Автореферат (Спектральные асимптотики в задачах с самоподобным весом)

На правах рукописиРастегаев Никита ВладимировичСПЕКТРАЛЬНЫЕ АСИМПТОТИКИ ВЗАДАЧАХ С САМОПОДОБНЫМ ВЕСОМСпециальность 01.01.02 —«Дифференциальные уравнения, динамические системыи оптимальное управление»Авторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург — 2018Работа выполнена в Санкт-Петербургском отделении Математического ин­ститута им. В.А.Стеклова РАННаучный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорНазаров Александр ИльичОфициальные оппоненты: Борзов Вадим Васильевич,доктор физико-математических наук, доцент,Санкт-Петербургский государственный универси­тет телекоммуникаций им.

проф.М. А. Бонч-Бруевича,профессор кафедры высшей математикиВладимиров Антон Алексеевич,кандидат физико-математических наук,Федеральный исследовательский центр «Инфор­матика и управление» Российской академии наук,старший научный сотрудникВедущая организация:Федеральное государственное бюджетное обра­зовательное учреждение высшего образования«Московский государственный университет имениМ.В.Ломоносова»Защита состоится 14 июня 2018 г. в 12 часов 30 минут на заседании дис­сертационного совета Д 212.

232. 49 на базе Санкт-Петербургского государ­ственного университета по адресу: 198504, Россия, Санкт-Петербург, СтарыйПетергоф, Университетский пр., дом 28, ауд. 405.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. ГорькогоСанкт-Петербургскогогосударственногоуниверситетапоадресу:199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, а также на сайтеhttps://disser.spbu.ru/files/disser2/disser/1Qg1W7wwkC.pdf.Автореферат разослан «»2018 года.Ученый секретарь диссертационного сове­та Д 212.

232. 49, доктор физико-математиче­ских наук, доцентЧурин Ю. В.3Общая характеристика работыАктуальность темы исследования. Анализ асимптотики спектракраевых задач с сингулярным весом — классическая задача, изучение кото­рой ведется с середины прошлого века и восходит к работам М. Г. Крейна(см. напр. [8]), в которых для распределения собственных значений задачи− ′′ = ,(0) = (1) = 0,(1)в случае неотрицательной весовой меры была получена формула1lim √ =→∞∫︁1 √︀′ ,(2)0где — абсолютно непрерывная составляющая первообразной меры .В случае чисто сингулярной меры из соотношения (2) следует, чтосчитающая функция () = #{ : < } собственных значений задачи (1)√√допускает оценку ( ) вместо обычной асимптотики () ∼ в случаемеры, содержащей абсолютно непрерывную составляющую.В [1] получены похожие результаты для операторов произвольного чет­ного порядка в многомерном случае и лучшие оценки сверху на считающуюфункцию собственных значений для некоторых специальных классов мер.В последние 20 лет наблюдается новый интерес к этим задачам, а так­же к близким задачам о спектре краевых задач с сингулярным потенциалом.В работах [7] и др.

рассматривается случай индефинитного самоподобноговеса в задаче Штурма-Лиувилля. В этом случае для положительной и отри­цательной составляющей спектра имеет место асимптотика, аналогичная (3),однако показатель ∈ (0,1). В работе [9] асимптотика (3) обобщается наслучай дифференциального оператора произвольного четного порядка. Кро­ме того, показано, что функция в этой асимптотике является непрерывной.В работах [5] (для уравнения Штурма-Лиувилля) и [18; 4] (для уравненияпроизвольного четного порядка) рассматривается случай дискретного само­подобного веса. В этом случае собственные числа растут экспоненциально.В работе [11] для уравнения Штурма-Лиувилля рассматриваются самопо­добные веса из пространства мультипликаторов в пространствах Соболева.Во многих работах рассматривается задача Штурма-Лиувилля с потенциала­4ми из пространств Соболева, в том числе с потенциалами-распределениями(см.

[10] и упомянутую там литературу). Операторы Крейна-Феллера, являю­щиеся обобщением весовых операторов Штурма-Лиувилля, рассматриваютсяв серии работ (см. [13] и ссылки в ней, а также [2]) в случае, когда хотя быодна из входящих в определение оператора мер является самоподобной.Степень разработанности темы исследования. Точный степен­ной порядок роста считающей функции () для задачи (1) в случаесингулярной самоподобной меры был установлен в [14].В работах [20] и [16] был выделен главный член спектральной асимпто­тики в случае сингулярной самоподобной меры , и показано, что считающаяфункция собственных значений задачи (1) имеет асимптотику(︀)︀ () = · (ln ) + (1) , → +∞,(3)где — некоторая ограниченная и отделенная от нуля -периодическая функ­ция, а степенной показатель ∈ (0, 12 ).

