Автореферат (Эффект поверхностных и межфазных напряжений в деформируемом теле с плоской и рельефной поверхностью), страница 3

Ýòî ïîçâîëÿåò ïåðåéòè ê ôîðìóëèðîâêåñîîòâåòñòâóþùåé äâóìåðíîé çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ ïîëóáåñêîíå÷íîé îáëàñòè [7] Ω = {z : Im z < εf (x1 ), Re z ∈ R1 } â ïëîñêîñòè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî z = x1 + ix2 , 0 < ε 1. Ãðàíèöà Γ îáëàñòè Ω îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîìζ = x1 + iεf (x1 ) (ðèñ. 4).

Çäåñü f (x1 ) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì a, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì max |f (x1 )| = a,|f 0 (x1 )| < 1/ε. ñëó÷àå êðèâîëèíåéíîé ïîâåðõíîñòè çàêîí Ëàïëàñà Þíãà äëÿ ïëîñêîéçàäà÷è ïðèíèìàåò âèäσtts1 dσttsσn (ζ) =−i+ p(ζ) ≡ ts (ζ) + p(ζ),rh dx1ζ ∈ Γ,(18)ãäå σn = σnn + iσnt ; p(ζ) = pn (ζ) + ipt (ζ); σnn , σnt íîðìàëüíîå è êàñàòåëüíîåíàïðÿæåíèÿ â ëîêàëüíîé äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò n, t (âóðàâíåíèè (18) îñü n ïåðïåíäèêóëÿðíà Γ); pn , pt ïðîåêöèè âåêòîðà âíåøíåéíàãðóçêè íà ñîîòâåòñòâóþùèå îñè n, t; σtts ïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå; ðàäèóñ êðèâèçíû r êðèâîé Γ è ìåòðè÷åñêèé êîýôôèöèåíò h (êîýôôèöèåíò Ëàìå)îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè [8]11=q,h21 + (εf 0 (x1 ))1=rεf 00 (x1 )21 + (εf 0 (x1 ))3/2 .(19) 10 −a/2 −εaσ1σttsx1a/2Ωλ, µσ1∞σ12Ðèñ.

4.p(x1 )x2σtts Γ∞σ22Äâóìåðíàÿ ìîäåëü óïðóãîãî òåëà ñî ñëàáî èñêðèâë¼ííîé ãðàíèöåéÑ÷èòàåì, ÷òî ôóíêöèÿ p óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ üëüäåðà âñþäó íà Γ èζ+a/2Zp(τ )dτ = −iP,p(ζ) = p(ζ + a),P = P1 + iP2 .(20)ζ−a/2Óñëîâèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè àíàëîãè÷íû óñëîâèÿì (2) ãëàâû 1.Äëÿ íàõîæäåíèÿ íàïðÿæ¼ííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ òåëà èñïîëüçóþòñÿ òå æå ñîîòíîøåíèÿ (5) (6), çàïèñàííûå â âèäå îäíîé ôîðìóëû [3].Ñëåäóÿ ìåòîäó âîçìóùåíèé [9], êîìïëåêñíûå ïîòåíöèàëû è ïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå ïðåäñòàâëÿåì â âèäå ñòåïåííûõ ðÿäîâ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó ε:Φ(z) =∞Xεnn=0n!Φn (z),Υ(z) =∞Xεnn!σtts (ζ)Υn (z),=n=0+Φ−n , Υn ôóíêöèé∞Xεnn=0n!σns (ζ).(21)Çàòåì ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿΦn , Υn è ôóíêöèè p, σns íà Γ ðàñêëàäûâàþòñÿ â ñîîòâåòñòâóþùèå ðÿäû Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè ïðÿìîé Im ζ = 0:Φ−n (ζ)Υ+n ζ ==∞X(iεf (x1 ))mm=0∞Xm!(m)Φ−(x1 ),n(−iεf (x1 ))m + (m)Υn (x1 ),m!m=0p(ζ) =∞X(iεf (x1 ))mm=0∞Xσns (ζ) =m!p(m) (x1 ),(22)(iεf (x1 ))m s(m)σn (x1 ).

