Диссертация (Абстрактное кодифференциальное исчисление в нормированных пространствах и его приложения к негладкой оптимизации), страница 9

Рассмотрим следующуюэкстремальную задачу:f0 (x) → inf,x ∈ A,fi (x) 6 0,i ∈ I,(2.13)где fi : Ω → R, i ∈ I0 = {0} ∪ I, I = {1 . . . , n}.Теорема 2.5.1. Пусть функции ϕi : X → R являются верхними H–выпуклыми аппроксимациями функций fi в точке x∗ ∈ A и ϕi (0) = 0, i ∈ I0 . Предположим, что x∗ — это точкалокального минимума в задаче (2.13), а H–выпуклая функцияg(·) = sup{ϕ0 (·), ϕ1 (·) + f1 (x∗ ), . . .

, ϕn (·) + fn (x∗ )}(2.14)субоднородна. Тогда 0 — это точка глобального минимума функции g на множестве A−x∗ .Более того, если A = X и 0 ∈ H, то 0 ∈ ∂ ∗H g(0).Доказательство. Учитывая, что x∗ — это точка локального минимума в задаче (2.13), получаем, что x∗ — это точка локального минимума функцииF (·) = max{f0 (·) − f0 (x∗ ), f1 (·), . . . , fn (·)}на множестве A. Воспользовавшись определением верхней H–выпуклой аппроксимации, легко проверить, что функция g (см. (2.14)) является верхней H–выпуклой аппроксимациейфункции F в точке x∗ и g(0) = 0.Предположим, что 0 не является точкой глобального минимума функции g на множестве A − x∗ .

Тогда существует y ∈ A такое, что g(y − x∗ ) = −m < 0 = g(0). Обозначим41∆x = y −x∗ . Заметим, что поскольку A выпукло, то для любого α ∈ [0, 1] будет x∗ +α∆x ∈ A.Так как g является верхней H–выпуклой аппроксимацией функции F в точке x∗ , то существует δ ∈ (0, 1) такое, чтоF (x∗ + α∆x) − F (x∗ ) 6 g(α∆x) +mα ∀α ∈ (0, δ).2Учитывая, что функция g субоднородна, получаем, чтоF (x∗ + α∆x) − F (x∗ ) 6 αg(∆x) +mmα = − α ∀α ∈ (0, δ),22а это противоречит тому факту, что x∗ является точкой локального минимума функции Fна множестве A.Рассуждая аналогичным образом нетрудно проверить справедливость следующегонеобходимого условия максимума.Теорема 2.5.2.

Пусть функции ψi : X → R являются нижними H–вогнутыми аппроксимациями функций fi в точке x∗ ∈ A и ψi (0) = 0, i ∈ I0 . Предположим, что x∗ являетсяточкой локального максимума в задачеf0 (x) → sup,x ∈ A,fi (x) > 0,i ∈ I,(2.15)а H–вогнутая функцияg(·) = inf{ψ0 (·), ψ1 (·) + f1 (x∗ ), . . . , ψn (x∗ ) + fn (x∗ )}супероднородна. Тогда 0 является точкой глобального максимума функции g на множестве∗A − x∗ . Кроме того, если A = X и 0 ∈ H, тогда 0 ∈ ∂ H g(0).В качестве элементарных следствий к предыдущим общим теоремам легко получитьследующие необходимые условия экстремума H–кодифференцируемых функций.Теорема 2.5.3. Пусть функции fi , i ∈ I0 , являются H–кодифференцируемыми в точкеx∗ ∈ A, и пусть x∗ является точкой локального минимума в задаче (2.13). Предположимтакже, что множество H замкнуто относительно сложения и для любого h ∈ H будет∗0 ∈ int dom h. Тогда для любых (Φi , Ψi ) ∈ δH fi (x∗ ) и pi ∈ ∂ H Ψi (0), i ∈ I0 , таких, что функцияg(·) = sup{Φ0 (·) + p0 (·), Φ1 (·) + p1 (·) + f1 (x∗ ), .

