Диссертация (Абстрактное кодифференциальное исчисление в нормированных пространствах и его приложения к негладкой оптимизации), страница 12

При этом Df (x) можно отождествить с элементомH–кодифференциала DH f (x).56(ii) В случае, когда X является гильбертовым пространством (или X = Rn ), естественно считать, что df (x), df (x) ⊂ R × X.(iii) Мы будем использовать операции сложения и умножения на число для пар выпуклых множеств (в частности, для кодифференциалов), аналогичные данным операциямвведённым на множестве EP S(H). А именно, если A, B, C, D ⊂ L — подмножества линейного пространства L, λ ∈ R, то положим [A, B] + [C, D] = [A + C, B + D], λ[A, B] = [λA, λB],если λ > 0 и λ[A, B] = [λB, λA], если λ < 0.

Таким образом, правила сложения и умноженияна число для кодифференциалов и для H–кодифференциалов совпадают.Отметим полезную формулу связанную с вычислением кодифференциала.Предложение 3.2.2. Пусть функция f : Ω → R кодифференцируема в точке x, а Df (x) еёкодифференциал в этой точке. Определим функции Φ0 , Ψ0 : R × X → R по формуле (3.3).Тогдаdf (x) = i(∂Φ0 (0, 0)),df (x) = i(∂Ψ0 (0, 0)),где i — естественный изоморфизм пространств (R × X)∗ и R × X ∗ . Более того, для любыхфункций Φ0 , Ψ0 , удовлетворяющих утверждению (iii) предложения 3.2.1, пара множеств[i(∂Φ0 (0, 0)), i(∂Ψ0 (0, 0))] является кодифференциалом функции f в точке x.Доказательство.

Справедливость утверждение очевидным образом вытекает из теоремы1.3.13 и того факта, что топологические векторные пространства ((R×X)∗ , w∗ ) и (R×X ∗ , τ ×w∗ ) изоморфны.Приведём несколько общих примеров кодифференцируемых функций.Пример 3.2.1.

Пусть функция f дифференцируема по Гато в точке x ∈ Ω. Тогда функция fкодифференцируема в точке x и в качестве кодифференциала функции f можно взять паруDf (x) = [{(0, f 0 [x])}, {0}] или пару Df (x) = [{0}, {(0, f 0 [x])}]. Таким образом, f являетсяодновременно гипо- и гипердифференцируемой в точке x функцией.Пример 3.2.2. Пусть f (x) = kxk. По следствию из теоремы Хана–Банаха kxk = max{ϕ(x) |ϕ ∈ X ∗ , kϕk 6 1}. Тогда для любого ∆x ∈ X будетkx + ∆xk − kxk = max (ϕ(x) − kxk + ϕ(∆x)),kϕk61откудаkx + ∆xk − kxk =max (a + ϕ(∆x)),(a,ϕ)∈df (x)57гдеdf (x) = {(a, ϕ) ∈ R × X ∗ | a = ϕ(x) − kxk, kϕk 6 1}.Ясно, что множество df (x) выпукло и ограничено.

Покажем, что оно замкнуто в топологииτ × w∗ . Тогда df (x) будет компактно в этой топологии, откуда получим, что функция kxkгиподифференцируема в каждой точке x ∈ Ω.Действительно, пусть (b, ψ) — предельная точка множества df (x) в топологии τ × w∗ .Тогда для любых ε > 0 и ∆x ∈ X существует точка (ϕ(x) − kxk, ϕ) ∈ df (x) такая, что|ϕ(x) − kxk − b| < ε,|ϕ(∆x) − ψ(∆x)| < ε.Подставляя ∆x = x, получим |ψ(x) − kxk − b| < 2ε. Ввиду произвольности ε > 0 получаем,что b = ψ(x) − kxk.Зафиксируем произвольное ε > 0.

