Диссертация (Абстрактное кодифференциальное исчисление в нормированных пространствах и его приложения к негладкой оптимизации), страница 3

Функция f : X → R называется вещественным линейным функционалом, еслидля любых x, y ∈ X и α, β ∈ R будет f (αx + βy) = αf (x) + βf (y)Теорема 1.2.1 (Хан–Банах). Пусть в вещественном линейном пространстве X задана калибровочная функция p, и пусть f0 — линейный функционал, заданный на линейном подпространстве X0 ⊂ X, такой, что f0 (x) 6 p(x) для всех x ∈ X0 . Тогда существует линейныйфункционал f , определённый на всём X такой, что f совпадает с f0 на X0 и f (x) 6 p(x)для всех x ∈ X.В приложения, как правило, линейные пространства наделены некоторой топологией,естественным образом согласованной с алгебраическими операциями в данном пространстве.Определение 1.2.1. Пусть τ — топология на X.

Пара (X, τ ) называется топологическимвекторным пространством, если операции сложения и умножения на число в X непрерывныв топологии τ . Топологическое векторное пространство (X, τ ) называется хаусдорфовым (илиотделимым), если топология τ хаусдорфова.Замечание 1.2.1. В дальнейшем мы, как правило, будем обозначать топологические векторные пространства через X, опуская обозначение топологии, но подразумевая при этом, чтолинейное пространство X снабжено некоторой топологией, согласованной с линейными операциями.Наиболее важную роль в приложениях теории топологических векторных пространствиграют локально выпуклые пространства.Определение 1.2.2. Топологическое векторное пространство X называется локально выпуклым пространством, если в нём существует фундаментальная система выпуклых окрестностей нуля.

При этом локально выпуклое пространство называется отделимым, если оноотделимо, как топологическое векторное пространство.12В любом отделимом локально выпуклом пространстве X справедлива теорема об отделимости выпуклых множеств.Теорема 1.2.2 (об отделимости). Пусть A и B — непустые выпуклые подмножества отделимого локально выпуклого пространства X, причём A — компактно, а B — замкнуто.Тогда существует вещественный линейный непрерывный функционал f : X → R строгоразделяющий множества A и B, т.

е. для некоторого δ > 0 будетf (a) + δ 6 f (b) ∀a ∈ A,∀b ∈ B.Пусть (X, τ ) и (Y, σ) — топологические векторные (локально выпуклые) пространства.Множество X ×Y , снабжённое покомпонентными операциями сложения и умножения на скаляр, является, очевидно, линейным пространством. В пространстве X×Y можно рассмотретьтопологию τ × σ.

Нетрудно проверить, что пара (X × Y, τ × σ) является топологическим векторным (локально выпуклым) пространством, которое называется прямым произведениемтопологических векторных (локально выпуклых) пространств (X, τ ) и (Y, σ) и обозначается(X, τ ) × (Y, σ).Определение 1.2.3. Топологические векторные пространства X и Y называются изоморфными, если существует линейный непрерывный оператор i : X → Y для которого существуетнепрерывный обратный линейный оператор i−1 : Y → X.Важным классом локально выпуклых пространств являются нормированные пространства.Определение 1.2.4. Функция k · k : X → [0, +∞) называется нормой (в X), если для любыхэлементов x, y ∈ X и λ ∈ K она удовлетворяет следующим условиям:1. kλxk = |λ|kxk,2. kx + yk 6 kxk + kyk (неравенство треугольника),3.

kxk = 0 ⇒ x = 0.Очевидно, что любая норма является преднормой. При этом преднорма p являетсянормой тогда и только тогда, когда из равенства p(x) = 0 следует, что x = 0. Пара (X, k · k),состоящая из линейного пространства X и преднормы (нормы) в нём, называется преднормированным (нормированным) пространством. Любое нормированное пространство является метрическим, с метрикой определяемой по формуле ρ(x, y) = kx − yk. ОбозначимB(x, r) = {y ∈ X | kx − yk 6 r}, O(x, r) = {y ∈ X | kx − yk < r} и SX = {x ∈ X | kxk = 1} —единичная сфера в пространстве X.13Определение 1.2.5. Пусть k · kν , ν ∈ Λ, семейство преднорм в X. Пара (X, k · kν , ν ∈ Λ)называется полинормированным пространством.Пусть (X, k · kν , ν ∈ Λ) — полинормированное пространство. Зафиксируем произвольные ν1 , .

. . , νn ∈ Λ, r > 0 и x ∈ X. МножествоUx,ν1 ,...,νn ,r = {y ∈ X | ky − xkνk < r; k ∈ {1, . . . , n}}называется стандартным открытым шаром в X. Пусть V ⊂ X — произвольное множество.Точка x ∈ V называется внутренней точкой множества V , если она содержится в V вместес некоторым стандартным открытым шаром. Подмножество U ⊂ X называется открытым,если каждая его точка является внутренней. Нетрудно проверить, что совокупность всехоткрытых множеств в X является топологией, при этом говорят, что данная топология порождена системой преднорм k · kν , ν ∈ Λ.