(23)m!m=0Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðàçëîæåíèÿ (21) (23) â ãðàíè÷íîì óñëîâèè (18),ïðèõîäèì ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êðàåâûõ çàäà÷ Ðèìàíà Ãèëüáåðòà−s0Θ+n (x1 ) − Θn (x1 ) = iσn (x1 ) + Fn (x1 ),ãäå Fn èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ ïðè n > 0 îò âñåõ ïðåäûäóùèõáëèæåíèé, àΥn (z), Im z > 0,Θn (z) =Φn (z), Im z < 0.Äëÿ ëþáîãî n ïîëó÷åíû ÿâíûå âûðàæåíèÿ Fn ÷åðåç èçâåñòíûå ôóíêöèè,äåííûå â ïðåäûäóùèõ ïðèáëèæåíèÿõ.Ðåøåíèå çàäà÷è (24) èìååò âèä [4]:Θn (z) = Θnu (z) + Θnk (z) + C,Z∞ s 0Z∞1iσn (t)1Fn (t)Θnu (z) =dt, Θnk (z) =dt.2πit−z2πit−z−∞−∞(24)ïðè(25)íàé-(26) 11 Îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ ïîâåðõíîñòíîé è îáú¼ìíîé òåîðèè óïðóãîñòè,çàïèñàííûå â ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò n, t [1, 10], ïðèíèìàþò âèäsσtts = γ0 + (λs + 2µs )εstt ,σ33= γ0 + (λs + γ0 )εstt ,(27)σnn = (λ + 2µ)εnn + λεtt ,σtt = (λ + 2µ)εtt + λεnn ,(28)σnt = 2µεnt ,σ33 = ν(σtt + σnn ),(29)ãäå ν êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà îáú¼ìíîãî ìàòåðèàëà.Èç óñëîâèÿ èäåàëüíîãî êîíòàêòà ïîâåðõíîñòè ñ îáú¼ìîì è ñîîòíîøåíèé(27) (28), êàê è â ãëàâå 1 ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî:σtts = γ0 + (λs + 2µs )εtt .(30)Ñ ó÷¼òîì ðàçëîæåíèé (21) (23), ïðèõîäèì ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óðàâíåíèéλs + 2µs+,(31)σns (x1 ) = Vn (x1 ) + M Re κΦ−(x)+Υ(x),M=11nn2µãäå ôóíêöèè Vn çàâèñÿò òîëüêî îò ïðåäûäóùèõ ïðèáëèæåíèé.

Ïðèâîäÿòñÿ ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé Vn ïðè ëþáîì n.Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû Ñîõîöêîãî Ïëåìåëÿ â óðàâíåíèè (31), ïîëó÷àåìãèïåðñèíãóëÿðíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèåM (κ + 1)σns 0 (x1 ) −2πZ∞−∞σns 0 (t)dt = Vn0 (x1 )+2(t − x1 )(+ ReM (1 − κ) 0M (1 + κ)F n (x1 ) −22πiZ+∞−∞)Fn (t)dt . (32)(t − x1 )2Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (32) ïî òèïó ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì (11), ïîëó÷åííûì â ïåðâîé ãëàâå. Ýòè óðàâíåíèÿ îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ïðàâûìè ÷àñòÿìè.Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (32) è çàäà÷è â öåëîì ñòðîèòñÿ â ïåðâîì ïðèáëèæåíèèïðè îòñóòñòâèè âíåøíåé íàãðóçêè. Íåêîòîðûå ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû ïðèâåäåíû íà ðèñ. 5 è ðèñ.

