Диссертация (Измерение поляризационных угловых коэффициентов в процессах лептонного распада Z-бозона в эксперименте ATLAS на LHC), страница 5

Cечение процесса Дрелл – Яна представляется сверткой функций распределений партонов в протоне(ПФР) и вычисляемого в КХД сечения жесткого процесса [34]:Xdσ h1 h2=dp2T dy dΩ∗a,bZdx1 dx2 fah1 (x1 , µ2F ) fbh2 (x2 , µ2F )s dσ̂ab(x1 P1 , x2 P2 , αS (µ2R )),dt du dΩ∗(1)здесь f-функция распределения партонов (ПФР), которая определяет плотность вероятности обнаружения партона a с долей импульса партона x в протоне (переменнаяБъёркина) на энергетическом масштабе, который задается параметром шкалы факторизации КХД µF ; σab — сечение процесса на партонном уровне, которое вычисляется постепеням бегущей константы связи КХД αS (µR ), где µR — энергетический масштаб перенормировки; pT и y — поперечный импульс и быстрота лептонной пары; dΩ∗ = dcosϑdϕ,где ϑ и ϕ — полярный и азимутальный углы лептона в системе покоя бозона; P1 и P2 —четырех мерные импульсы протонов; s, t и u — мандельштамовские переменные, определенные как s = (p1 +p2 )2 , t = (p1 −q)2 , u = (p2 −q)2 , где p1 = x1 P1 и p2 = x2 P2 — импульсыпартонов, а q — переданный импульс.

Суммирование в формуле (1) выполняется по всемароматам партонов a, b = q, q̄, g. Обычно параметр масштаба факторизации полагаютравным µF ∼ q, где переданный 4-импульс q задает шкалу энергии, которая факторизует физику на больших расстояниях, связанную с излучением коллинеарных илимягких партонов, и которая не может быть количественно рассчитана в пертурбартивной КХД. Таким образом, вычисляемые в КХД переменные, определяемые конкретнымфизическим процессом, становятся «инфракрасно стабильными», то есть не зависят отфизических процессов на больших расстояниях.Лептон-адронные корреляции в процессе Дрелл – Яна описываются через сверткулептонного Lµν и адронного Hµν тензора, где лептонный тензор Lµν действует в каче-19стве анализатора поляризации калибровочного бозона.

Угловая зависимость в формуле(1) может быть получена введением спиральных сечений, соответствующих ненулевымкомбинациям матричных элементов поляризационной матрицы плотности:Hmm0 = ∗µ (m)H µν ν (m0 ),(2)где m, m0 = +, 0, − и1µ (±) = √ (0; ±1, −i, 0),2µ (0) = (0; 0, 0, 1),(3)векторы поляризации калибровочного бозона, определенные в выбранной системе егопокоя.Угловая зависимость дифференциального сечения может быть записана в следующем виде:X3dσ αdσα=g(θ,φ),16π dpZT dy Z dmZdpZT dy Z dmZ d cos θ dφ αMM = {U + L, L, T, I, P, A, 7, 8, 9},(4)здесь g α (θ, φ) — гармонические полиномы второго порядка, умноженные на соответствующий нормировочный множитель, которые можно записать в следующем виде:gU +L (θ, φ) = 1 + cos2 (θ)gL (θ, φ) = 1 − 3cos2 (θ)gT (θ, φ) = 2sin2 (θ)cos(2φ)√gI (θ, φ) = 2 2sin(2θ)cos(φ)gP (θ, φ) = 2cos(θ)√gA (θ, φ) = 4 2sin(θ)cos(φ)(5)g7 (θ, φ) = 2sin2 (θ)sin(2φ)√g8 (θ, φ) = 2 2sin(2θ)sin(φ)√g9 (θ, φ) = 4 2sin(θ)sin(φ)Сечения с заданной спиральностью σ α представляют собой линейные комбинации элементов поляризационной матрицы плотности Hmm0 :σ U +L ∝ H00 + H++ + H−−σL∝ H00σT∝ 1/2(H+− + H−+ )20σIσPσAσ7σ8σ9∝∝∝∝∝∝1/4(H+0 + H0+ − H−0 − H0− )H++ − H−−1/4(H+0 + H0+ + H−0 + H0− )−i/2(H+− − H−+ )−i/4(H+0 − H0+ + H−0 − H0− )−i/4(H+0 − H0+ − H−0 + H0− ).(6)где через σ U +L обозначено сечение неполяризованных бозонов, а через σ L,T,I,P,A,7,8,9 обозначены различные вклады в сечение для калибровочных бозонов с разной поляризацией: L-продольной, T -поперечной, I-поперечно-продольной интерференцией и т.