Если не оговорено противное, то везде далее мыбудем предполагать, что полинормированное пространство X снабжено топологией, порождённой системой преднорм в данном пространстве.Нетрудно проверить, что любое полинормированное пространство (X, k · kν , ν ∈ Λ)является локально выпуклым. При этом оно является отделимым тогда и только тогда,когда для любого x ∈ X, x 6= 0, существует ν ∈ Λ такое, что kxkν 6= 0.

Очевидно, что любоенормированное пространство является отделимым локально выпуклым пространством.Пусть X — топологическое векторное пространство над полем K. Множество всех линейных непрерывных функционалов на X называется пространством топологически сопряжённым к X и обозначается через X ∗ .

Если X — нормированное пространство, то сопряжённое пространство X ∗ также можно сделать нормированным, определив в нём норму поформулеkf k = sup |f (x)|,f ∈ X ∗.x∈B(0,1)В любом нормированном пространстве справедливо следующее следствие из теоремыХана–Банаха.Следствие 1.2.1. Пусть X — нормированное пространство и x ∈ X — ненулевой вектор.Тогда существует непрерывный линейный функционал f ∈ X ∗ такой, что kf k = 1 и f (x) =kxk.Пусть X — нормированное пространство.

Напомним, что последовательность {xn },n ∈ N, называется фундаментальной, если для любого ε > 0 существует n0 ∈ N такое, что14для любых n, m > n0 будет kxn − xm k < ε. Пространство X называется полным или банаховым, если любая фундаментальная последовательность в X является сходящейся.

Нетруднопроверить, что пространство X ∗ всегда является полным.Теорема 1.2.3 (Бэр). Пусть (X, k · k) — банахово пространство. Тогда множество X неявляется тощим в (X, k · k).Теорема 1.2.4. Любое конечномерное нормированное пространство X является банаховым. Более того, любые две нормы в X эквивалентны (или, что тоже самое, порождаютодинаковую топологию), т. е.

для любых двух норм k · k1 и k · k2 на X существуют C1 ,C2 > 0 такие, чтоC1 kxk1 6 kxk2 6 C2 kxk1∀x ∈ X.Пусть X — нормированное пространство. Поскольку в данном случае X ∗ тоже является нормированным пространством, то можно рассмотреть пространство (X ∗ )∗ , сопряжённоек X ∗ , которое называется вторым сопряжённым к пространству X и обозначается X ∗∗ . Каноническим вложением пространства X в X ∗∗ называется линейный оператор πX : X → X ∗∗ ,действующий по правилу πX (x) = Φ, где Φ(f ) = f (x) для всех f ∈ X ∗ . Нетрудно проверить,что kπX (x)k = kxk. Пространство X называется рефлексивным, если каноническое вложениеX в X ∗∗ является сюръективным оператором.В нормированном пространстве X можно определить топологию, отличную от нормированной.Определение 1.2.6.

Топология на X, порождённая семейством преднорм {k · kf | f ∈ X ∗ },где kxkf = |f (x)|, называется слабой топологией и обозначается w или σ(X, X ∗ ).Поскольку пространство X ∗ является нормированным пространством, то можно такжерассматривать слабую топологию на этом пространстве. Помимо слабой топологии на X ∗существует и другая естественная топология.Определение 1.2.7. Топология на X ∗ , порождённая семейством преднорм {k · kx | x ∈ X},где kf kx = |f (x)|, называется слабой∗ топологией и обозначается w∗ или σ(X ∗ , X).Предложение 1.2.2. Пространства (X, w) и (X ∗ , w∗ ) являются отделимыми локальновыпуклыми пространствами.Предложение 1.2.3. Пусть X нормированное пространство.

Тогда для того чтобы слабаяи слабая∗ топологии в X ∗ совпадали необходимо и достаточно, чтобы пространство X былорефлексивным.15Предложение 1.2.4. Линейный функционал Φ : X ∗ → R непрерывен в слабой∗ топологиитогда и только тогда, когда существует x ∈ X такое, что Φ(f ) = f (x) для любого f ∈ X ∗ ,т. е. тогда и только тогда, когда Φ входит в образ канонического вложения πX .Теорема 1.2.5 (Банах–Алаоглу). Пусть X — нормированное пространство. Тогда единичный шар B(0, 1) в X ∗ компактен в слабой∗ топологии.Определение 1.2.8. Пусть X и Y — нормированные пространства. Линейный операторi : X → Y называется изометрическим, если для любого x ∈ X будет ki(x)k = kxk.