Автореферат (Свойства периодических и близких к периодическим решений в общей задаче трех тел)

Íà ïðàâàõ ðóêîïèñèßñüêî Ïàâåë Ïåòðîâè÷ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÈÕ È ÁËÈÇÊÈÕ ÊÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÈÌ ÐÅØÅÍÈÉ Â ÎÁÙÅÉÇÀÄÀ×Å ÒÐÅÕ ÒÅË01.03.01 àñòðîìåòðèÿ è íåáåñíàÿ ìåõàíèêàÀâòîðåôåðàò äèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÑàíêòÏåòåðáóðã 2016Ðàáîòà âûïîëíåíà â ÑàíêòÏåòåðáóðãñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå.Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:äîêòîð ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðÎðëîâ Âèêòîð Âëàäèìèðîâè÷Îôèöèàëüíûå îïïîíåíòû:×åðíèí Àðòóð Äàâèäîâè÷,äîêòîð ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð,ãëàâíûé íàó÷íûé ñîòðóäíèê îòäåëà âíåãàëàêòè÷åñêîé àñòðîíîìèè Ãîñóäàðñòâåííîãîàñòðîíîìè÷åñêîãî èíñòèòóòà èì. Ï.Ê.

Øòåíáåðãà ÌÃÓ èì. Ì.Â. ËîìîíîñîâàÆåëåçíîâ Íèêîëàé Áîðèñîâè÷,êàíäèäàò ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê ëàáîðàòîðèè ìàëûõ òåë Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû Èíñòèòóòàïðèêëàäíîé àñòðîíîìèè ÐÀÍÂåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:Óðàëüñêèé ôåäåðàëüíûé óíèâåðñèòåò èìåíè ïåðâîãî Ïðåçèäåíòà Ðîññèè Á.Í. ÅëüöèíàÇàùèòà ñîñòîèòñÿ 14“ èþíÿ 2016 ã. â 17 ÷. 00 ì. íà çàñåäàíèè äèññåðòàöèîííîãî ñîâå”òà Ä 212.232.15 ïðè ÑàíêòÏåòåðáóðãñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå ïî àäðåñó:198504, ÑàíêòÏåòåðáóðã, Ñòàðûé Ïåòåðãîô, Óíèâåðñèòåòñêèé ïð., ä. 28, àóä. 2143(Ìàòåìàòèêîìåõàíè÷åñêèé ôàêóëüòåò).Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â Íàó÷íîé áèáëèîòåêå èì.

Ì. Ãîðüêîãî ÑàíêòÏåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà ïî àäðåñó: 199034, ÑàíêòÏåòåðáóðã,Óíèâåðñèòåòñêàÿ íàá., 7/9 è íà ñàéòå https://disser.spbu.ru/disser/soiskatelyu-uchjonojstepeni/dis-list/details/14/888.html.Àâòîðåôåðàò ðàçîñëà픓2016 ã.Ó÷åíûé ñåêðåòàðü äèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà,êàíäèäàò ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÌèëàíîâà Þ.Â.Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòûÇàäà÷à òðåõ òåë ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêîé çàäà÷åé íåáåñíîé ìåõàíèêè. Ñôîðìóëèðîâàííàÿ â 1687 ãîäó Íüþòîíîì, îíà ïðèâëåêàëà âíèìàíèå ìíîãèõ âûäàþùèõñÿ ìàòåìàòèêîâ, ìåõàíèêîâ è àñòðîíîìîâ. Ýéëåð, Ëàãðàíæ, Ëàïëàñ, ßêîáè, Õèëë, Ïóàíêàðå,Ñóíäìàí, Áèðêõîôô, Ëÿïóíîâ, Êîëìîãîðîâ, Àðíîëüä, Ìîçåð è ìíîãèå äðóãèå ó÷åíûå ïîñâÿòèëè ýòîé çàäà÷å ãîäû ñâîèõ èññëåäîâàíèé. Îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è òðåõòåë áûëî ïîëó÷åíî Ñóíäìàíîì (1912) â âèäå ðàâíîìåðíî è àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿðÿäîâ.

Îäíàêî, ýòè ðÿäû ñõîäÿòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ìåäëåííî, ÷òî îçíà÷àåò èõ ïðàêòè÷åñêóþ íåïðèãîäíîñòü. Íàðÿäó ñ ïîïûòêàìè ïîëó÷èòü îáùåå ðåøåíèå, ïðåäïðèíèìàëèñü ïîïûòêè ïîëó÷èòü ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ çàäà÷è, â êîòîðûõíàêëàäûâàëèñü äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ ñèììåòðèè è óïðîùàþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ.Îäíèì èç ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ çàäà÷è òðåõ òåë ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìà ðàâíûõ ìàññ ñ íóëåâûìóãëîâûì ìîìåíòîì.Âàæíóþ ðîëü â äèíàìèêå òðîéíûõ ñèñòåì èãðàþò ïåðèîäè÷åñêèå îðáèòû.

