Автореферат (Эффект поверхностных и межфазных напряжений в деформируемом теле с плоской и рельефной поверхностью), страница 2

Ðàáîòà ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, òð¼õ ãëàâ èçàêëþ÷åíèÿ, ñîäåðæèò 85 ñòðàíèö, 18 ðèñóíêîâ, 1 òàáëèöó, ñïèñîê ëèòåðàòóðûñîäåðæèò 50 íàèìåíîâàíèé.ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÐÀÁÎÒÛÂî ââåäåíèè îáîñíîâàíà àêòóàëüíîñòü òåìû äèññåðòàöèè, ïðèâåä¼í êðàòêèé èñòîðè÷åñêèé îáçîð ïî èññëåäóåìîé òåìàòèêå, ñôîðìóëèðîâàíû öåëè è çàäà÷è ðàáîòû, èçëîæåíà ìåòîäèêà èññëåäîâàíèÿ, ïåðå÷èñëåíû ïîëó÷åííûå â ðàáîòå íîâûå ðåçóëüòàòû, èõ ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü è îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòó.  êîíöå ââåäåíèÿ ïðèâîäèòñÿ êðàòêîå ñîäåðæàíèå äèññåðòàöèè.Ãëàâà 1 ïîñâÿùåíà îïðåäåëåíèþ íàïðÿæ¼ííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ óïðóãîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà ñ ïëîñêîé ïîâåðõíîñòüþ â óñëîâèÿõ ïëîñêîéäåôîðìàöèè ïðè äåéñòâèè íàïðÿæåíèé íà áåñêîíå÷íîñòè, ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé è âíåøíåé íàãðóçêè â íàíîìåòðîâîì äèàïàçîíå èçìåíåíèÿ. íà÷àëå ãëàâû èçëàãàþòñÿ îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ïîâåðõíîñòíîé òåîðèèóïðóãîñòè üðòèíà ̼ðäîêà, ïðèâîäèòñÿ ôîðìóëèðîâêà îáîáùåííîãî çàêîíàËàïëàñà Þíãà è ðàññìàòðèâàåòñÿ âîçìîæíîñòü èõ ïðèìåíåíèÿ äëÿ ðåøåíèÿêðàåâûõ çàäà÷.Ðàññìàòðèâàåòñÿ èçîòðîïíîå è îäíîðîäíîå ïîëóïðîñòðàíñòâî, ïëîñêàÿ ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî íàõîäèòñÿ ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé íàãðóçêè p = (p1 , p2 ) âóñëîâèÿõ ïëîñêîé äåôîðìàöèè, è ïðèíèìàåòñÿ â ðàñ÷¼ò äåéñòâèå ïîâåðõíîñòsíûõ íàïðÿæåíèé σ11íà ãðàíèöå.

Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùåé äâóìåðíîé çàäà÷å î äåôîðìàöèè óïðóãîé ïîëóïëîñêîñòè Ω ñ ïðÿìîëèíåéíîé ãðàíèöåéΓ (ðèñ. 1). Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî óïðóãèå ñâîéñòâà ãðàíèöû Γ îòëè÷àþòñÿ îò óïðóãèõ ñâîéñòâ ïîëóïëîñêîñòè. Ñîãëàñíî îáîáù¼ííîìó çàêîíà Ëàïëàñà Þíãà [1]ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ â ñëó÷àå ïëîñêîé çàäà÷è è çàïèñûâàþòñÿ â âèäå [2]:σ22 (z) − iσ12 (z) + is∂σ11= −i(p1 + ip2 ),∂x1z = x1 + ix2 ,z ∈ Γ,(1) 6 sσ11p(x1 )x2Γsσ11x1Ωλ, µσ1σ1∞σ12∞σ22Ìîäåëü ïîëóïëîñêîñòè ïîä íàãðóçêîéÐèñ. 1.sãäå σ11 ïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå.Íà áåñêîíå÷íîñòèlim (σ22 − iσ12 ) = −x2 →−∞iP,alim σ11 = σ1 ,x2 →−∞lim ω = ω ∞ ,x2 →−∞z ∈ Ω,(2)ãäå σij êîìïîíåíòû íàïðÿæåíèé â ñèñòåìå êîîðäèíàò x1 , x2 ; ω óãîë ïîâîðîòà ìàòåðèàëüíîé ÷àñòèöû. Êðîìå òîãî, âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå èäåàëüíîãîêîíòàêòà ïîâåðõíîñòè è îáú¼ìà (íåïðåðûâíîñòü ïåðåìåùåíèé), êîòîðîå â äåôîðìàöèîííîé ôîðìå èìååò âèäε11 (x1 ) = εs11 (x1 ),(3)x2 = 0.Çäåñü ε11 (x1 ) è εs11 (x1 ) äåôîðìàöèè îáú¼ìà è ïîâåðõíîñòè ñîîòâåòñòâåííî.Èç îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé ïîâåðõíîñòíîé òåîðèè óïðóãîñòè üðòèíà ̼ðäîêà,îáúåìíîé òåîðèè óïðóãîñòè è óñëîâèÿ (3) âûâîäèòñÿ óðàâíåíèå,ñâÿçûâàþùåå íåèçâåñòíîå ïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå è ñîîòâåòñòâóþùóþ êîìïîíåíòó äåôîðìàöèè ε11 îñíîâíîãî ìàòåðèàëà íà ãðàíèöå:(4)sσ11(x1 ) = γ0 + (2µs + λs )ε11 (x1 ),ãäå γ0 îñòàòî÷íîå ïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå â íåäåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè; λs , µs ìîäóëè óïðóãîñòè ïîâåðõíîñòè.Ñâÿçü âåêòîðà íàïðÿæåíèé σn = σnn + iσnt â ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàòn, t è âåêòîðà ïåðåìåùåíèé u = u1 + iu2 â ñèñòåìå êîîðäèíàò x1 , x2 ñ êîìïëåêñíûìè ïîòåíöèàëàìè Ãóðñà Êîëîñîâà Φ è Υ, ñîãëàñíî [3], âûðàæàåòñÿñîîòíîøåíèÿìè:σn = Φ(z) + Φ(z) − Υ(z) + Φ(z) − (z −e−2iα , z ∈ Ω,(5)du0= − κΦ(z) + Φ(z) − Υ(z) + Φ(z) − (z − z) Φ (z) e−2iα ,(6)−2µdzãäå µ ìîäóëü ñäâèãà, κ = 3 − 4ν , ν êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà, α óãîëíàêëîíà ïëîùàäêè ñ íîðìàëüþ n ê îñè x1 .Ïåðåõîäÿ â (5) ê ïðåäåëó ïðè z → Γ, α = 0, ñ ó÷¼òîì ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ(1) ïðèõîäèì ê çàäà÷å Ðèìàíà Ãèëüáåðòà î ñêà÷êå ôóíêöèè Θ, ãîëîìîðôíîéâíå Γ:Υ, Im z > 0,+−s0Θ (x1 ) − Θ (x1 ) = iσ11 (x1 ) + ip(x1 ), Θ = Φ, Im z < 0,(7)ãäå Θ± (x1 ) =lim Θ(z).Im z→±0z) Φ0 (z) 7 Ðåøåíèå çàäà÷è (7) èìååò âèä [4]:(8)Θ(z) = Θk (z) + Θu (z) + C, z ∈/ Γ,∞ZZ∞ s 011ip(t)iσ11 (t)Θk (z) =dt, Θu (z) =dt.2πit−z2πit−z−∞(9)−∞Íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ ñîîòíîøåíèé âûâîäèòñÿ óðàâíåíèå, ñâÿçûâàþsùåå íåèçâåñòíîå ïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå σ11ñ êîìïëåêñíûìè ïîòåíöèàëàìèsσ11= γ0 + (2µs + λs )du1= γ0 + M Re κΦ− + Υ+ ,dx1M=2µs + λs.2µ(10)Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû Ñîõîöêîãî-Ïëåìåëÿ, ïîëó÷àåì ãèïåðñèíãóëÿðíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèåM (κ + 1)s0σ11(x1 ) −2πZ+∞−∞s0σ11(t)dt =(t − x1 )2M (κ − 1) 0M (κ + 1)=p 2 (x1 ) +22πZ+∞−∞p1 (t)dt.(t − x1 )2(11)Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (11) è ïîëó÷åíèÿ ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ïðèâåäåííû íà ðèñ.