Из определения нормы линейного функционаласледует, что существует ∆x0 ∈ X, k∆x0 k = 1, такое, что |kψk − ψ(∆x0 )| < ε. Так как (b, ψ) —предельная точка множества df (x), то существует (a, ϕ) ∈ df (x) такое, что|a − b| < ε,|ϕ(∆x0 ) − ψ(∆x0 )| < ε.Отсюда получаем |kψk − ϕ(∆x0 )| < 2ε. Поскольку kϕk 6 1 и k∆x0 k 6 1, имеем |ϕ(∆x0 )| 6 1.Следовательно, kψk < 1 + 2ε, и значит kψk 6 1. Таким образом, (b, ψ) = (ψ(x) − kxk, ψ) ∈df (x), что и требовалось.Пример 3.2.3. Пустьf (x) = max g(x, y),y∈Gгде G — компактное топологическое пространство, а g : Ω × G → R, g = g(x, y) — функциятакая, что функция y → g(x, y) непрерывна при каждом x ∈ Ω, функция x → g(x, y) дифференцируема по Гато на Ω при каждом y ∈ G, причём при каждом x ∈ Ω отображениеy → gx0 [x, y] непрерывно на G.

Значит для любых (x, y) ∈ Ω × G и для любого допустимого∆x ∈ X будетg(x + ∆x, y) − g(x, y) = gx0 [x, y](∆x) + ox (∆x, x, y),где ox (α∆x, x, y)/α → 0 при α → 0. Предположим, что для любого x ∈ Ω будетox (α∆x, x, y)/α → 0 при α → 0 равномерно по y ∈ G. Легко видеть, что данное условиевыполнено, если отображение (x, y) → gx0 [x, y] непрерывно на Ω × G.При сделанных выше предположениях нетрудно показать, что для любого x ∈ Ω и длялюбого допустимого ∆x ∈ X будетf (x + ∆x) − f (x) = max(g(x, y) − f (x) + gx0 [x, y](∆x)) + o(∆x, x),y∈G58где o(α∆x, x)/α → 0 при α → 0.

Следовательно, функция f гиподифференцируема в каждойточке x ∈ Ω иDf (x) = cl co (a, ϕ) ∈ R × X ∗ | a = g(x, y) − f (x), ϕ = gx0 [x, y], y ∈ G , {0} .Здесь замыкание берется в топологии τ × w∗ . Отметим, что непрерывность отображенийy → g(x, y) и y → gx0 [x, y] гарантирует ограниченность гиподифференциала функции Df (x).Заметим также, что если пространство X конечномерно или множество G конечно, то множествоco (a, ϕ) ∈ R × X ∗ | a = g(x, y) − f (x), ϕ = gx0 [x, y], y ∈ Gзамкнуто.Пример 3.2.4.

Аналогично предыдущему примеру можно показать, что функцияf (x) = min g(x, y),y∈Gпри сделанных выше предположениях относительно функции g является гипердифференцируемой на Ω.Пример 3.2.5. Пусть x ∈ X и функция f : X → R представима в виде f = g1 − g2 , гдеg1 , g2 : X → R — собственные выпуклые функции. Предположим, что функции g1 и g2 непрерывны в точке x. Тогда по замечанию 2.6.1 существуют r > 0 и выпуклые, ограниченные икомпактные в топологии τ × w∗ множества A1 , A2 ⊂ R × X ∗ такие, чтоg1 (x + ∆x) = max (a + ϕ(∆x)),(a,ϕ)∈A1g2 (x + ∆x) = max (b + ψ(∆x)),∀∆x ∈ B(0, r),(b,ψ)∈A2откуда получаем, что для любого ∆x ∈ B(0, r) будетf (x + ∆x) − f (x) = max (a − g1 (x) + ϕ(x)) + min (−b + g2 (x) − ψ(∆x)).(a,ϕ)∈A1(b,ψ)∈A2Откуда получаем, что функция f является кодифференцируемой в точке x, причёмdf (x) = A1 − {(g1 (x), 0)},df (x) = −A2 + {(g2 (x), 0)}.Отметим, чтоmaxa=(a,ϕ)∈df (x)minb = 0.(b,ψ)∈df (x)При этом, с учётом теоремы 1.3.10, справедливы равенства∂g1 (x) = {ϕ ∈ X ∗ | (0, ϕ) ∈ df (x)},−∂g2 (x) = {ψ ∈ X ∗ | (0, ψ) ∈ df (x)}.593.3Исчисление непрерывно кодифференцируемыхфункцийНаиболее важную роль в приложениях играют непрерывно кодифференцируемыефункции.Определение 3.3.1.