Óñòîé÷èâûå ïåðèîäè÷åñêèå îðáèòû ïðèòÿãèâàþò“ ê ñåáå ìíîæåñòâà îðáèò ñ îãðàíè÷åí”íûìè äâèæåíèÿìè, à íåóñòîé÷èâûå îðáèòû ïîðîæäàþò õàîñ. Ïåðâûå ïåðèîäè÷åñêèåðåøåíèÿ â çàäà÷å òðåõ òåë ñ íóëåâûì óãëîâûì ìîìåíòîì áûëè íàéäåíû Øóáàðòîì(1956) äëÿ ïðÿìîëèíåéíîé çàäà÷è, Áðóêîì (1979) äëÿ ðàâíîáåäðåííîé çàäà÷è è Ìóðîì (1993) äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ. Èññëåäîâàíèÿ çàäà÷è òðåõ òåë ðàâíûõ ìàññ ñ íóëåâûìóãëîâûì ìîìåíòîì Øóâàêîâûì è Äìèòðàøèíîâè÷åì (2013) ïðèâåëè ê îáíàðóæåíèþíîâûõ ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò.Äèññåðòàöèîííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà ïîèñêó ïåðèîäè÷åñêèõ è áëèçêèõ ê ïåðèîäè÷åñêèì îðáèò â îáùåé çàäà÷å òðåõ òåë ðàâíûõ ìàññ ñ íóëåâûì óãëîâûì ìîìåíòîì.

Ðàññìàòðèâàëèñü äâà ðàçëè÷íûõ ñïîñîáà çàäàíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé: íà÷àëüíûå ñêîðîñòè âñåõ òåë îòëè÷íû îò íóëÿ; íà÷àëüíûå ñêîðîñòè âñåõ òåë ðàâíû íóëþ(freefall equalmass threebody problem). Ïðåäëîæåí è àïïðîáèðîâàí íîâûé ìåòîäëîêàëèçàöèè íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ áëèçêèõ ê ïåðèîäè÷åñêèì îðáèò. Ðàçðàáîòàííûì ìåòîäîì áûëè íàéäåíû îáëàñòè íà÷àëüíûõ óñëîâèé, â êîòîðûõ, âåðîÿòíî, ñîäåðæàòñÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò. Îáíàðóæåííûå áëèçêèå êïåðèîäè÷åñêèì îðáèòû áûëè îïèñàíû è êëàññèôèöèðîâàíû ïî äèíàìè÷åñêèì è ãåîìåòðè÷åñêèì ñâîéñòâàì.Àêòóàëüíîñòü ðàáîòûÈññëåäîâàíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò â çàäà÷å òðåõ òåë ïðîâîäÿòñÿ ðåãóëÿðíî ñî âðåìåí Ïóàíêàðå.

 ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ èíòåðåñ ê ýòîé òåìàòèêå ñóùåñòâåííî âûðîñ ïîÿâèëîñü ìíîãî ðàáîò, èñïîëüçóþùèõ êà÷åñòâåííûå, àíàëèòè÷åñêèå è ÷èñëåí-3íûå ìåòîäû èññëåäîâàíèé. Íåïðåðûâíûé ïðîãðåññ â âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêå ïîçâîëÿåò ðàçðàáàòûâàòü è ïðèìåíÿòü âñå íîâûå ìåòîäû è ïîäõîäû â ïîèñêå è èçó÷åíèè ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé. Ñîâìåñòíîå èñïîëüçîâàíèå ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ è àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè (âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå,òåîðèÿ ãðóïï, ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç è äð.) ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî ïðèìåíÿòü÷èñëåííîàíàëèòè÷åñêèé ïîäõîä äëÿ ïîèñêà ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé è èññëåäîâàíèÿèõ ñâîéñòâ.