. . , Φn (·) + pn (·) + fn (x∗ )}субоднородна, ноль является точкой глобального минимума функции g на множестве A −x∗ .42Теорема 2.5.4. Пусть функции fi , i ∈ I0 , являются H–кодифференцируемыми в точкеx∗ ∈ A, и пусть x∗ является точкой локального максимума в задаче (2.15). Предположимтакже, что множество H замкнуто относительно сложения и для любого h ∈ H будет0 ∈ int dom h. Тогда для любых (Φi , Ψi ) ∈ δH fi (x∗ ) и hi ∈ ∂ ∗H Φi (0), i ∈ I0 , таких, что функцияg(·) = inf{h0 (·) + Ψ0 (·), h1 (·) + Ψ1 (·) + f1 (x∗ ), .

. . , hn (·) + Ψn (·) + fn (x∗ )}супероднородна, ноль является точкой глобального максимума функции g на множествеA − x∗ .2.6Примеры H–кодифференцируемых функцийВ данном разделе мы рассмотрим несколько хорошо известных классов функций, которые являются H–кодифференцируемыми для определённых множеств H. Везде в этомразделе Ω ⊂ X — открытое множество.Пример 2.6.1. Пусть X ∗ ⊂ H, т. е. множество H содержит все линейные непрерывныефункционалы.

Ясно, что в данном случае дифференцируемость по Гато функции f : Ω → Rв точке x ∈ Ω влечёт её H–кодифференцируемость в этой точке. Кроме того, в данном случаеδH f (x) = [f 0 [x], 0] = [0, f 0 [x]],DH f (x) = [{f 0 [x]}, {0}] = [{0}, {f 0 [x]}].Пример 2.6.2. Пусть множество H состоит из всех непрерывных аффинных функций, т. е.H = {h : X → R | h(·) = a + ϕ(·), a ∈ R, ϕ ∈ X ∗ }.По теореме 1.4.2 функция Φ : X → R является абстрактно выпуклой (абстрактно вогнутой)по отношению к множеству H тогда и только тогда, когда Φ — это собственная пн. сн.выпуклая функция (собственная пн.

св. вогнутая функция). Откуда получаем, что функцияf : Ω → R является H–кодифференцируемой в точке x ∈ Ω тогда и только тогда, когдасуществуют собственная пн. сн. выпуклая функция Φ : X → R и собственная пн. св. вогнутаяфункция Ψ : X → R такие, что 0 ∈ int(dom Φ ∩ dom Ψ), Φ(0) + Ψ(0) = 0 и для любогодопустимого ∆x ∈ Xf (x + ∆x) − f (x) = Φ(∆x) + Ψ(∆x) + o(∆x, x),где o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0.Для того чтобы указать другую характеризацию H–кодифференцируемости для рассматриваемого множества H нам потребуется следующее утверждение.43Предложение 2.6.1. Пусть X — банахово пространство и f : X → R — собственная пн.сн. выпуклая функция такая, что 0 ∈ int dom f .

Тогда существуют r > 0 и выпуклое ограниченное множество A ⊂ R × X ∗ такие, что A компактно в топологическом произведении(R, τ ) × (X ∗ , w∗ ) иf (x) = max (a + ϕ(x)) ∀x ∈ B(0, r).(a,ϕ)∈A(2.16)Здесь и везде далее τ — стандартная топология на R.Доказательство. Поскольку пространство X полно, 0 ∈ int dom f и f пн. сн., то функция fнепрерывна на int dom f (теорема 1.3.4) и для любого x ∈ int dom f будет ∂f (x) 6= ∅ (теорема1.3.5). Поэтому существуют r > 0 и C > 0 такие, что|f (x)| 6 C∀x ∈ O(0, 4r).(2.17)Покажем, что субдифференциал функции f ограничен на множестве O(0, 2r). Действительно, из (2.17) и определения субградиента следует, чтоϕ(y − x) 6 f (y) − f (x) 6 2C∀x ∈ O(0, 2r), ∀y ∈ O(0, 4r), ∀ϕ ∈ ∂f (x).Откуда получаем, что для любого x ∈ O(0, 2r) будет ϕ(z) 6 2C для всех z ∈ O(0, 2r) иϕ ∈ ∂f (x) или, что эквивалентно,kϕk 6 C/r∀ϕ ∈ ∂f (x),(2.18)т.

