2 )+6+(−1 +2 )+6−(1 +22 )+6ΓΓ.и знаменателя: Γ333̃︁⊗ ( + , ) = 1 отражает тот факт, что старший вес имеет• Условие 2кратность 1 и окончательно фиксирует выражение:̃︁⊗ ({1 , 2 } , ) =2Γ(︁Γ( + 1) 1 2 (1 + 2 ))︁ (︁)︁ (︁)︁ .+(21 +2 )+6+(−1 +2 )+6ΓΓ33−(1 +22 )+63(4)Рис. 1. Алгебра 2 .

Черными точками обозначены веса с ненулевыми значениями̃︁⊗ (, ), = 9. Серым цветом обозначены веса с ̃︁⊗ (, ) = 0.22Для алгебры серии при помощи алгоритма получено выражение для анти­инвариантной функции кратности для -й степени фундаментального модуля101 размерностью 1 = + 1 :⊗ ̃︁)︀ ∑︀∏︀∏︀−1∏︀2 (︀∑︀−1=1 + (=1 )=1 =1 ( + +1 ) · · ·=1(︁)︁)︁ .({ } , ) = ∏︀ (︁∑︀∑︀−111+(+1)+(−)+(−)!+1=1==0 +12!(5)Здесь 1 = 1 , где { } – стандартный евклидов базис в пространстве =R+1 , Δ = { − | ̸= } – система корней алгебры , { } – координатывеса в базисе фундаментальных весов ˜ с центром отсчета в точке −. В̃︁⊗ ({ } , ) совпадаетконце главы 3 приведено доказательство того, что с кратностью сингулярного элемента Ψ(1 )⊗ , а, следовательно, описыва­ет кратность ({ }, ) разложения степени фундаментального модуля нанеприводимые при { } ≥ 1.Для алгебры серии при помощи алгоритма аналогичным образомполучено выражение для антиинвариантной функции кратности для -й тен­зорной степени фундаментального модуля размерностью = 2 :̃︁⊗ ({ } , )−1∏︁∏︁ ∏︁ (︀)︀( + 2)!)︁ (︁)︁(︁=2 − 2 .

(6)2 ++1 +2−1 ! −+1 +2−1 !<=0 2=122где { } – стандартный евклидов базис в пространстве⋃︀ = R , Δ = {± ± | ̸= } {± } – система корней алгебры , { }Здесь =1 +2 +···+,2– координаты веса в базисе = { : ⃗ ‖ ⃗ , | | = | 2 |}, где начало отсче­та сдвинуто на −. В конце главы 3 также приведено доказательство того,̃︁⊗ ({ } , ) совпадает с кратностью сингулярного элемента Ψ( )⊗ ,что а, следовательно, описывает кратность ({ }, ) разложения степени фун­даментального модуля на неприводимые.В главе 3 отмечен ряд свойств антиинвариантной функции кратности̃︁({ }, ), которыми также обладает и функция кратности ({ }, ):̃︁({ }, ) имеет максимум, лежащий внутри главной ка­• Функция меры Вейля.11̃︁({ }, ) демонстри­• При фиксированных координатах { } функция рует одинаковую скорость роста для всех { } при −→ ∞.• При фиксированных координатах { }, отсчитываемых от старшего̃︁({ }, ) демонстрирует полиномиальную асимпто­веса, функция тику.

Степень полинома зависит от { }.В главе 4 метод нахождения функции кратности для тензорной степенимодуля, основанный на рассмотрении его сингулярного элемента, обобщаетсяна произвольный конечномерный модуль полупростой алгебры Ли g. Пред­лагаемое обобщение основано на том, что функция кратности сингулярногоэлемента удовлетворяет системе рекуррентных соотношений, отражающихправило перемножения модулей.

Решение этих рекуррентных соотношенийполучено в явном виде при помощи формулы Вейля. Данные результатыопубликованы в работе [5].Для решения поставленной задачи вводится специальный комбинатор­ный объект - oбобщенная (g, )-пирамида, которая представляет собой массивчисел (, { })g, где = 0 . . .

∞, = 0 . . . ∞, = 0 . . . , элементы которогоудовлетворяют рекурентному соотношению∑︁(, { })g, = (︁()g)︁ ∑︁( − 1, { })g, ,(7)∈∈с граничными условиями (0, {0}) = 1, здесь (︁()g)︁– диаграмма модуляв алгебре формальных экспонент. Доказывается, что (, { })g, совпадаютс коэффициентами разложения характера (ℎ(g )) в алгебре формальныхэкспонент(ℎ(g )) =∑︁(, { })g, 1 1 2 2 . . .

,(8){ }где – базис весового пространства, имеющий начало координат в старшемвесе модуля (g )⊗ и построенный так, чтобы все веса модуля имели целые12неотрицательные координаты { } в этом базисе. При помощи формулы Вей­ля получено выражение для функции кратности сингулярного элемента:∑︁ (, )g, =(−1)() (, {̃︁ }), .(9){˜ }: −̃︁ =(()−)В главной камере Вейля (, )g, совпадает с искомой функцией кратности(, )g, и, следовательно, описывает разложение тензорной степени модуля(g )⊗ на неприводимые.Данная процедура иллюстрируется графически для алгебр малого ран­га.

Множество чисел (, { })g, сопоставляется вершинам графа, которыесоединены ребром, если (, { })g, и ( − 1, { })g, связаны рекуррентнымсоотношением (7). Вейль-антисимметризация представляется в виде наложе­ния графов, сдвинутых относительно друг друга. В частности, рассмотренпример векторного модуля 2 алгебры 1 .Рис. 2. Триномиальный треугольник и сингулярный элемент модуля 2 алгебры 1Его характер представим в виде полинома 1 + + 2 , а его степень:⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛⎞∑︁ ∑︁2 − 2⎝ ⎠ + , где ⎝ ⎠ =⎠.(1 + + 2 ) =(−1) ⎝ ⎠ ⎝−−=0 =022(10)13Коэффициенты этого разложения представляют собой триномиальные коэф­фициенты, и обобщенная прирамида имеет вид триномиального треугольни­ка (см. Рис. 2).

