Диссертация (Быстрые алгоритмы оценки параметров полигармонической модели голосового сигнала), страница 7

Определение параметров модели голосового сигналаВ главе 2 представлены основные алгоритмы оценивания параметров полигармонических моделей речевого сигнала, оптимизация сложности которых составляет основное содержание всей работы.Исходным показателем точности модели является её среднеквадратичная погрешность.Минимизация по комплексным амплитудам этой погрешности выполняется непосредственнопо МНК.

Однако дальнейшая минимизация полученного функционала по периоду основноготона может дать существенные ошибки, что показано во втором разделе данной главы. Тамже сформулирован и обоснован критерий выбора периода основного тона, близкий к методумаксимума правдоподобия. Он зависит от количества периодов модели сигнала на выбранномотрезке времени и является обобщением несмещённого критерия оценки периода основноготона из [12].В первом разделе данной главы исследуются компоненты информационных матриц икоэффициенты уравнений МНК, определяются их предельные значения и скорость сходимости. Предельные значения позволяют определить скорость убывания элементов первыхстолбцов обращаемых тёплицевых матриц и взаимное влияние ошибок оценивания соседнихгармоник.В третьем разделе строго обоснованы алгоритмы быстрого оценивания целого периодаосновного тона на относительно длинных промежутках времени из [12], которые обобщенына аффинные модели и на короткие промежутки времени.Локальные алгоритмы быстрого решения системы линейных уравнений и метод Ньютона подстройки периода основного тона описаны в четвёртом разделе.2.1Оценивание комплексных амплитуд голосового сигнала поМНКN/2−1Пусть s = (st )t=−N/2 — некоторый отрезок голосового сигнала, который требуется проанализировать и построить модель.

Выберем вещественное число P < N/2 в качестве кандидата на период основного тона. Ему соответствует частота основного тона F = N/P ,выраженная в количестве периодов в выбранном отрезке.Аппроксимируем сигнал функциейM X2πit 2πi F ktF ktNNAk e,sbt =+ Bk eNk=−M−N/2 ≤ t ≤ N/2 − 1,36где M — количество гармоник, Ak и Bk — комплексные амплитуды и Ak = Ā−k , Bk = B̄−kпри всех k.Число гармоник M может быть различным, но максимальная частота гармоники, равная F M, не должна превосходить частоту Найквиста, равную N/2.

Поэтому в любой моделиM≤NP= .2F2Если же число P целое и чётное, то гармоники с частотами F P/2 = N/2 и −F P/2 = −N/2совпадают. Поэтому для чётных P и при максимальном количестве гармоник в модели надоисключить гармонику с k = M из уравнения аппроксимирующего сигнала. В дальнейшемэтот частный случай, если не оговорено особо, не рассматривается.Определим комплексные амплитуды из условия минимума среднеквадратичной невязки после умножения на окно Ханнинга:N/2−11 XJ(A, B) =|wt (st − sbt )|2 ,Nt=−N/2где1 + cos 2πtN,−N/2 ≤ t ≤ N/2 − 1.2Оценки векторов комплексных амплитуд A и B определяются по методу наименьшихwt =квадратов (МНК) из условия минимума функционала J(A,B).

Однако МНК обладает следующими особенностями, влияющими на качество результата: точность зависит от числаобусловленности информационной матрицы; в задачах большой размерности количество вычислений и ошибки округления могут быстро расти.В данном разделе для элементов информационной матрицы и коэффициентов уравнений МНК найдены предельные значения, являющиеся фиксированными функциями безпараметров, и определены погрешности приближения.N/2−1Нормированное ДПФ сигнала после умножения на окно обозначим S = (Sn )n=−N/2 :N/2−12πi1 Xwt st e− N nt ,Sn =Nt=−N/2−N/2 ≤ n ≤ N/2 − 1.Соответствующие нормированные ДПФ гармоник обозначимN/2−12πi2πi1 XPn (f ) =wt e N f t e− N nt ,Nt=−N/2N/2−12πi1 Xt 2πiQn (f ) =wt e N f t e− N nt ,NNt=−N/2−N/2 ≤ n ≤ N/2 − 1,−N/2 ≤ n ≤ N/2 − 1.37По теореме Парсеваля2MX X(Ak Pn (kF ) + Bk Qn (kF )) − Sn .J(A,B) =N/2−1n=−N/2 k=−MMВ этой задаче по МНК неизвестные векторы A = (Ak )Mk=−M и B = (Bk )k=−M принимаютоптимальные значения в точке!bA= R−1 Y,bBгде R — информационная матрица, а Y — линейная функция сигнала,Y(YkA )Mk=−M=(YkB )Mk=−M!,N/2−1YkA=XSn P̄n (kF ),XSn Q̄n (kF ).n=−N/2N/2−1YkB=n=−N/2Информационную матрицу R можно разбить на квадратные блоки размера 2M+1:R=RPRP QRQPRQ!,Q MP MP Mгде RP = (Rkm)k,m=−M , RP Q = (Rkm)k,m=−M = (RQP )∗ , RQ = (Rkm)k,m=−M ,N/2−1PRkm=XP̄n (kF )Pn (mF ),XP̄n (kF )Qn (mF ),XQ̄n (kF )Qn (mF ).n=−N/2N/2−1PQRkm=n=−N/2N/2−1QRkm=n=−N/2Матрица R может иметь высокую размерность.