2 è ðèñ. 3, íàãðóçêà, äåéñòâóþùàÿ íà ãðàíèöå, ïîëàãàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé, íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ îïèñûâàåòñÿ ÷¼òíîéíåïðåðûâíîé ôóíêöèåé, à êàñàòåëüíàÿ íå÷¼òíîé, òî åñòü p(x) ïðåäñòàâèìà ââèäå ðÿäà Ôóðüå:p(x) = p1 (x) + ip2 (x) =nXCk sin bk x + ik=0nXDk cos bk x,(12)k=0ãäå bk = 2πk/a, a ïåðèîä, çäåñü è äàëåå x ≡ x1 .Òîãäà íåèçâåñòíîå ïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå íàõîäèì â âèäå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà:sσ11(x)=∞X(13)Ak cos bk x + Bk sin bk x .k=0Ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâîéñòâ èíòåãðàëîâ òèïà Êîøè ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèåâûðàæåíèÿ äëÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà Ôóðüå (13)A0 = γ0 + M (κ + 1)Bk = 0,σ1,4k ≥ 0,Ak =M (Ck (κ + 1) + Dk (κ − 1)),2 + M bk (κ + 1)k ≥ 1;(14)è íàéäåíî òî÷íîå ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (11) â âèäå:∞sσ11(x)σ1 X= γ0 + M (κ + 1) +Ak cos bk x.4k=1(15) 8 (à)3,3M = 0, 113M =0y = 0, 2(á)íì0,006M = 0, 113M =0y = 0, 2íì0,0042,2σ11q1σ12q21,10,0020,000-0,0020,0-0,004-0,006-0,50-0,250,000,250,50-0,50-0,25x/a0,000,250,50x/aÐàñïðåäåëåíèå ïðîäîëüíûõ íàïðÿæåíèé â äèàïàçîíå îäíîãî ïåðèîäà ïðè äåéñòâèèêàñàòåëüíîé íàãðóçêè (à) è êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé ïðè äåéñòâèè íîðìàëüíîé íàãðóçêè (á)Ðèñ.

2.0,23(à)(á)0,11,0022,512,01,5y=20,0max |σ11 |/q2max |σ11 |/q13,00y = 0, 21,00,75-0,1-0,20,50y = 0, 6-0,30,25y = 0, 6y = 0, 2-0,4-1y=20,5-0,50-0,250,000,250,00-0,500,50-0,250,000,250,50a, íìíìÇàâèñèìîñòü ìàêñèìóìîâ ìîäóëåé ïðîäîëüíûõ íàïðÿæåíèé îò ïåðèîäà äåéñòâèÿêàñàòåëüíîé (à) è íîðìàëüíîé (á) íàãðóçêèa,10Ðèñ. 3.100100010210010001,0 ðåçóëüòàòå ïîëó÷åíû ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò òåíçîðà íàïðÿæåíèé íà ãðàíèöå Γ.Äëÿ ÷èñëåííûõ ðàñ÷¼òîâ è àíàëèçà ýôôåêòà ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèéðàññìàòðèâàåòñÿ íàãðóçêà, îïðåäåëÿåìàÿ îäíèì èç ðàâåíñòâ10,500,0-1-0,5-2ãäåp1 (x, y) = q1-0,50-0,25Im f (x, y),max | Im f (x, y)|0,000,25p2 (x, y) = q2-1,00,50-0,50Re f (x, y),max | Re f (x, y)|-0,250,000,25(16)0,50iπx,(17)aq1 , q2 ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû, ðàâíûå ìàêñèìóìàì àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ óñèëèé; ïàðàìåòð y îïðåäåëÿåò ôîðìó êðèâûõ.

