Диссертация (Абстрактное кодифференциальное исчисление в нормированных пространствах и его приложения к негладкой оптимизации), страница 2

Подход основанный на теории абстрактной выпуклости позволяетобнаружить связь между многочисленными понятиями негладкого анализа и существеннообобщить их. Данный подход позволяет обобщить понятие кодифференцируемости и коэкзостера на случай функций, определённых на нормированном пространстве, а также построитьи детально исследовать общий метод кодифференциального спуска для данных функций,частные варианты которого применялись Г.Ш. Тамасяном и В.Ф. Демьяновым для построения эффективных прямых численных методов решения задач вариационного исчисления[14, 18, 48, 49, 86].Целью диссертации является построение общей теории неоднородных аппроксимаций негладких функций на основе идей абстрактного выпуклого анализа, развитие теориикодифференцируемости и неоднородных выпуклых аппроксимаций в нормированных пространствах, а также их применение к исследованию различных экстремальных задач.Теоретическая значимость работы состоит в том, что в ней развивается общая теория аппроксимаций негладких функций, позволяющая решать различные негладкие экстремальный задачи.

В диссертации строится исчисление абстрактных выпуклых аппроксимаций негладких функций, впервые приводятся многочисленные свойства кодифференцируемых функций, а также детально изучается метод кодифференциального спуска и развивается аппарат исчерпывающих семейств неоднородных выпуклых аппроксимаций, являющийсяудобным инструментом исследования различных оптимизационных задач.Практическая значимость работы определяется тем, что в ней разработан общийподход к построению различных аппроксимаций негладких функций и изучению различных6экстремальных задач с ограничениями. Кроме того, в диссертации подробно изучены методкодифференциального спуска и метод спуска, основанный на неоднородных выпуклых аппроксимациях, позволяющие эффективно решать негладкие экстремальные задачи и строитьновые численные методы решения гладких оптимизационных задач с ограничениями.

Такжев диссертации приведены различные приложения к задачам вариационного исчисления.Научная новизна. Все основные научные результаты диссертации являются новыми.Методы исследования. В диссертации применяются современные методы теорииэкстремальных задач, негладкого анализа и недифференцируемой оптимизации.Основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту:• построено исчисление абстрактных выпуклых аппроксимаций негладких функций;• получены необходимые условия экстремума негладких функций в терминах абстрактных выпуклых аппроксимаций;• на основе абстрактных выпуклых аппроксимаций указана связь между квазидифференциалом, экзостером, кодифференциалом и коэкзостером;• понятия кодифференцируемости и коэкзостера обобщены на случай функций, определённых на нормированном пространстве;• получены многочисленные новые свойства кодифференцируемых функций;• обобщён и подробно изучен метод кодифференциального спуска;• построено исчисление исчерпывающих семейств неоднородных верхних выпуклых инижних вогнутых аппроксимаций негладких функций;• построен и изучен метод спуска, основанный на неоднородных верхних выпуклых аппроксимациях;• выведены необходимые условия экстремума в некоторых негладких задачах вариационного исчисления.Апробация работы.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции “Устойчивость и процессы управления”, посвящённой 80-ти летию со дня рождения В. И. Зубова (г. Санкт–Петербург, 1–2 июля, 2010 г.), международной конференции “Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы (CNSA2012)” (г. Санкт–Петербург, 18–23 июня 2012 г), международной конференции “Обратные и7некорректные задачи математической физики” (г.

Новосибирск, 5–12 августа, 2012 г), 17 Саратовской зимней школе “Современные проблемы теории функций и их приложения” (г. Саратов, 27 января – 3 февраля, 2014 г.), XLI и XLII международных научных конференцияхаспирантов и студентов “Процессы управления и устойчивость” (г. Санкт–Петербург, 5–8 апреля, 2010 г., 4–7 апреля, 2011 г.) и семинаре по дискретному гармоническому анализу игеометрическому моделированию (математико — механический факультет, СПбГУ).По результатом исследований опубликовано 8 печатных работ [14, 21–24, 26, 88, 89],две из которых [14, 23] в изданиях, рекомендуемых ВАК.Диссертация состоит из Введения, пяти глав, заключения, списка обозначений и спискалитературы.

Определения, предложения, теоремы, леммы, следствия, примеры и замечаниянумеруются в соответствии с главой, параграфом, в которых они находятся. Формулы нумеруются в соответствии с главой, в которой они находятся. Объём работы составляет 140страниц. Список литературы включает 128 наименований.8Глава 1Предварительные сведенияВ этом разделе мы приведём различные определения и утверждения из топологии [10,61], функционального анализа [28, 54, 56, 59], выпуклого анализа [27, 41, 45, 60, 94, 95, 128],абстрактного выпуклого анализа [111, 119, 124] и негладкого анализа [4, 13, 16, 29, 64, 117],которые потребуются нам в дальнейшем.1.1Элементы топологииПусть X — произвольное множество.Определение 1.1.1. Пусть τ — семейство подмножеств множества X. Это семейство называется топологией (на X), если оно обладает следующими свойствами:1.

∅ ∈ τ и X ∈ τ ,2. объединение произвольного семейства множеств из τ принадлежит τ ,3. пересечение любого конечного семейства множеств из τ принадлежит τ .Множество с заданной на нём топологией, т.е. пара, состоящая из множества и заданной на нём топологии, называется топологическим пространством. Если семейство τявляется топологией, то множества, принадлежащие ему, называются открытыми, а их дополнения в X — замкнутыми. Любое открытое множество, содержащее заданную точку,называется окрестностью этой точки.Пусть A — произвольное подмножество топологического пространства (X, τ ). Точкаx ∈ A называется внутренней точкой множества A, если существует некоторая окрестностьточки x целиком содержащаяся в A.