Надёжность её обращения, связаннаяс числом обусловленности, изучается в следующем разделе данной главы.В данном разделе определяются асимптотические приближения для множителейPn (kF ) и Qn (kF ) в векторе Y и для коэффициентов матриц квадратичных форм. Эти множители и коэффициенты зависят от N, n и kF , однако практически могут быть замененына функции только от одного аргумента.38Одновременно определяется скорость убывания элементов внедиагональных элементовинформационной матрицы, что сказывается на взаимном влиянии оценок соседних гармоникспектра.2.1.1Аффинные колокольчикиРассмотрим гармонику с произвольной частотой f ∈ R на отрезке от −N/2 до N/2 − 1.Умножим её на окно Ханнинга12πwt =1 + cos t ,2N−NN≤t≤− 1,22и вычислим нормированное на N преобразование Фурье, и то же выполним для произведенияэтой гармоники на линейную функцию:N/2−12πi2πi1 XPn (f ) =wt e N f t e− N nt ,N−N/2 ≤ n ≤ N/2 − 1,t=−N/2N/2−12πit 2πi1 Xwt e N f t e− N nt ,Qn (f ) =NNt=−N/2−N/2 ≤ n ≤ N/2 − 1.Суммы Pn (f ) и Qn (f ) вычисляются явно:Лемма 1.

При фиксированном N функция Pn (f ) зависит только от разности x = f − n,а именно Pn (f ) = pN (f − n), гдеpN (x) = −sin2 Nπ sin(πx) ctg πxN.2N sin π(x−1) sin π(x+1)NNФункция pN (x) чётная и имеет период N для чётных N.Поточечный предел pN (x) при N → ∞ равенp∞ (x) = lim pN (x) =N →∞sin(πx).2πx(1 − x2 )При этом pN (x) − p∞ (x) = O(N −2 (|x| + 1)−1 ) равномерно по |x| ≤ N/2.Доказательство. Преобразуем сумму к геометрической прогрессии.

Воспользуемся тождествомN−12Xt=− N2iωteNNeiω 2 − e−iω 2ωωN =ctg=sin−ieiω − 12239в следующих вычислениях:N/2−1 2πi2πi1 X1 1 2πi t 1 − 2πi tNNPn (f ) =+ ee N f t e− N nt+ eN2 44t=−N/2N/2−1N/2−1N/2−11 X 2πi (f −n−1)t1 X 2πi (f −n+1)t1 X 2πi (f −n)tNNeeeN++=2N4N4Nt=−N/2t=−N/2t=−N/2hπππi1=sin(π(f −n)) 2 ctg(f −n) − ctg(f −n−1) − ctg(f −n+1)4NNNN #"πsin 2 N (f −n)sin(π(f −n))π=2 ctg(f −n) −4NNsin Nπ (f −n−1) sin Nπ (f −n+1)π 2 sin π (f −n−1) sin π (f −n+1) − 2 sin2 π (f −n)sin(π(f −n))NNN=cos(f −n)4NNsin Nπ (f −n) sin Nπ (f −n−1) sin Nπ (f −n+1)π cos 2π − cos 2π (f −n) + cos 2π (f −n) − 1sin(π(f −n))N N N=cos(f −n)4NNsin Nπ (f −n) sin Nπ (f −n−1) sin Nπ (f −n+1)ctg Nπ (f −n) sin2 Nπsin(π(f −n)).= −2Nsin Nπ (f −n−1) sin Nπ (f −n+1)Предельный переход в формулировке леммы очевиден.Значения функции p∞ в особых точках:1p∞ (0) = ,2p∞ (−1) =1= p∞ (1).4Оценим скорость сходимости. Требуется доказать, что равномерно по x ∈ [0, N/2]sin(πx)−2N sincos Nπ x sin2 Nππx sin Nπ (x−1) sinNπ(x+1)N=sin(πx)+ O(N −2 (1 + x)−1 ).2πx(1 − x2 )Если x ∈ [N/4, N/2], то функции pN (x) и p∞ (x) имеют порядок малости N −3 и утверждениедоказано.Пусть x ∈ [0, N/4].