д. [33].В спиральные сечения σ U +L,L,T,I,9 дают вклад компоненты адронного тензора, сохраняющие четность, в то время как в сечения σ P,A,7,8 — не сохраняющие четность. Однако,так как угловые полиномы g P,A,9 (θ, φ) меняют знак при изменении четности, то угловыераспределения для спиральных сечений σ U +L,L,T,I,P,A будут P-четными. Кроме того, какбыло показано в работе [48], сечения σ 7,8,9 являются Т-нечетными.Каждое индивидуальное спиральное сечение зависит от констант связи Z-бозонас кварками и лептонами следующим образом:σ U +L,L,T,Iσ P,Aσ 7,8σ9∝∝∝∝(v`2 + a2` )(v`2 + a2q )v` a` vq aq(v`2 + a2` )(vq aq )v` a` (vq2 + a2q ),где vq (v` ) и aq (a` ) — векторные и аксиально векторные константы связи калибровочногобозона с кварками (лептонами).Дифференциальное сечение можно записать в виде разложения по гармоническим полиномам, умноженным на безразмерные угловые коэффициенты A0−7 , которыепредставляют отношение дифференциальных сечений с заданной поляризацией к неполяризованному сечению:A0 = 2dσ L /dσ U +L√A1 = 2 2dσ I /dσ U +LA2 = 4dσ T /dσ U +L√A3 = 4 2dσ A /dσ U +LA4 = 2dσ P /dσ U +LA5 = 2dσ 7 /dσ U +L√A6 = 2 2dσ 8 /dσ U +L√A7 = 4 2dσ 9 /dσ U +L .(7)21Это приводит к следующему выражению для сечения:dσ U +Ldσ3=16π dpZT dy Z dmZdpZT dy Z dmZ d cos θ dφ{(1 + cos2 θ) + 1/2A0 (1 − 3 cos2 θ) + A1 sin 2θ cos φ(8)+ 1/2A2 sin2 θ cos 2φ + A3 sin θ cos φ + A4 cos θ+ A5 sin2 θ sin 2φ + A6 sin 2θ sin φ + A7 sin θ sin φ},гдеdσ U +L=dpZT dy Z dmZZ1Z−12πdφdcosθ0dσ2dpZTdy Z d cos θ dφ(9)Формула (8) для дифференциального сечения является точной во всех порядках теориивозмущений КХД и КЭД.

Выражение для дифференциального сечения можно такжезаписать в следующем виде:3dσ U +Ldσ=16π dpZT dy Z dmZdpZT dy Z dmZ d cos θ dφ7X{(1 + cos2 θ) +Pi (cosθ, φ)Ai (pZT , y Z , mZ )},(10)i=0где через Pi (cosθ, φ) обозначены угловые полиномы при соответствующих им угловыхкоэффициентах. Угловые коэффициенты A0 − A7 являются функциями кинематических переменных Z-бозона: pZT — поперечного импульса, y Z — быстроты и mZ — массы.Зависимость угловых коэффициентов от pZT и y Z определяется выбором оси z системы покоя лептонной пары. Значение угловых коэффициентов стремится к нулю, когдапоперечный импульс Z-бозона также стремится к нулю, за исключением коэффициента A4 , который присутствует в низшем порядке теории возмущений КХД и отвечаетза асимметрию вперед-назад AF B , которая связана с ним соотношением AF B = 38 A4 .Интегрирование формулы (8) по переменным θ и φ обнуляет полиномы при всех коэффициентах Ai , оставляя лишь вклад от члена (1 + cos2 θ), интеграл от которого равен8/3.

Согласно теоретическим оценкам ожидается, что коэффициенты от A5 до A7 будутблизки к нулю, в то время как A0 и A2 будут расти с ростом поперечного импульсаZ-бозона и достигнут насыщения при значениях близких к единице для очень высокихпоперечных импульсов. Можно также ожидать сильное отличие в поведении основныхкоэффициентов для двух основных процессов рождения Z-бозона: кварк-антикварковойаннигиляции и кварк-глюонного (антикварк-глюонного) комптоновского рассеяния.Дифференциальное сечение (8) зависит от угловых переменных лептонов толькочерез гармонические полиномы Pi (cosθ, φ), в то время как зависимость от переменных,связанных с рождением Z-бозонов, pZT , y Z , mZ полностью скрыта в самих угловых ко-22эффициентах Ai .

