Диссертация (Алгебраическая аппроксимация глобальных аттракторов динамических систем на многообразии и некоторые вопросы ее стратификации), страница 11

В случае же, если динамическая систе­ма задана на некотором римановом аналитическом многообразии ℳ, мы неможем в общем случае использовать алгебраические множества для аппрокси­мации ее глобального ℬ-аттрактора, поскольку само понятие алгебраическогомножества не определено для общего аналитического риманова многообразия.На аналитических римановых многообразиях вместо алгебраических множествдля аппроксимации можно использовать аналитические и полуаналитическиемножества.

Далее мы приведем известные определения аналитических и по­луаналитических множеств, а также обобщение стратификации Уитни дляаналитических многообразий (подробнее см. [16]). В этом параграфе не при­ведено никаких собственных результатов, только некоторые определения иидеи, он служит для полноты картины. Аналитическим (полуаналитическим)подмножеством аналитического многообразия ℳ называется множество сосвойством, что для любой точки ∈ существует такая окрестность точ­ки , чтоℳ∩ = {1 = 0, 2 = 0,..., = 0}, ∈ N(и {1 > 0, 2 > 0, ..., > 0}, ∈ N),где ∈ ( ), = 1,..., (и ∈ ( ), = 1,...,). Здесь ( ) — кольцофункций из ℳ в R аналитических в .Рассмотрим стратификацию Уитни на аналитическом многообразии.Здесь мы следуем в некоторых деталях представлению, данному в [15].Пусть , – аналитические подмногообразия ℳ и dim = .Пара (, ) удовлетворяет условию Уитни в точке ∈ ∩ , если суще­ствует карта : () → ℛ() многообразия ℳ в окрестности со следующими∞свойством: пусть { }∞=1 и { }=1 – последовательности точек на ℳ такие, что:1.

∈ () ∩ , ∈ () ∩ , = 1,2,... ̸= , → , → при → ∞ ;−−−−−−−→2. для любых = 1,2,..., {( )( )}, т.е. последовательность 1-мерныхлинейных подпространств, содержащих точки 0 и ( ) − ( ), сходит­ся к 1-мерному подпространству ;723. векторные пространства сходятся в топологии Грассманиана ,к линейному подпространству ⊂ R ,тогда ⊂ Пара (,) удовлетворяет условию Уитни, если ⊂ и (, ) удовле­творяет условию Уитни в каждой точке ∈ ∩ .

Теорема Уитни (см. [47])утверждает существование стратификации Уитни для полуаналитических мно­жеств.Пример 3.1. В качестве примера системы с глобальным ℬ-аттрактором намногообразии, аттрактор, которой может быть аппрксимирован полуаналити­ческими множествами, можно привести ранее упоминавшуюся систему (2.17),рассмотренную на плоском цилиндре. Для аппроксимации данного аттрактораможно использовать функцию Ляпунова (ξ1 , ξ2 ) =(ξ2 )2+ (1 − cos ξ1 ), (ξ1 , ξ2 ) ∈ R2 .2(3.7)Ясно, что такие функции Ляпунова определяют некоторые классы полуанали­тических множеств на плоском цилиндре.73ЗаключениеВ диссертационной работе решена задача построения алгебраической ап­проксимации глобальных ℬ-аттракторов динамических систем с дискретнымвременем на евклидовом пространстве, заданных уравнением с полиномиальнойправой частью.

Для этого получена модификация аппроксимационной теоремыФояша-Темама, применимая к этому классу систем.Проведен численный эксперимент по аппроксимации глобальногоℬ-аттрактора системы Хенона, использующий модификацию аппроксимаци­онной теоремы Фояша-Темама для систем с дискретным временем, заданныхна евклидовом пространстве.В аналитическом виде найдено интегральное представление точки, лежа­щей на аттракторе динамической системы с непрерывным временем, заданнойна проективном многообразии.Предложен алгоритм построения стратификации Уитни для алгебраиче­ских множеств, содержащихся в R2 .74Список литературы1.

Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Ижев­ская республиканская типография, 2000. — 368 с.2. Амелькин В.В., Садовский В.П. Математические модели и дифференциаль­ные уравнения. — Минск: Вышейшая школа, 1982. — 272 с.3. Бабенко К.И. Основы численного анализа. — М.: Ижевск, 2002. — 848 с.4. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. — М.: На­ука, 1989. — 293 с.5. Бойченко В.А, Леонов Г.А. Об оценках размерности аттрактора отображе­ния Хенона.

// Вестн. С-Петерб. ун-та. — 2000. — Сер. 1. Вып. 3. — С.8-13.6. Леонов Г.А. Функции Ляпунова в теории размерности аттракторов. // При­кладная математика и механика. — 2012. — Вып. 76(2). — С. 180-196.7. Панков А.А. Ограниченные и почти периодические решения нелинейныхдифференциальное операторных уравнений. — Киев: Наукова думка, 1985.— 181 с.8.

Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М.: Наука,1985. — 275 с.9. Райтманн Ф. Динамические системы, аттракторы и оценки их размерно­сти. — СПб.: Издательство СПбГУ, 2013. — 224 с.10. Arnon D., Collins G., McCallum S. Cylindrical Algebraic Decomposition I: TheBasic Algorithm // SIAM J. Comput. — 1984. — Vol. 13, no. 4. — Pp. 865-877.11. Boichenko V.A., Leonov G.A., Reitmann V. Dimension Theory for OrdinaryDifferential Equations.

