Вопросы для подготовки к экзамену, страница 4

анализаK1 S1 M1-4, T562g-d5.t5сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 155(d5.t5)1. Сформулируйте "по Коши" определение: "Функция f (x) имеет предел при x → −∞".2. Сформулируйте определение функции, убывающей в точке.3. Используя теорему о производной обратной функции, найдите производную функцииf (x) = arctg x.R√4. Найдите e2x 1 − ex dx.5.

Докажите теорему о формуле Лагранжа (конечных приращений).6. Докажите теорему о признаке Коши сходимости числового ряда с положительными членамив "непредельной" форме.( ¡¢ x1x1+x, если x 6= 0, имеет производную в точке x = 0 и7. Докажите, что функция f (x) =0,если x = 0,найдите ее значение.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d5.t6сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 156(d5.t6)1. Сформулируйте "по Гейне" определение предела функции в точке.2.

Напишите формулу дифференциала первого порядка сложной функции.3. Сформулируйте теорему о формуле Лагранжа.Pnx4. При каких x ряд +∞n=1 (−1) · n сходится (1) абсолютно, (2) условно.1= 1 + x + o(x)5. Докажите, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что 1−xпри x → 0.6. Докажите, что если число b является предельной точкой последовательности по определению, использующему понятие окрестности, то то же число является предельной точкойпоследовательности по определению, использующемуподпоследовательности.¯ понятие¯Pk¯¯xn+17. Докажите, что ∀n > 0, ∀x > 0 верно неравенство ¯e−x − nk=0 (−1)k xk! ¯ < (n+1)!.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.

анализаK1 S1 M1-4, T562g-d5.t7сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 157(d5.t7)1. Сформулируйте определение точной верхней грани числового множества.2. Сформулируйте определение производной функции в точке.3. Сформулируйте теорему о прохождении непрерывной функции через любое промежуточноезначение.R √4. Найдите ex 1 − ex dx.5.

Докажите теорему теорему о необходимом условии возрастания дифференцируемой функции в точке.6. Докажите, что фундаментальная последовательность является сходящейся.½ x, если x 6= 0,7. Докажите, что функция f (x) = ln |x|имеет производную в точке x = 0 и0, если x = 0,найдите ее значение.1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(520)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-521 (521)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.

анализаK1 S1 M1-4, T562g-d6.t1сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 161(d6.t1)1. Сформулируйте определение неограниченного сверху множества вещественных чисел.2. Сформулируйте определение производной функции в точке.3. Сформулируйте теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенного интеграла.p4.

Нарисуйте эскиз графика функции f (x) = 3 x2 (6 − x).5. Докажите теорему о необходимом условии сходимости числового ряда.6. Докажите, что если limx→+∞ f (x) = b "по Коши", то limx→+∞ f (x) = b "по Гейне".7. Докажите, что если функция f (x) дифференцируема на некотором интервале x ∈ (−a, a),f (x)+f (y)и ∀x, y ∈ (−a, a) таких, что x + y ∈ (−a, a) верно равенство f (x + y) = 1−f, то найдется(x)f (y)02такое число C, что C · f (x) = 1 + (f (x)) на указанном промежутке.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.

анализаK1 S1 M1-4, T562g-d6.t2сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 162(d6.t2)1. Что такое неопределенный интеграл?2. Сформулируйте "по Коши" отрицание к утверждению "limx→a f (x) = b".3. Сформулируйте теорему о достаточном условии возрастания дифференцируемой функциив точке.4. Найдите производную 11–го порядка функции f (x) = xex .5. Докажите, что сумма бесконечно малой при x → a функции и ограниченной в окрестноститочки x = a функции является ограниченной в некоторой окрестности точки x = a функцией.6.

Докажите, что если функции f (x) и g(x) дифференцируемы в точке x0 , f (x0 ) = 0, g(x0 ) = 0,0 (x )(x)0g 0 (x0 ) 6= 0, то ∃ limx→x0 fg(x)= fg0 (x.0)7. Докажите, что если f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) = 0, f 000 (x0 ) = 0, f (4) (x0 ) < 0, то в точке x0 функцияy = f (x) имеет строгий локальный максимум.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d6.t3сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 163(d6.t3)1.2.3.4.Сформулируйте определение функции, ограниченной снизу на заданном множестве.Сформулируйте определение дифференциала n—го порядка функции.Сформулируйте теорему о критерии Коши для последовательностей.R dxНайдите √x1−x2.P15.

Докажите, что ∀n > 1 верно равенство 1+x= 1 + nk=1 (−1)k xk + o(xn ) при x → 0.6. Докажите, что если f 00 (x) > 0 на промежутке x ∈ (a, b), то график функции y = f (x) наэтом промежутке направлен выпуклостью вниз.7. Докажите, что если функция f (x) дифференцируема на промежутке x ∈ (0; +∞) и ∀x >0, y > 0 верно равенство f (xy) = f (x) + f (y), то найдется такое число C, что f 0 (x) = Cx .1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(521)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-522 (522)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d6.t4сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 164(d6.t4)1.

Сформулируйте "по Коши" определение: "Функция f (x) имеет предел при x → +∞".2. Сформулируйте определение точки устранимого разрыва функции f (x).3. Сформулируйте теорему о необходимых и достаточных условиях существования наклоннойасимптоты графика функции y = f (x) при x → +∞.R4. Найдите arcsin x dx.35. Используя равенство sin x = x − x6 + o(x3 ) и определение обратной функции, докажите, что3arcsin x = x + x6 + o(x3 ) при x → 0.6. Докажите теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.7.

Докажите, что если f 00 (x0 ) = 0, f (4) (x0 ) = 0, f (5) (x0 ) 6= 0, то в точке x0 функция y = f (x) неимеет локального экстремума.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d6.t5сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 165(d6.t5)1. Сформулируйте определение бесконечно малой функции при x → +∞.2.

Сформулируйте определение функции, возрастающей в точке.3. Используя теорему о производной обратной функции, найдите производную функцииf (x) = arcsin x.Pn4. При каких x ряд +∞n=1 nx сходится (1) абсолютно, (2) условно.√5. Докажите, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что 1 + x = 1 + x2 + o(x)при x → 0.6. Докажите теорему о признаке Даламбера сходимости числового ряда с положительнымичленами в "предельной" форме.7.

Докажите, что если f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) = 0, f 000 (x0 ) = 0, f (4) (x0 ) 6= 0, то найдется такаяокрестность точки x0 , в которой уравнение f (x) = f (x0 ) имеет единственное решение x = x0 .Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d6.t6сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 166(d6.t6)1. Сформулируйте определение верхнего предела числовой последовательности.2.

Сформулируйте определение дифференциала n—го порядка функции.3. Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума дважды дифференцируемойфункции.P(−1)n4. При каких p ряд +∞сходится (1) абсолютно, (2) условно.n=1 np5. Докажите теорему Ролля.6. Докажите, что если число b является предельной точкой последовательности по определению, использующему понятие подпоследовательности, то то же число является предельнойточкой последовательности по определению, использующему понятие окрестности.7. Докажите, что если функция f (x) дифференцируема на всей числовой оси и ∀x, y верноравенство f (x + y) = f (x)f (y), то найдется такое число C, что f 0 (x) = Cf (x).1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(522)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-523 (523)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.

анализаK1 S1 M1-4, T562g-d6.t7сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 167(d6.t7)1. Сформулируйте определение производной n—го порядка функции.2. Сформулируйте определение предельной точки последовательности, которое используетпонятие окрестности.3. Используя теорему о производной обратной функции и формулу (ex )0 = ex , найдите производную функции f (x) = ln x.4.