Îäíàêî, â îñíîâíîì, â ïðåäûäóùèõ ðàáîòàõ ðàññìàòðèâàëèñü îòäåëüíûåïåðèîäè÷åñêèå îðáèòû â îãðàíè÷åííûõ îáëàñòÿõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé â ðàçëè÷íûõ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ çàäà÷è òðåõ òåë. Íàïðèìåð, â ïðÿìîëèíåéíîé è ðàâíîáåäðåííîé çàäà÷àõ. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëÿåòñÿ àêòóàëüíûì ðàññìîòðåíèå îáîáùàþùèõ ñëó÷àåâ â çàäà÷å òðåõ òåë, ëîêàëèçàöèÿ è êëàññèôèêàöèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò, âûäåëåíèå îòäåëüíûõ ñåìåéñòâ ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò, èçó÷åíèå çàâèñèìîñòåé óñòîé÷èâîñòè,òîïîëîãèè, õàðàêòåðà ýâîëþöèè è äèíàìèêè îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé è ïàðàìåòðîâçàäà÷è.Öåëè ðàáîòûÎñíîâíîé öåëüþ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ïîèñê è èññëåäîâàíèå ïåðèîäè÷åñêèõ è áëèçêèõ êïåðèîäè÷åñêèì îðáèò â îáùåé çàäà÷å òðåõ òåë ðàâíûõ ìàññ ñ íóëåâûì óãëîâûì ìîìåíòîì.

Äëÿ äîñòèæåíèÿ ïîñòàâëåííîé öåëè íåîáõîäèìî ðåøèòü ñëåäóþùèå ÷àñòíûåçàäà÷è:1. èññëåäîâàíèå ïðîìåæóòî÷íûõ îáëàñòåé ìåæäó èçâåñòíûìè óñòîé÷èâûìè ïåðèîäè÷åñêèìè îðáèòàìè â ïðîñòðàíñòâå íà÷àëüíûõ óñëîâèé;2. ðàçðàáîòêà è àïðîáàöèÿ íîâîãî àëãîðèòìà, ïîçâîëÿþùåãî îïðåäåëÿòü îáëàñòèíà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ áëèçêèõ ê ïåðèîäè÷åñêèì îðáèò ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ;3. ïðèìåíåíèå ðàçðàáîòàííîãî àëãîðèòìà äëÿ ëîêàëèçàöèè íà÷àëüíûõ óñëîâèé èîïðåäåëåíèÿ ïåðèîäîâ áëèçêèõ ê ïåðèîäè÷åñêèì îðáèò â îáùåé çàäà÷å òðåõ òåëðàâíûõ ìàññ ñ íóëåâûì óãëîâûì ìîìåíòîì;4.

ïðîâåäåíèå êëàññèôèêàöèè îáíàðóæåííûõ îðáèò íà îñíîâå èõ ãåîìåòðè÷åñêèõè äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ, âûäåëåíèå ñåìåéñòâ ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò íà îñíîâåýòèõ ñâîéñòâ.Íàó÷íàÿ íîâèçíà1. Äëÿ äâóõ ïåðåõîäíûõ îáëàñòåé ìåæäó óñòîé÷èâûìè ïåðèîäè÷åñêèìè îðáèòàìèïîêàçàíî îòñóòñòâèå òðàåêòîðèé ñ îãðàíè÷åííûìè äâèæåíèÿìè è óñòàíîâëå4íî, ÷òî âðåìÿ æèçíè äîëãîæèâóùèõ òðîéíûõ ñèñòåì ïîä÷èíÿåòñÿ ñòåïåííîìóçàêîíó f (Te ) ∝ Te−α ñ ïîêàçàòåëåì α ≈ 2.2. Ðàçðàáîòàí íîâûé ìåòîä ïîèñêà ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò, îñíîâàííûé íà ìèíèìèçàöèè áåçðàçìåðíîé ôóíêöèè, îïðåäåëÿþùåé áëèçîñòü íà÷àëüíûõ è òåêóùèõêîîðäèíàò â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå.3.

Âïåðâûå ëîêàëèçîâàíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ äåñÿòêîâ áëèçêèõ ê ïåðèîäè÷åñêèì îðáèò â îáùåé çàäà÷å òðåõ òåë ðàâíûõ ìàññ ñ íóëåâûì óãëîâûì ìîìåíòîì.4. Îáíàðóæåíû íîâûå ñåìåéñòâà áëèçêèõ ê ïåðèîäè÷åñêèì îðáèò è îïðåäåëåíûïîðîæäàþùèå èõ îðáèòû.5. Âûïîëíåíà êëàññèôèêàöèÿ îðáèò íà îñíîâå ñõîäñòâà òîïîëîãè÷åñêèõ ñâîéñòâîðáèò.6. Îáíàðóæåíà è äåòàëüíî èññëåäîâàíà ïåðåõîäíàÿ îáëàñòü ìåæäó áëèçêèìè êïåðèîäè÷åñêèì îðáèòàìè äâóõ òèïîâ.Íàó÷íàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü ðàáîòû äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå ïðåäëîæåí ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé ýôôåêòèâíî ëîêàëèçîâûâàòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé è áëèçêèõ ê íèì â îáùåéçàäà÷å òðåõ òåë.