Как функция (в частности, период ), так и показатель определяются параметрами самоподобия веса . В слу­чае неарифметического самоподобия (см. Определение 1 ниже) канторовойлестницы — первообразной меры — функция вырождается в константу.В работе [9] сформулирована следующая гипотеза.Гипотеза 1. Функция в (3) является непостоянной для произвольногонеравномерного веса с арифметически самоподобной первообразной.В работе [7] при помощи компьютерных вычислений доказано, чтофункция действительно не может являться постоянной в том простейшемслучае, когда первообразная веса — классическая канторова лестница.В работе [6] гипотеза 1 была подтверждена для т.н. “ровных” лестниц.Для таких лестниц была доказана следующая характеризационная теорема.Теорема A.

Коэффициент из асимптотики (3) допускает представление∀ ∈ [0, ] () = − (),(4)где — некоторая чисто сингулярная неубывающая функция (т.е. ее обоб­щенная производная есть мера, сингулярная относительно меры Лебега).5Отсюда утверждение () ̸= следует немедленно.

Этот результатпозднее был обобщен в работе [3] на случай уравнения четвертого порядка.Цели и задачи. В главах 1 и 2 данной диссертации доказываетсяформула (4) из теоремы A и, следовательно, подтверждается гипотеза 1 дляболее широкого класса лестниц.Заметим, что асимптотика (3) является частным случаем почти регу­лярной спектральной асимптотики () ∼ ()(ln ), → +∞,где ∈ (0,1), — медленно меняющаяся, а — -периодическая функция.В главе 3 рассматривается асимптотика спектра тензорного произведе­ния компактных операторов с почти регулярной спектральной асимптотикой.Научная новизна. Выносимые на защиту положения являются но­выми и получены автором самостоятельно.Теоретическая и практическая значимость работы.

Работа но­сит теоретический характер. Известные приложения результатов данной дис­сертации встречаются в задачах, касающихся асимптотик квантования слу­чайных величин и векторов (см. например [17]), сложности в среднем линей­ных задач, то есть задач приближения непрерывного линейного оператора(см. например [19]), а также в рамках интенсивно развивающейся теории ма­лых уклонений случайных процессов, а именно, для малых уклонений гаус­совских случайных процессов в 2 -норме (см. например [15]).Методология и методы исследования.

При доказательстве основ­ных результатов данной диссертации были использованы: классические мето­ды спектральной теории операторов в гильбертовых пространствах; асимп­тотические методы; методы анализа асимптотики спектра тензорного про­изведения операторов, разработанные в [15]; методы анализа асимптотикиспектра, основанные на связи между спектрами задач на отрезке и его подот­резках, в том числе свойство спектральной периодичности и специально вве­денное в данной работе свойство спектральной квазипериодичности; сверткаМеллина, а также введенная в данной работе обобщающая ее почти мелли­новская свертка и ее свойства.6Положения, выносимые на защиту.1.

В случае резонанса 1:1:...:1 доказана спектральная квазипериодич­ность для задачи Робена, обобщающая свойство спектральной пери­одичности, выполненное в случае “ровной” лестницы.2. В случае общего резонанса доказаны теоремы, описывающие связьмежду спектрами задачи на отрезке и подотрезках, содержащихноситель меры.3. Теорема A доказана для лестниц с ненулевыми промежуточнымиинтервалами в случаях резонанса 1:1:...:1 и общего резонанса.4. Исследованы асимптотические свойства почти меллиновской сверт­ки, обобщающей свертку Меллина на случай функций с периодиче­ской компонентой.5.

Получен главный член спектральной асимптотики тензорного про­изведения компактных операторов с почти регулярной спектраль­ной асимптотикой для всех возможных комбинаций параметровмаргинальных асимптотик.Степень достоверности и апробация результатов. Все результа­ты снабжены подробными доказательствами, опубликованы в ведущих науч­ных изданиях и докладывались на следующих семинарах и конференциях:– Cеминар им. В.И. Смирнова по математической физике в Санкт-Петербургскомотделении математического института им.

В.А.Стеклова РАН (Санкт-Петер­бург, 2014, 2017, рук: Н. Н. Уральцева, А. И. Назаров, Т. А. Суслина).– Seminar at the Institute of Stochastics and Applications, University of Stuttgart(Штутгарт, Германия, 2016, 2017, рук: U. R. Frieberg).– Семинар «Операторные модели в математической физике» лаборатории опера­торных моделей и спектрального анализа механико-математического факульте­та МГУ им.

М.В. Ломоносова (Москва, 2017, рук: А. А. Шкаликов).– Конференция «Спектральная теория и дифференциальные уравнения», посвя­щённая столетию Б. М. Левитана (Москва, 2014).– 6th St.Petersburg Conference in Spectral Theory dedicated to the memory ofM.Sh.Birman (СПб, 2014).– Конференция Days on Diffraction (СПб, 2016).– 8th St.Petersburg Conference in Spectral Theory dedicated to the memory ofM.Sh.Birman (СПб, 2016).– 26th St.Petersburg Summer Meeting In Mathematical Analysis (СПб, 2017).– Symposium on Probability Theory and Random Processes (СПб, 2017).Публикации.