Будем говорить, что функция f : Ω → R непрерывно кодифференцируема в точке x ∈ Ω, если f кодифференцируема в некоторой окрестности точки x и существуеткодифференциальное отображение y → Df (y) определённое в некоторой окрестности точкиx такое, что многозначные отображения y → df (y) и y → df (y) непрерывны по Хаусдорфув точке x.Отметим два простых примера непрерывно кодифференцируемых функций. Еслифункция f : Ω → R непрерывно дифференцируема по Гато в точке x ∈ Ω, то функция f ,очевидно, является гипо– и гипердифференцируемой в данной точке. Также нетрудно проверить, что функция f (x) = kxk непрерывно кодифференцируема на всём пространстве X.Замечание 3.3.1.

Пусть функция f : Ω → R непрерывно кодифференцируема в точке x. Вездедалее символом Df мы будем обозначать некоторое (вообще говоря не единственное) непрерывное кодифференциальное отображение y → Df (y) функции f в окрестности точки x.При этом любое утверждение в котором будет использоваться Df справедливо для каждогонепрерывного кодифференциального отображения функции f в окрестности точки x (или нанекотором множестве S ⊂ Ω).

В силу данного замечания в дальнейшем мы не будем уточнятькакое именно непрерывное кодифференциальное отображение фигурирует в формулировкахутверждений.Поскольку множество H всех непрерывных аффинных функций является линейныйм пространством замкнутым относительно вертикальных сдвигов и справедлива теорема 1.3.3, гарантирующая регулярность H–производной, то из общего исчисления H–кодифференцируемых функций нетрудно получить формулы для вычисления кодифференциалов.

Однако, нетрудно заметить, что в случае непрерывно кодифференцируемых функций справедливы более сильные утверждения.Предложение 3.3.1. Пусть функции fi : Ω → R, i ∈ I = {1, . . . , n}, непрерывно кодиффеPренцируемы в точке x ∈ Ω. Тогда для любых ci ∈ R, i ∈ I функция f = ni=1 ci fi такженепрерывно кодифференцируема в точке x иnXDf (x) =ci Dfi (x).i=160Предложение 3.3.2. Пусть функции fi : Ω → R, i ∈ I = {1, .

. . , n}, непрерывны и непрерывно кодифференцируемы в точке x ∈ Ω, S ⊂ Rn — открытое множество, функция g : S →R непрерывно дифференцируема в точке y = (f1 (x), . . . , fn (x)). Предположим также, чтов некоторой окрестности точки x определена суперпозиция T (·) = g(f1 (·), .

. . , fn (·)). Тогдафункция T непрерывно кодифференцируема в точке x, причёмnX∂gDT (x) =(f1 (x), . . . , fn (x))Dfi (x).∂yii=1Предложение 3.3.3. Пусть функции f1 , f2 : Ω → R непрерывны и непрерывно кодифференцируемы в точке x ∈ Ω. Тогда функция f = f1 · f2 также непрерывно кодифференцируема вточке x иDf (x) = f1 (x)Df2 (x) + f2 (x)Df1 (x).Предложение 3.3.4. Пусть функция f : Ω → R непрерывна и непрерывно кодифференцируема в точке x ∈ Ω, причём f (x) 6= 0. Тогда функция g = 1/f также непрерывнокодифференцируема в точке x иDg(x) = −1Df (x).f 2 (x)Предложение 3.3.5.