Выражение для кратности (, )(2),2 сингулярного элемен­та получается "Вейль - антисимметризацией" триномиальных коэффициен­тов:⎞⎛ ⎞⎛⎛ ⎞∑︁(2 − 2)!⎠ =⎝ ⎠ −⎝(−1) ⎝ ⎠, (11)11+)!(−+−)!(−++12222=022где = 2 + 1 – координата из центра вейлевской симметрии сингулярногоэлемента.

При ≥ 1 выражение (11) представляет собой кратность неприво­димого модуля алгебры (2) со старшим весом ( − 1) в разложении -йтензорной степени модуля со старшим весом 2 на неприводимые.Оставшаяся часть главы 4 посвящена примерам. Рассмотрено произве­дение фундаментальных и векторных модулей алгебры 1 , фундамен­тальные модули алгебр 2 , 2 (в том числе и векторные).

В частности, длястепени векторного фундаментального модуля алгебры 2 функция кратно­сти имеет вид:∑︁ (, )(5),1 =(−1)() (, ̃︁1 , ̃︁2 )(5),1 ,(12){˜ }: −̃︁ =(()−)где̃︂21 +̃︂2(, ̃︁1 , ̃︁2 )(5),1 ==̃︂12 −̃︂+2=̃︂12 −̃︂+ 22̃︂21 −̃︂2( ̃︁2 +4 ̃︁1 − 2 )!( − ( ̃︁2 +4 ̃︁1 + 2 ))!×1∑︁×!∑︁!( − )!( ̃︁2 −2 ̃︁1 + − )!(2 − ( ̃︁2 −2 ̃︁1 + ))!.(13)В Главе 5 метод обобщенных (g, ) - пирамид обобщается на произведениеФейгина-Локтева ⏟ ⋆ · ·⏞· ⋆ модулей полупростой алгебры Ли.

Кратностьв разложении произведения Фейгина-Локтева на неприводимые зависит от14дополнительного параметра , будем называть ее градуированной. В главе 5доказано, что градуированная кратность неприводимого модуля алгебры1 со старшим весом = − в произведении Фейгина-Локтева фундамен­тальных модулей задается разностью - биномиальных коэффициентов:⎤⎡⎡ ⎤⎦ .(14) (, ) = ⎣ ⎦ − ⎣−1Сформулирована гипотеза, утверждающая, что в общем случае произведенияФейгина-Локтева конечномерных модулей старшего веса ⏟ ⋆ · ·⏞· ⋆ алгеб­ры g градуированная кратность неприводимого модуля задается форму­лой:∑︁ (, ) =(−1)() [, {̃︁ }] ,{̃︁ }: −̃︁ =(()−)где [, {̃︁ }] – - аналоги мультиномиальных коэффициентов для модуля ,явный вид которых зависит от комбинаторных свойств путей на обобщенной(g, ) - пирамиде, ведущих в рассматриваемый вес.В Заключении перечисляются основные результаты.Список публикаций1.

P.P. Kulish, V.D. Lyakhovsky, and O.V. Postnova, “Multiplicity functions fortensor powers. case,” in Journal of Physics: Conference Series, vol. 343,p. 012070, IOP Publishing. 2012.2. P.P. Kulish, V.D. Lyakhovsky, and O.V. Postnova, “Tensor powerdecomposition. case,” in Journal of Physics: Conference Series, vol. 343,p. 012095, IOP Publishing. 2012.3. P.P. Kulish, V.D. Lyakhovsky, and O.V. Postnova, “Tensor powers fornon-simply laced lie algebras. 2 case,” in Journal of Physics: ConferenceSeries, vol.

346, p. 012012, IOP Publishing. 2012.154. P.P. Kulish, V.D. Lyakhovsky, and O.V. Postnova, “Multiplicity function fortensor powers of modules of the algebra,” Theoretical and MathematicalPhysics 171 (2012) no. 2, 666–674.5. B. Д. Ляховский, O. B. Постнова, “Обобщенные треугольники Паскаля исингулярные элементы модулей алгебр Ли,” Теоретическая иматематическая физика 185 (2015) no. 1, 139–150.Цитированная литература6.

L. Faddeev and L. Takhtadzhyan, “Spectrum and scattering of excitations inthe one-dimensional isotropic Heisenberg model,” Journal of MathematicalSciences 24 (1984) no. 2, 241–267.7. A. Kirillov, “Combinatorial identities, and completeness of eigenstates of theHeisenberg magnet,” Journal of Mathematical Sciences 30 (1985) no. 4,2298–2310.8. A. Kirillov and N. Y. Reshetikhin, “Formulas for multiplicities of occurence ofirreducible components in the tensor product of representations of simple Liealgebras,” Journal of Mathematical Sciences 80 (1996) no.

3, 1768–1772.9. B. Feigin and S. Loktev, “On generalized Kostka polynomials and thequantum Verlinde rule,” Translations of the American MathematicalSociety-Series 2 194 (1999) 61–80, math/9812093.10. P. Di Francesco and R. Kedem, “Proof of the combinatorial KirillovReshetikhin conjecture,” International Mathematics Research Notices 2008(2008) rnn006.11.

G. Hatayama, A. Kuniba, M. Okado, T. Takagi, and Y. Yamada, “Remarkson fermionic formula,” arXiv preprint math/9812022 (1998) .16.