Совокупность всех внутренних точек множества A называется внутренностью множества A и обозначается int A. Как нетрудно проверить, int A9является наибольшим (по включению) открытым множеством, содержащимся в A. Наименьшее (по включению) замкнутое множество, содержащее множество A, называется замыканием множества A в X и обозначается cl A.Определение 1.1.2. Подмножество K топологического пространства (X, τ ) называетсякомпактным, если из любого покрытия множества K открытыми множествами можно извлечь конечное подпокрытие, т.е. для любых множеств Uα ∈ τ , α ∈ A (A — произвольSное непустое множество) таких, что K ⊂ α∈A Uα существуют α1 , .

. . , αn ∈ A такие, чтоSK ⊂ nk=1 Uαk .Определение 1.1.3. Топологическое пространство (X, τ ) называется хаусдорфовым, еслилюбые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями. В этом случаетакже говорят, что топология τ — хаусдорфова.Определение 1.1.4.

Подмножество S топологического пространства (X, τ ) называетсяплотным в множестве T ⊂ X, если T ⊂ cl S. Подмножество S ⊂ X называется нигде неплотным, если оно не плотно ни в одном открытом множестве U ∈ τ . Подмножество S ⊂ Xназывается тощим (или множеством первой категории), если оно представимо в виде счётного объединения нигде не плотных множеств.Определение 1.1.5.

Пусть (X1 , τ1 ) и (X2 , τ2 ) — топологические пространства. Отображениеf : X1 → X2 называется непрерывным в точке x ∈ X1 , если для любой окрестности U точкиf (x) в X2 существует такая окрестность V точки x в X1 , что f (V ) ⊂ U . Отображение f : X1 →X2 называется непрерывным, если оно непрерывно в любой точке пространства (X1 , τ1 ).Пример 1.1.1. Пусть (X, ρ) — метрическое пространство. Множество U ⊂ X называетсяоткрытым, если для любого x ∈ U существует r > 0 такое, что{y ∈ X | ρ(y, x) < r} ⊂ U.Нетрудно проверить, что совокупность всех открытых подмножеств τρ метрического пространства (X, ρ) является топологией на X. При этом определения замкнутого множества, замыкания, внутренней точки, внутренности и непрерывности в метрическом и соответствующем топологическом пространстве согласованы.

Также топологическое пространство (X, τρ )является хаусдорфовым.Пусть x — произвольная точка топологического пространства (X, τ ). Система Bxокрестностей точки x называется фундаментальной, или базисом окрестностей точки x,если для любой окрестности V точки x существует окрестность Ux ∈ Bx такая, что Ux ⊂ V .10Пусть (X, τ ) и (Y, σ) — топологические пространства. Определим в прямом произведении X × Y систему подмножествB = {S ⊂ X × Y | S = U × V, U ∈ τ, V ∈ σ}.Будем говорить, что множество G ⊂ X × Y открыто, если для любого x ∈ G существует Sx ∈B такое, что Sx ⊂ G.

Нетрудно проверить, что система открытых подмножеств множестваX ×Y является топологей на X ×Y , которая обозначается τ ×σ. Топологическое пространство(X × Y, τ × σ) называется прямым произведением топологических пространств (X, τ ) и (Y, σ)и обозначается также через (X, τ ) × (Y, σ).1.2Элементы функционального анализаПусть X — линейное пространство над полем K, где K = R или K = C. Для произвольного непустого множества A ⊂ X обозначим через lin A линейную оболочку множестваA.Напомним, что подмножество A пространства X называется выпуклым, если для любых x, y ∈ A и α ∈ [0, 1] будет αx + (1 − α)y ∈ A.

При этом множество {z = αx + (1 − α)y | α ∈[0, 1]} называется отрезком, соединяющим x и y. Множество A называется уравновешенным,если для любого x ∈ A и для любого λ ∈ K такого, что |λ| 6 1 будет λx ∈ A. Множество Aназывается поглощающим, если для любого x ∈ X существует λ > 0 такое, что x ∈ µX длявсех µ, |µ| > λ. Геометрически данное свойство означает, что на любом луче, исходящем изнуля, имеется интервал с концом в нулевой точке, целиком содержащийся в множестве A.Функция p : X → R называется положительно однородной степени µ > 0, если длялюбого x ∈ X и для любого λ > 0 будет p(λx) = λµ p(x). Положительно однороднаяфункция степени единица называется положительно однородной.

Функция p называетсякалибровочной функцией, если p положительно однородна и для любых x1 , x2 ∈ X будетp(x1 + x2 ) 6 p(x1 ) + p(x2 ). Калибровочная функция p называется полунормой (или преднормой), если для любого λ ∈ K будет p(λx) = |λ|p(x).Предложение 1.2.1. 1) Пусть p : X → R неотрицательная калибровочная функция. Тогдадля любого λ > 0 множества {x ∈ X | p(x) < λ} и {x ∈ X | p(x) 6 λ} — выпуклые ипоглощающие.2)Каждому выпуклому поглощающему множеству U ⊂ X соответствует неотрицательная калибровочная функция pU , называемая функционалом Минковского множества11U и определяемая по формулеpU (x) = inf{t > 0 | x ∈ tU },причём{x ∈ X | pU (x) < 1} ⊂ U ⊂ {x | pU (x) 6 1}.Функция f : X → K, определённая на линейном пространстве X над полем K, называется линейным функционалом, если для любых x, y ∈ X и α, β ∈ K будет f (αx + βy) =αf (x) + βf (y).