Таким образом, адронный механизм рождения Z-бозона неявно содержится в структуре коэффициентов Ai и, следовательно, факторизуется от электрослабых процессов распада Z-бозона в лептоны, которые определяют кинематику распадаZ-бозона в системе его покоя. В этом случае неопределенности, связанные с любымиКХД, КЭД и электрослабыми эффектами для распада Z-бозона, практически не влияютна точность измерения коэффициентов.

В частности, электрослабые поправки, которыесвязывают кварки в начальном состоянии с лептонами, в конечном состоянии оказывают незначительное влияние (< 0,05%) на точность измерения угловых коэффициентовв районе полюса массы Z-бозона. Это было продемонстрировано в вычислениях интерференции между процессами излучения в начальном (англ., Initial State Radiation, ISR)и в конечном (англ., Final State Radiation, FSR) состоянии, которые выполнялись дляизмерений, проводимых на ускорителе LEP [49, 50].Интегрирование формулы (8) по полярному углу приводит к следующему выражению для сечения:11dσ U +L3πdσ{1 + A2 cos 2φ +=A3 cos φZZZZZZ2π dpT dy dm416dpT dy dm dφ3π1A7 sin φ ,+ A5 sin 2φ +216(11)а интегрирование по азимутальному углу дает:3dσ U +L1dσ=(1 + cos2 θ) + A0 (1 − 3 cos2 θ)ZZZZZZ8 dpT dy dm2dpT dy dm d cos θ+ A4 cos θ} .(12)При интегрировании по полярному и азимутальному углам, как видно из формул (11)и (12), теряется информация об угловых коэффициентах A1 и A6 , так как соответствующие интегралы от полиномов, стоящих при данных коэффициентах, равны нулю.

Этоозначает, что для измерения коэффициентов A1 и A6 необходимо использовать полноедвухмерное фазовое пространство по переменным (cosθ, φ).Как было показано в работе [47] в приближении лидирующего порядка LO (англ.,Leading Order), значение коэффициентов A0 и A2 в точности равно нулю: A0 = A2 = 0.Вычисления коэффициентов A0 и A2 в рамках пертурбативной КХД в приближениилидирующих логарифмов приводит к следующему результату для рождения Z-бозоновв процессе кварк-антикварковой аннигиляции:A0,2 =pZT22pZT + mZ2,23и для рождения Z-бозонов в процессе кварк-глюонного (антикварк-глюонного) комптоновского рассеяния:25pZTA0,2 = 22 .pZT + mZКак видно, значения коэффициентов A0 и A2 в точности совпадают в этом приближении [34].

Значения коэффициентов A0 и A2 растут с ростом pZT , и отклонение отприближений низшего порядка становится достаточно большим уже при средних значениях pZT = 20 − 50 ГэВ. В NLO приближении поправки к коэффициентам A0 и A2 непревышают 10%.При рассмотрении реального физического события распада Z-бозона на пару лептонов возникают дополнительные поправки, связанные с излучением фотонов лептонами (англ., Final State Radiation, FSR), которые искажают угловые распределения лептонов.

Все измерения, выполненные в этой работе, корректируются назад к Борновскомуприближению, то есть до излучения фотонов, так, чтобы эффекты FSR не становилисьчастью самого измерения.Измерение полного набора угловых коэффициентов как функции поперечногоимпульса Z-бозона прежде всего представляет интерес с точки зрения проверки реализации КХД динамики рождения Z-бозона на адронном коллайдере в генераторахМонте-Карло. В этом случае это можно сделать более точно, чем из измерений интегральных сечений или спектра по поперечному импульсу Z-бозона [44, 45]. Можно такжеизмерить угловые коэффициенты как функции быстроты Z-бозона и даже дифференциально в плоскости двух переменных (pZT , y Z ).1.2Метод моментовДля того чтобы вычислить угловые коэффициенты Ai в событиях распада Zбозона, генерированных методом Монте-Карло, используется метод моментов, то естьметод оценки неизвестных параметров распределений, основанный на предполагаемыхсвойствах его моментов.