Ïðè y > 2 êðèâûå, îïèñûâàþùèå äåéñòâèå íàãðóçêè, ñòàíîâÿòñÿ áëèçêèìè ê ñèíóñîèäàëüíûì.Ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðà y ìîæíî ñ ïîìîùüþ äàííûõ ôóíêöèé ìîäåëèðîâàòü äåéñòâèå ïåðèîäè÷åñêîé íàãðóçêè, ðàñïðåäåë¼ííîé íà ó÷àñòêàõ ãðàíèöû,ìàëûõ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðèîäîì.Âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû áûëè ïðîâåäåíû äëÿ àëþìèíèÿ ñ õàðàêòåðèñòèêàìè, âçÿòûìè èç ðàáîòû [5], λs = 6, 8511 Í/ì; µs = −0, 376 Í/ì.  ýòîìñëó÷àå ïðè µ = 27 GPa íàõîäèì, ÷òî êîýôôèöèåíò M = 0, 113 íì.f (x, y) = − sh−2 y + 9 Ïîëó÷åíû ðàñïðåäåëåíèÿ íåêîòîðûõ íàïðÿæåíèé â äèàïàçîíå îäíîãî ïåðèîäà (ðèñ.

2), à òàêæå çàâèñèìîñòè ýòèõ íàïðÿæåíèé îò ïåðèîäà èçìåíåíèÿíàãðóçêè (ðèñ. 3). Ïðîèëëþñòðèðîâàí ðàçìåðíûé ýôôåêò, êîòîðûé ïðîÿâëÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè íàïðÿæåíèé îò ðàçìåðíîãî ïàðàìåòðà ïåðèîäà èçìåíåíèÿíàãðóçêè. ðåçóëüòàòå îáíàðóæåíî, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì ìàêñèìàëüíîì çíà÷åíèè íàãðóçêè âëèÿíèå ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé íà íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèåãðàíèöû ñòàíîâèòñÿ áîëåå çíà÷èòåëüíûì ñ óìåíüøåíèåì ó÷àñòêà ïåðèîäà, íàêîòîðîì ñîñðåäîòî÷åíà îñíîâíàÿ ÷àñòü íàãðóçêè.Èç ðèñ. 3 âèäíî, ÷òî íàèáîëåå çàìåòíîå âëèÿíèå ïåðèîäà íàãðóçêè íàíàïðÿæåíèÿ íàõîäèòñÿ â ïðåäåëàõ èçìåíåíèÿ a ïðèìåðíî îò 1 äî 30 íì.Ïðè a > 100 íì ðàçìåðíûé ýôôåêò ïðàêòè÷åñêè èñ÷åçàåò, è íàïðÿæ¼ííîäåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå òåëà íå çàâèñèò îò ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé.Âî âòîðîé ãëàâå 2 ïðèâîäèòñÿ ðåøåíèå çàäà÷è îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæ¼ííîäåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ ïîëóïðîñòðàíñòâà ñî ñëàáî èñêðèâë¼ííîé ãðàíèöåé â óñëîâèÿõ ïëîñêîé äåôîðìàöèè ïðè äåéñòâèè ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé,âíåøíåé íàãðóçêè è íàïðÿæåíèé íà áåñêîíå÷íîñòè.

Ôîðìà ïîâåðõíîñòè, ðàññìàòðèâàåìàÿ â äàííîé çàäà÷å, ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ íà ïðàêòèêå. Òàê, íàïðèìåð,ñîãëàñíî ðàáîòå [6], âûõîä äèñëîêàöèé íà ïîâåðõíîñòü ìàòåðèàëà ìîæåò ïðèâåñòè ê ôîðìèðîâàíèþ íàíîðàçìåðíîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ðåëüåôà.Ðàññìàòðèâàåòñÿ óïðóãàÿ ñðåäà, çàíèìàþùàÿ ïîëóïðîñòðàíñòâî, ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî áëèçêà ê ïëîñêîé ôîðìå è îáëàäàåò óïðóãèìè ñâîéñòâàìè, îòëè÷íûìè îò àíàëîãè÷íûõ ñâîéñòâ îáú¼ìà. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñðåäà íàõîäèòñÿâ óñëîâèÿõ ïëîñêîé äåôîðìàöèè ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë è äîïîëíèòåëüíûõ ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé σ s .