е. субдифференциал функции f ограничен на O(0, 2r).Поскольку ∂f (x) 6= ∅ для всех x ∈ B(0, r), то (по аксиоме выбора) существует отображение B(0, r) 3 x → `[x] ∈ X ∗ такое, что `[x] ∈ ∂f (x) для всех x ∈ B(0, r). Введём множествоA = cl co{(a, ϕ) ∈ R × X ∗ | a = f (x) − `[x](x), ϕ = `[x], x ∈ B(0, r)}.Здесь замыкание берётся в топологии τ × w∗ . Множество A, очевидно, выпукло и замкнутов топологии τ × w∗ .

Учитывая (2.17) и (2.18), получаем, чтоA ⊂ M = [−2C, 2C] × B(0, C/r).Поскольку шар B(0, C/r) ⊂ X ∗ компактен в слабой∗ топологии по теореме Банаха–Алаоглу,то множество M компактно в топологии τ × w∗ , как прямое произведение компактных множеств. Следовательно, A компактно в топологии τ × w∗ , как замкнутое подмножество компактного множества.44Докажем справедливость равенства (2.16). По определению субградиента имеемf (y) > f (x) − `[x](x) + `[x](y) ∀y ∈ X, ∀x ∈ B(0, r),причём в последнем неравенстве равенство достигается при y = x.

Поэтомуf (y) = max (f (x) − `[x](x) + `[x](y)) ∀y ∈ B(0, r).x∈B(0,r)Остаётся только заметить, чтоmax (f (x) − `[x](x) + `[x](y)) = max (a + ϕ(y)) ∀y ∈ X.x∈B(0,r)(a,ϕ)∈AПредложение доказано.Замечание 2.6.1. Из теорем 1.3.3 и 1.3.5 следует, что предыдущее предложение справедливо и в случае, когда X — произвольное нормированное пространство, если дополнительнопотребовать, чтобы функция f была ограничена сверху на некотором открытом множестве.Следствие 2.6.1.

Пусть X — банахово пространство и {fλ }, λ ∈ Λ — семейство собственных пн. сн. выпуклых функций из X в R. Предположим, что существует ρ > 0 такое, чтокаждая функция fλ , λ ∈ Λ ограничена на множестве O(0, ρ). Тогда существуют r > 0(зависящее только от ρ) и семейство {Aλ }, λ ∈ Λ ограниченных выпуклых и компактныхв топологии τ × w∗ подмножеств пространства R × X ∗ такие, что для для любого λ ∈ Λfλ (x) = max (a + ϕ(x)) ∀x ∈ B(0, r).(a,ϕ)∈AλПредположим, что пространство X полно. Принимая во внимание предложение 2.6.1,нетрудно получить следующую характеризацию H–кодифференцируемых функций в рассматриваемом случае.

Функция f : Ω → R является H–кодифференцируемой в точке x ∈ Ωтогда и только тогда, когда существуют выпуклые ограниченные множества A, B ⊂ R × X ∗компактные в топологии τ × w∗ такие, чтоmax a + min b = 0(a,ϕ)∈A(b,ψ)∈Bи для любого допустимого ∆x ∈ Xf (x + ∆x) − f (x) = max (a + ϕ(∆x)) + min (b + ψ(∆x)) + o(∆x, x),(a,ϕ)∈A(b,ψ)∈Bгде o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0.Поскольку в случае X = Rn , топологическое векторное пространство (R × X ∗ , τ × w∗ )изоморфно пространству Rn+1 , наделённому стандартной топологией, то мы получаем, что45в случае X = Rn функция f : Ω → R является H–кодифференцируемой в точке x ∈ Ω тогдаи только тогда, когда она кодифференцируема в этой точке.Различные свойства кодифференцируемых функций и необходимые условия экстремума кодифференцируемых функций будут подробно изучаться в следующей главе.Пример 2.6.3.