6. Íóëåâîìó ïðèáëèæåíèþ îòâå÷àåò çàäà÷à î ïîëóïëîñêîñòèñ ïðÿìîëèíåéíîé ãðàíèöåé â îäíîðîäíîì ïîëå íàïðÿæåíèé σ11 = σ1 , σ22 = 0:σ1.(33)4Ó÷èòûâàÿ ïåðèîäè÷íîñòü çàäà÷è, êàê è â ãëàâå 1, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (32)ïðè n = 1 èùåì â âèäå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà∞Xs0σ1 (x) =Ak sin bk x + Bk cos bk x ,bk = 2πk/a.(34)σ0s = γ0 + M (κ + 1)k=1Ñ÷èòàÿ, ÷òî ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ ôîðìó ïîâåðõíîñòè,ÿâëÿåòñÿ ÷¼òíîé, ïðåäñòàâëÿåì å¼ â âèäå ðÿäà Ôóðüå ïî êîñèíóñàì:f (x) =∞Xk=1Ck cos bk x,Ck =2aZa/2f (t) cos bk t dt.−a/2(35) 12 (à)M = 0, 113M =0íì(á)y = 0, 20,151,3íìy = 0, 20,101,2σttσ1M = 0, 113M =0σnnσ11,10,050,001,00,9-0,05-0,50-0,250,000,250,50-0,50-0,25x/a0,000,250,50x/aÐàñïðåäåëåíèå îêðóæíûõ (à) è íîðìàëüíûõ (á) íàïðÿæåíèé â ïðåäåëàõ îäíîãîïåðèîäà ïðè a = 5 íìÐèñ. 5.(à)0,06(á)1,151,35M = 0, 113íìy = 0, 21,101,30y = 0, 2MMMM0,021,50max σtt /σ1max σtt /σ10,041,551,051,251,001,20y = 0, 61,150,95-0,50-0,250,00y 0,25=20,001,45= 0 íì= 0, 1 íì= 0, 5 íì= 1 íì-0,021,40-0,041,35-0,060,501,30-0,50-0,250,000,250,501,101,25íìa, íìÇàâèñèìîñòü ìàêñèìóìîâ îêðóæíûõ íàïðÿæåíèé îò ïåðèîäà èñêðèâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà y (à) è ïàðàìåòðà M (á)1,1510a,10010000,061010010000,041,10Ðèñ.

6.0,021,051,0Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà èíòåãðàëîâ òèïà Êîøè, íàõîäèì ÿâíûå âûðàæåíèÿäëÿ êîýôôèöèåíòîâ Ak , Bk :0,001,000,8-0,020,95M Ck b2k (σ1 (κ + 1) + bk σ0s (κ − 1))Ak =,2 + M bk (κ + 1)0,6-0,040,90Bk = 0,k ≥ 0.0,4-0,06Òàêèì îáðàçîì, â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïîëó÷åíî òî÷íîå àíàëèòè÷åñêîåðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (32) äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôîðìû ïîâåðõíîñòèâ âèäå ðÿäà Ôóðüå-0,50-0,250,000,250,50-0,50-0,250,000,250,500,20,0∞sσ11(x)X Akσ1= γ0 + M (κ + 1) − εcos bk x.4bk101001000(36)k=1 öåëÿõ ïîëó÷åíèÿ ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ ðàññìàòðèâàåòñÿ ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà íà òåëî íå äåéñòâóåò âíåøíÿÿ íàãðóçêà, à ôîðìà ãðàíèöû çàäàíàôóíêöèåéoia h n πxf (x, y) =Im ctg− iy−1 ,dad = Im {ctg (iy)} .(37) 13 Âûáîð òàêîé ôóíêöèè îáóñëîâëåí âîçìîæíîñòüþ îïèñàòü ñ å¼ ïîìîùüþðàçëè÷íûå ôîðìû ïîâåðõíîñòè: âàðüèðóÿ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà y , ìîæíî ïîëó÷èòü ðàçëè÷íûå ôîðìû êðèâûõ îò ëîêàëèçîâàííûõ âûñòóïîâ è âûåìîê äîïîâåðõíîñòåé, îïèñûâàåìûõ êîñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèåé.×èñëåííûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷åíû äëÿ òåõ æå óïðóãèõ ïàðàìåòðîâ ïîâåðõíîñòè è îáú¼ìà, ÷òî è â ãëàâå 1.

Êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà ν = 0, 3; ìàëûé ïàðàìåòð ε = 0, 1; îñòàòî÷íîå íàïðÿæåíèå γ0 ïðèíÿòî ðàâíûì íóëþ.Èç ðèñ. 5à âèäíî, ÷òî ïðè ó÷¼òå ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé èçìåíåíèåîêðóæíûõ íàïðÿæåíèé ñãëàæèâàåòñÿ, à íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ äåìîíñòðèðóþò ïðîòèâîïîëîæíûé ýôôåêò (ðèñ. 5á).

Êðîìå òîãî, ÷åì ìåíüøå ðàäèóñ êðèâèçíû èñêðèâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè, òåì ñèëüíåå ïðîÿâëÿåòñÿ âëèÿíèå ïîâåðõíîñòíûõíàïðÿæåíèé.Ñ öåëüþ âûÿñíåíèÿ âëèÿíèÿ ïàðàìåòðà M íà ðàçìåðíûé ýôôåêò áûëèïðîâåäåíû âû÷èñëåíèÿ äëÿ ãèïîòåòè÷åñêîãî ñî÷åòàíèÿ óïðóãèõ ñâîéñòâ ïîâåðõíîñòè è ïîëóïëîñêîñòè ïðè M = 0, 5 íì è M = 1 íì. Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèéïðèâåäåíû íà ðèñ. 6á âìåñòå ñ êðèâûìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè çíà÷åíèÿì M = 0, 1íì è M = 0. Ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå ïðè M = 0 ýêâèâàëåíòíî êëàññè÷åñêîìó ðåøåíèþ, íå ó÷èòûâàþùåìó ïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå. Èç ðèñ. 6á ñëåäóåò, ÷òîóâåëè÷åíèå ïàðàìåòðà M ïðèâîäèò ê íåìîíîòîííîé çàâèñèìîñòè îêðóæíîãîíàïðÿæåíèÿ îò ïåðèîäà èñêðèâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè.

Áîëåå òîãî, â îòëè÷èå îòðåàëüíîãî çíà÷åíèÿ M = 0, 113 íì, ñ óìåíüøåíèåì ïåðèîäà èñêðèâëåíèÿ a ïðèáëèçèòåëüíî îò çíà÷åíèÿ 20 íì îêðóæíîå íàïðÿæåíèå âîçðàñòàåò ïðè M = 0, 5íì è îò çíà÷åíèÿ 40 íì ïðè M = 1 íì.Âòðåòüåéãëàâåðåøàåòñÿ çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæ¼ííîäåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ äâóõêîìïîíåíòíîãî óïðóãîãî ïðîñòðàíñòâàñî ñëàáî èñêðèâë¼ííîé ïîâåðõíîñòüþ ðàçäåëà â óñëîâèÿõ ïëîñêîé äåôîðìàöèèïðè íàëè÷èè ìåæôàçíûõ íàïðÿæåíèé è äåéñòâèè íàïðÿæåíèé íà áåñêîíå÷íîñòè.  ðàìêàõ ðàññìàòðèâàåìîãî ïîäõîäà ïåðåìåùåíèÿ íåïðåðûâíû ïðèïåðåõîäå ÷åðåç ìåæôàçíóþ ïîâåðõíîñòü, à ñêà÷îê íàïðÿæåíèé ñâÿçàí ñ ñóùåñòâîâàíèåì ìåæôàçíûõ íàïðÿæåíèé.

Ïðîâîäèòñÿ àíàëèç âëèÿíèÿ ôîðìûèñêðèâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè è ôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ íà íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèåãðàíèöû ðàçäåëà ñðåä.Ðàññìàòðèâàåòñÿ óïðóãîå òåëî, ñîñòîÿùåå èç äâóõ ïîëóïðîñòðàíñòâ ñî ñëàáî èñêðèâë¼ííîé ìåæôàçíîé ïîâåðõíîñòüþ.  ñèëó âûïîëíåíèÿ óñëîâèé ïëîñêîé äåôîðìàöèè, êàê è â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ, ïðèõîäèì ê ôîðìóëèðîâêå äâóìåðíîé çàäà÷è äëÿ äâóõêîìïîíåíòíîé ïëîñêîñòè ñî ñëàáî èñêðèâë¼ííîé ãðàíèöåé ðàçäåëà (ðèñ.