Êðîìå òîãî, åãî ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé áëèçêèõ ê ïåðèîäè÷åñêèì îðáèò â çàäà÷å N òåë. Ïðåäëîæåííûé ìåòîä äîïîëíÿåòèìåþùèåñÿ èíñòðóìåíòû äëÿ ïîèñêà è èññëåäîâàíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò è áëèçêèõê íèì. Îáíàðóæåííûå îáëàñòè íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ áëèçêèõ ê ïåðèîäè÷åñêèì îðáèò ïðåäñòàâëÿþò ñàìîñòîÿòåëüíóþ öåííîñòü äëÿ íåáåñíîé ìåõàíèêè è äèíàìè÷åñêîéàñòðîíîìèè. Ïðåäëîæåííàÿ â ðàáîòå êëàññèôèêàöèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò ïîçâîëÿåò ïðîñëåäèòü èçìåíåíèå òîïîëîãèè è ãåîìåòðèè îðáèò â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõóñëîâèé è ïàðàìåòðîâ çàäà÷è.Ðåçóëüòàòû, âûíîñèìûå íà çàùèòó1.

Ïðåäëîæåí ìåòîä ëîêàëèçàöèè íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ áëèçêèõ ê ïåðèîäè÷åñêèì îðáèò.2. Ëîêàëèçîâàíî íåñêîëüêî äåñÿòêîâ îáëàñòåé íà÷àëüíûõ óñëîâèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ îðáèòàì, áëèçêèì ê ïåðèîäè÷åñêèì.3. Ðàçðàáîòàíà êëàññèôèêàöèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò, îñíîâàííàÿ íà èõ äèíàìè÷åñêèõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ.54. Ïîêàçàíî, ÷òî â ïåðåõîäíûõ îáëàñòÿõ ìåæäó óñòîé÷èâûìè ïåðèîäè÷åñêèìè îðáèòàìè äèíàìè÷åñêàÿ ýâîëþöèÿ òðîéíûõ ñèñòåì çàâåðøàåòñÿ ðàñïàäîì ñèñòåìû, ïðè÷åì äëÿ äîëãîæèâóùèõ ñèñòåì ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ðàñïàäà ïîä÷èíÿåòñÿ ñòåïåííîìó çàêîíó.Äîñòîâåðíîñòü ðåçóëüòàòîâ êà÷åñòâå êðèòåðèÿ áëèçîñòè íàéäåííîãî ðåøåíèÿ ê èñòèííîìó ïåðèîäè÷åñêîìóïðèíèìàåòñÿ çíà÷åíèå áåçðàçìåðíîé ôóíêöèè, âû÷èñëåííîå â ïðîöåññå ÷èñëåííîãîèíòåãðèðîâàíèÿ.

Î÷åâèäíî, ÷òî çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè äëÿ òî÷íîé ïåðèîäè÷åñêîéîðáèòû ðàâíî íóëþ. Äîñòîâåðíîñòü ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ òàêæå ïîäòâåðæäàåòñÿñîãëàñèåì íàéäåííûõ íàìè ðåøåíèé ñ ðåøåíèÿìè, îáíàðóæåííûìè äðóãèìè àâòîðàìè, â òîì ÷èñëå ñ èñïîëüçîâàíèåì äðóãèõ ìåòîäîâ è äðóãèõ ñïîñîáîâ çàäàíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Èñïîëüçóåìàÿ â èññëåäîâàíèè ïðîãðàììà TRIPLE ïîêàçàëà ñâîþýôôåêòèâíîñòü â ìíîãî÷èñëåííûõ ðàáîòàõ äðóãèõ àâòîðîâ.Àïðîáàöèÿ ðàáîòûÎñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû íåîäíîêðàòíî äîêëàäûâàëèñü íà ñåìèíàðå Êàôåäðûíåáåñíîé ìåõàíèêè ÑÏáÃÓ, îáùåãîðîäñêîì ñåìèíàðå ïî çâåçäíîé äèíàìèêå è ãàëàêòè÷åñêîé àñòðîíîìèè, ñåìèíàðå îòäåëà íåáåñíîé ìåõàíèêè è äèíàìè÷åñêîé àñòðîíîìèè ÃÀÎ ÐÀÍ.Ðåçóëüòàòû ðàáîòû äîêëàäûâàëèñü íà ñëåäóþùèõ âñåðîññèéñêèõ è ìåæäóíàðîäíûõêîíôåðåíöèÿõ:1.