Teubner-Texte zur Mathematik. Vieweg+TeubnerVerlag, 2005. — 441 p.12. Foias C., Sell G.R., Temam R. Inertial manifolds for nonlinear evolutionaryEquations // Journal of Differential Equations. — 2004. — Vol. 73, no. 2. — Pp.309-353.7513. Foias C., Temam R. The algebraic approximation of attractors: The finitedimensional case // Physica D Nonlinear Phenomena. — 1988. — Vol. 25, no.5.

— Pp. 163-182.14. Foias C., Temam R. Approximation of attractors by algebraic or analytic sets.// SIAM Journal on Mathematical Analysis. — 1994. — 25(5) — Pp. 1269–1302.15. Gatermann K. Computer Algebra Methods for Equivariant Dynamical Systems.— Berlin: Springer-Verlag, 2000 — 162 p.16. Gauthier J.P., Kupka A.K. Deterministic Observation Theory and Applications.— Cambridge: Cabmbridge University Press, 2001.

— 233 p.17. Gauthier J.P., Kupka A.K. Observability for systems with more outputs thaninputs and asymptotic observers // Mathematische Zeitschrift. — 1996. — Vol.223, no. 1. — Pp. 47–78.18. Greene J.M., Kim J.S. Introduction of a metric tensor into linearized evolutionequations // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1989. — Vol. 36, no. 2. —Pp. 83–91.19.

Henon M.A. A two-dimensional mapping with a strange attractor // Commun.Math. Phys. — 1976. — Vol. 50, no. 2. — Pp. 69–77.20. Humphries A.R., Stuart A.M. Runge-Kutta methods for dissipative andgradient dynamical systems. // SIAM J. Num. Anal.

— 1994. — Vol. 31. —Pp. 1452–1485.21. Kalinin Y.N., Reitmann V. Almost periodic solutions in control systems withmonotone nonlinearities // Differential Equations and Control Processes. —2012. — no. 4. — Pp. 40–68.22. Kaloshin V. The existential hilbert 16-th problem and an estimate for cyclicityof elementary polycycles // Inventiones mathematicae. — 2003. — Vol.

151, no.3. — Pp. 451–512.23. Kloeden P.E., Lorenz J. Stable attracting sets in dynamical systems and in theirone-step discretizations // SIAM J. Num. Anal. — 1986. — Vol. 23, no. 5. —Pp. 986–995.7624. Kruk A.V., Malykh A.E, Reitmann V. Upper bounds for the Hausdorffdimension and the stratification of an invariant set of an evolution sytem ona Hilbert manifold // Differential Equations.

— 2017. — Vol. 53, no. 13 — Pp.1715 – 1733.25. Lee J.M. Introduction to Smooth Manifolds. — Springer Science+BusinessMedia, 2003. — 628 p.26. Leonov G.A, Malykh A.E., Reitmann V. Stratification of approximating surfacesfor the Lorenz attractor // Proc. of 4th International Scientific Conference onPhysics and Control «PHYSCON 2009». — 2009. — Vol.

1, no. 1 — Pp. 1–4.27. Leonov G.A, Reitmann V. Attraktoreingrenzung fur Nichtlineare Systeme. —Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag, 1987. — 196 p.28. Leonov G.A., Reitmann V. Extensions of Lyapunov’s ideas in the algebraicapproximation of attractors // Международный конгресс «Нелинейный дина­мический анализ - 2007», Санкт-Петербург, Россия.

— 2007. — Pp. 486–486.29. Leonov G.A, Reitmann V., Smirnova V.B. Non-local Methods for Pendulum­like Feedback Systems. — Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag, 1992. — 242p.30. Levine G., Tabor M. Integrating the nonintegrable: analytic structure of theLorenz system revisited // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1989. — Vol.33, no. 1.

— Pp. 189-210.31. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow // AMS Journal of AtmosphericSciences. — 1963. — Vol. 20. — Pp. 130–141.32. Lotka A.J. Elements of Physical Biology. — Philadelphia: Williams & WilkinsCompany, 1925. — 460 p.33. Malykh A.E. Algebraic approximation of global attractors of discrete dynamicalsystems // CONFERENCE PROCEEDINGS International Student Conference«Science and Progress».

— 2011. — Pp. 24-27.34. Malykh A.E., Reitmann V., Rozhkov G.S. Algebraic approximation of attractorsof dynamical systems on manifolds // Differential Equations. — 2013. — Vol.49, no. 13. — Pp. 1704-1728.7735. Milnor J.W. Singular Points of Complex Hypersurfaces. — Princeton: PrincetonUniv. Press, 1968. — 122 p.36. Mostowski T., Rannou R. Complexity of the computation of the canonicalWhitney stratification of an algebraic set in C // AAECC-9 Proceedings ofthe 9th International Simposium on Applied Algebra, Algebraic Algorithms andError-Correcting Codes.

— 1991. — Pp. 281–291.37. Popov S., Reitmann V. Frequency domain conditions for finite-dimensionalprojectors and determining observations for the set of amenable solutions //Discrete and Continious Dynamical Systems - Series A. — 2014. — Vol. 34, no.1. — Pp. 249–267.38. Retimann V. Introduction to Dynamical Systems.

Lectures Course. – TechnicalUniversity Dresden, 1995.39. Retimann V., Kantz H. Generic analytical embedding methods fornonstationary systems based on control theory // Proc. of InternationalConference on Physics and Control «PHYSCON 2005». St. Petersburg. — 2005.— Pp. 425–428.40. Shiota M. Geometry of Subanalytic and Semialgebraic Sets. — New York:Springer Science & Business Media, 2012. — 434 p.41. Sontag E.D. On the Observability of Polynomial Systems, I: Finite-TimeProblems // SIAM J. Control Optim..