7). Ñ÷èòàåì, ÷òî óïðóãèå ñâîéñòâà ïîëóïëîñêîñòåé Ω1 è Ω2 ðàçëè÷íû, à íà ãðàíèöå ðàçäåëà Γ äåéñòâóåò ìåæôàçíîå íàïðÿæåíèå σ s [10, 11, 12].Ãðàíèöà Γ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì Γ = {z : z = ζ ≡ x1 + iεf (x1 )} , ãäåε 1, f (x1 ) íåïðåðûâíàÿ, ïåðèîäè÷åñêàÿ è îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ, òî åñòüf (x1 ) = f (x1 + a), |f (x1 )| ≤ a, |f 0 (x1 )| ≤ M = const, ãäå a ïåðèîä.Íà ìåæôàçíîé ãðàíèöå Γ îòñóòñòâóþò ðàçðûâû ïåðåìåùåíèé, à ñêà÷îêíàïðÿæåíèé σ k (k = 1, 2) îïðåäåëÿåòñÿ çàêîíîì Ëàïëàñà Þíãà:σs1 dσ su (ζ) = u (ζ),σ (ζ) − σ (ζ) = ∆σ(ζ) =−i≡ ts (ζ),(38)rh dx1ãäå ðàäèóñ êðèâèçíû ãðàíèöû r è ìåòðè÷åñêèé êîýôôèöèåíò h îïðåäåëÿþòñÿðàâåíñòâàìè (19).Íà áåñêîíå÷íîñòè âûïîëíåíû óñëîâèÿ:lim σijk (z) = σijk∞ ,lim ωk (z) = ωk∞ , z ∈ Ωk .(39)+−|Im z|→∞+−|Im z|→∞ 14 σ2σsx2σ2x2 = εf (x1 )Γa/2σsx1Ω1λ1 , µ1σ11∞σ12Ðèñ.

7.2∞σ22Ω2λ2 , µ2−a/2 −εaσ12∞σ121∞σ22Äâóìåðíàÿ ìîäåëü äâóõêîìïîíåíòíîãî òåëà ñî ñëàáî èñêðèâë¼ííîé ãðàíèöåéÄëÿ êàæäîé ñðåäû Ωk (k = 1, 2) âåêòîð íàïðÿæåíèé è âåêòîð ïåðåìåùåíèé ñâÿçàíû ñ êîìïëåêñíûìè ïîòåíöèàëàìè Ãóðñà Êîëîñîâà ñîîòíîøåíèÿìè,àíàëîãè÷íûìè ðàâåíñòâàì (5) (6) [3].Ïî àíàëîãèè ñ ãëàâîé 2, èñïîëüçóÿ ìåòîä âîçìóùåíèÿ ãðàíèöû, ôóíêöèèΦk , Υk è σ s ïðåäñòàâëÿåì â âèäå ñòåïåííûõ ðÿäîâ ïî ε, à èõ çíà÷åíèÿ íà ãðàíèöå ðàñêëàäûâàåì â ðÿäû Òåéëîðà. Ïîäñòàâëÿÿ íàïðÿæåíèÿ è ïåðåìåùåíèÿ,âûðàæåííûå ÷åðåç êîìïëåêñíûå ïîòåíöèàëû, â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (38), è ó÷èòûâàÿ ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèé ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó, ïðèõîäèì ê äâóì áåñêîíå÷íûì ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì êðàåâûõ óñëîâèé [13]:+ −Υ1n (x1 ) + Φ2n (x1 ) − Φ1n (x1 ) + Υ2n (x1 ) = F1n + iσ s0n (x1 ) − Tns ,+ −µ2 Υ1n (x1 ) − µ1 κ2 Φ2n (x1 ) − µ1 Υ2n (x1 ) − µ2 κ1 Φ1n (x1 ) = F2n ,(40)(41)ãäå Tns , Fkn (k = 1, 2) ôóíêöèè, çàâèñÿùèå îò ïðåäûäóùèõ ïðèáëèæåíèé.Ðåøåíèå çàäà÷ (40) (41), ñîãëàñíî [3], èìååò âèä:µ1 κ2 In (z) + Jn (z)+ a21n , Υ1n (z) =µ2 + µ1 κ2µI1 n (z) − Jn (z)+ a11n , Φ1n (z) =µ1 + µ2 κ1Φ2n (z) = −Φ1n (z) + In (z) + Cn ,Υ2n (z) = −Υ1n (z) + In (z) + Cn ,ãäåIn (z) = Ink + Inu ,Ink1=2πiZ+∞Im z > 0,Im z < 0,Im z > 0,Im z < 0,F1n (t) − Tns (t)dt,t−z−∞Inu =aj10aj1 ,12πiZ+∞−∞C0 = aj1iσns 0 (t)t−zdt,(42)Jn (z) = Jnk (z) =12πiZ+∞(43)F2n (t)dt,t−z−∞aj2 ,aj1n=+= Cn = 0, n = 1, 2, ..., (−1)j Im z > 0.Àíàëîãè÷íî ìåòîäó, îïèñàííîìó âî âòîðîé ãëàâå, èç óñëîâèÿ èäåàëüíîãî êîíòàêòà è îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé ïîâåðõíîñòíîé è îáú¼ìíîé òåîðèé 15 óïðóãîñòè ïîëó÷åíî óðàâíåíèå, ñâÿçûâàþùåå n-îå ïðèáëèæåíèå èñêîìîãî ìåæôàçíîãî íàïðÿæåíèÿ σns ñ êîìïîíåíòîé îáú¼ìíîé äåôîðìàöèè.