Представим pN (x) в видеsin(πx) cospN (x) = −2πxNN sin Nπ x N sinN 2 sin2 Nππ(x−1)N sinNπ(x+1)N.В знаменателе стоит произведение трёх однотипных множителей. Рассмотрим первый изних. По формуле Тейлораπ ππ 2 x2x = x 1−cos ξ ,sinNN6N 2Отсюда1N sin1=ππxxNξ ∈ [0, πx/N] ⊂ [0, π/4].π 2 x21−cos ξ6N 2−1.40Поскольку x < N/4, тоδ0 =иπ 2 x2cos ξ1−6N 2π 2 x2π2cosξ≤.6N 296−1x2π2cos ξ.=1+ 2N 6(1 − δ0 )Аналогично оцениваются два других множителя:11(x − 1)2π2 =1+cos ξ− ,π(x − 1)N 2 6(1 − δ− )N sin Nπ (x − 1)1(x + 1)2π21 =1+cos ξ+ ,π(x + 1)N 2 6(1 − δ+ )N sin Nπ (x + 1)где δ− , δ+ отделены от 1.Умножая все три разложения и раскрывая скобки, получимN sinπxNsin(πx)N sin Nπ (x−1) N sinπ(x+1)N =sin(πx)[1 + R(x, N)] ,− 1)π 3 x(x2где функцию R(x,N) можно представить следующим образом:1R(x,N) = 2 PNx 1x, ,N N,где P можно рассматривать, как многочлен относительно перечисленных аргументов с коэффициентами, определяемыми величинами δ0 , δ± и cos ξ, cos ξ± .

Максимальная степень попервому аргументу x равна 2. ОтсюдаR(x, N) = O(N −2 x2 )при N → ∞ и x ∈ [0, N/4]. Подстановка даёт требуемую скорость сходимости pN (x) − p∞ (x).При x ∈ [−N/2, 0] скорость сходимости та же в силу чётности функций pN (x) и p∞ (x).График функции p∞ (x), называемой колокольчиком, приведён на рис. 2.1.Лемма 2. При фиксированном N функция Qn (f ) зависит только от разности x = f − n,а именно Qn (f ) = qN (f − n), гдеctg πxsin2Nπ(x−1) sinNπNπ(x+1)Nsin(πx) sin2 Nπi− 24N sin2 πxsin Nπ (x−1) sin Nπ (x+1)Nsin(πx) cos2 πxsin2 NπiN.− 22N sin2 Nπ (x−1) sin2 Nπ (x+1)icos(πx)qN (x) =4NsinФункция qN (x) нечётная и имеет период N для чётных N.410.60.50.40.30.20.10−0.1−5−4−3−2−1012345Рисунок 2.1 — Функция p∞ (x).Поточечный предел qN (x) при N → ∞ равенsin(πx) 3x2 − 1icos(πx) −.q∞ (x) = lim qN (x) =N →∞4πx(x2 − 1)πxx2 − 1При этом qN (x) − q∞ (x) = O(N −2 (1 + |x|)−1 ) равномерно по |x| ≤ N/2.Доказательство.

Значения функции Qn (f ) вычисляются дифференцированием:1 ′iQn (f ) =Pn (f ) =cos(π(f −n))2πi4Nsinctg Nπ (f −n) sin2 Nππ(f −n−1) sin Nπ (f −n+1)Nsin(π(f −n)) sin2 Nππ(f −n) sin Nπ (f −n−1) sin Nπ (f −n+1)Ni sin(π(f −n)) cos2 Nπ (f −n) sin2 Nπ,− 22N sin2 Nπ (f −n−1) sin2 Nπ (f −n+1)i− 24N sin2что совпадает с первым утверждением леммы.

Значения в особых точках:Qn (n) = 0,Qn (n − 1) = −i2 + cos 2πN2π = −Qn (n + 1).8N sin NПредельный переход в формулировке леммы очевиден.Значения функции q∞ в особых точках:q∞ (0) = 0,q∞ (−1) = −i3= −q∞ (1).16πСкорость сходимости определяется тем же способом, что и в лемме 1.График мнимой части функции q∞ (x) приведён на рис. 2.2.420.060.040.020−0.02−0.04−0.06−5−4−3−2−1012345Рисунок 2.2 — Мнимая часть функции q∞ (x).2.1.2Вычисление коэффициентов квадратичных формN/2−1N/2−1Заданы векторы P (f ) = (Pn (f ))n=−N/2 и Q(f ) = (Qn (f ))n=−N/2 , являющиеся ДПФ простых гармоник, умноженных на окно Ханнинга:N−122πi2πi1 Xwt e N f t e− N tn ,Pn (f ) =NNt=−N2Qn (f ) =2−12πit 2πi1 Xwt e N f t e− N tn ,NNNt=−−NN≤n≤− 1.222PQQPПо определению, величины Rkm, Rkm, Rkmявляются скалярными произведениями век-торов длины N с компонентами Pn (kF ) и Qn (mF ).