Пусть функция f : Ω → R непрерывна и непрерывно кодифференцируема в точке x ∈ Ω и a > 0 произвольно. Тогда функция g(·) = af (·) также непрерывнокодифференцируема в точке x иDg(x) = ln a af (x) Df (x).Предложение 3.3.6. Пусть функции fi : Ω → R, i ∈ I = {1, . . . , n}, непрерывны и непрерывно кодифференцируемы в точке x ∈ Ω. Тогда функции f = maxi∈I fi и g = mini∈I fiтакже непрерывно кодифференцируемы в данной точке, причём Df (x) = [df (x), df (x)] иDg(x) = [dg(x), dg(x)], гдеnoXdf (x) = co {(fi (x) − f (x), 0)} + dfi (x) −dfj (x) i ∈ I ,df (x) =nXdfk (x),k=1dg(x) =j∈I\{i}nXdfi (x),(3.4)(3.5)k=1noXdg(x) = co {(fi (x) − g(x), 0)} + dfi (x) −dfj (x) i ∈ I .j∈I\{i}Доказательство. Докажем утверждение для функции f . Заметим, что отображения (3.4)–(3.5) являются непрерывными, поэтому достаточно доказать, что существует кодифференциальное отображение функции f вида (3.4)–(3.5).

Заметим также, что множества df (x) иdf (x) выпуклы ограничены, а также компактны в топологии τ × w∗ по теореме 1.3.1.61ОбозначимΦi (·) =max(a + ϕ(·)),(a,ϕ)∈dfi (x)Ψi (·) =min(b + ψ(·)),∀i ∈ I.(b,ψ)∈dfi (x)Из теоремы об H–кодифференциале функции максимума конечного числа функций (теорема2.4.2) имеем, что функция f является H–кодифференцируемой в точке x иXn XΨj ,Ψk .j∈I\{i}k=1δH f (x) = max fi (x) − f (x) + Φi −i∈IОткуда для любого допустимого ∆x ∈ X будетf (x + ∆x) − f (x) = Φ0 (∆x) + Ψ0 (∆x) + o(∆x, x),где o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0 иXΦ0 (y) = max fi (x) − f (x) + Φi (y) −Ψj (y) ,i∈IΨ0 (y) =nXΨk (y) ∀y ∈ X.k=1j∈I\{i}Очевидно, что Φ0 : X → R — собственная непрерывная выпуклая функция, а Ψ0 : X → R— собственная непрерывная вогнутая функция. Поэтому функция f кодифференцируема вточке x.Остаётся только заметить, чтоΦ0 (y) =max (a + ϕ(y)),(a,ϕ)∈df (x)Ψ0 (y) =min(b + ψ(y)) ∀y ∈ X.(b,ψ)∈df (x)Утверждение доказано.Замечание 3.3.2.

Таким образом, множество всех непрерывно кодифференцируемых на некотором множестве S ⊂ Ω функций образует векторную решётку, замкнутую относительнооперации поточечного умножения. Отметим также, что формулы для вычисления кодифференциалов достаточно элементарны и могут быть легко алгоритмизированы [6].Для того чтобы доказать ещё одну теорему о кодифференцируемости суперпозициифункций нам потребуется понятие кодифференцируемости по Фреше.Определение 3.3.2. Функция f : Ω → R называется кодифференцируемой по Фреше в точкеx ∈ Ω, если f кодифференцируема в данной точке и существует кодифференциал Df (x)функции f в точке x такой, что для любого допустимого ∆x ∈ X будетf (x + ∆x) − f (x) =max (a + ϕ(∆x)) +(a,ϕ)∈df (x)min(b + ψ(∆x)) + o(∆x, x),(b,ψ)∈df (x)где o(∆x, x)/k∆xk → 0 при ∆x → 0.62Нетрудно проверить справедливость следующего утверждения.Предложение 3.3.7.