Ñ ó÷¼òîì ðàçëîæåíèé ôóíêöèé ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó ïðèõîäèì ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óðàâíåíèé, àíàëîãè÷íûõ óðàâíåíèÿì (31)λs + 2µs,(44)2µ1ãäå ôóíêöèè Vn çàâèñÿò òîëüêî îò ïðåäûäóùèõ ïðèáëèæåíèé. Ïðèâîäÿòñÿ ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé Fkn (k = 1, 2) è Vn ïðè ëþáîì n.Ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ ñ ó÷¼òîì ôîðìóë Ñîõîöêîãî Ïëåìåëÿ ïîëó÷àåì áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãèïåðñèíãóëÿðíûõèíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé íåèçâåñòíîãî ìåæôàçíîãîíàïðÿæåíèÿ σns 0Z+∞ s 01K2 0σn (t)s0s0σn (x1 ) − M K1dt=MReF(x)−T(x)+11n2π(t − x1 )22 1n+σns (x1 ) − M Re κ1 Φ−(x)+Υ(x)= Vn (x1 ),1n 11n 1M=−∞K1+2πiZ+∞−∞F1n (t) − Tns(t − x1 )2K3 0K4dt +F2n (x1 ) +22πiZ+∞−∞F2n (t)dt + Vn0 , (45)2(t − x1 )ãäå ïîñòîÿííûå Ki (i = 1, 4) çàâèñÿò îò ìîäóëåé óïðóãîñòè íèæíåé è âåðõíåéîáëàñòåé.Íóæíî îòìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèå (45) ïî òèïó ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèÿìè(11) è (32), ïîëó÷åííûìè â ïåðâîé è âòîðîé ãëàâå.

Ýòè óðàâíåíèÿ îòëè÷àþòñÿòîëüêî ïðàâûìè ÷àñòÿìè. Êðîìå òîãî, êàê è óðàâíåíèÿ (11) è (32), óðàâíåíèå(45) ïîëó÷åíî áåç èñïîëüçîâàíèÿ ñâîéñòâà ïåðèîäè÷íîñòè ôóíêöèè f (x1 ), ò. å.îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé ôîðìû ïîâåðõíîñòè.Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (45) è çàäà÷è â öåëîì íàõîäèì â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäàíà áåñêîíå÷íîñòè äåéñòâóþò òîëüêî ïðîäîëüíûå íàïðÿæåíèÿ è óãîë ïîâîðîòà1∞2∞ðàâåí íóëþ, σ11≡ σ1 è σ11≡ σ2 . Íåêîòîðûå ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû ïðèâåäåíûíà ðèñ. 8 è ðèñ.