Вопросы для подготовки к экзамену, страница 2

Докажите теорему о достаточных условиях перегиба графика трижды дифференцируемойфункции.Pn x2n7. Докажите, что ∀x limm→+∞ mn=0 (−1) (2n)! = cos x.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d2.t3сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 123(d2.t3)1. Сформулируйте определение точной верхней грани функции f (x) на множестве X.2.

Сформулируйте определение "f (x) → +∞ при x → a + 0".3. Сформулируйте необходимые условия существования наклонной асимптоты графика функции f (x) при x → +∞.√¢R ¡4. Найдите ln x + x2 − 1 dx.Pk5. Докажите, что ∀n > 1 верно равенство − ln(1 − x) = nk=1 xk + o(xn ) при x → 0.6. Докажите теорему о правиле Лопиталя для вычисления limx→af (x).g(x)7. Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке x ∈ [a, +∞), ∃ limx→+∞ f (x) = b, и f (a) =b. Докажите, что функция f (x) достигает своей точной верхней грани на промежутке x ∈[a, +∞).Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d2.t4сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 124(d2.t4)1.

Сформулируйте "по Коши" определение предела функции f (x) при x → +∞.2. Сформулируйте определение точки разрыва второго рода функции f (x).3. Сформулируйте теорему о достаточных условиях перегиба графика дважды дифференцируемой функции.R4. Найдите ln x dx.Px2k5. Докажите, что ∀n > 1 верно равенство cos x = nk=0 (−1)k (2k)!+ o(x2n ) при x → 0.6. Докажите теорему о производной сложной функции.7. Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке x ∈ [a; +∞), ∃ limx→+∞ f (x) = b, f (a) = b,∃c ∈ (a; +∞) : f (c) < b. Докажите, что функция f (x) достигает своей точной нижней гранина промежутке x ∈ (a; +∞).1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(512)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-513 (513)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.

анализаK1 S1 M1-4, T562g-d2.t5сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 125(d2.t5)1.2.3.4.5.Сформулируйте определение бесконечно малой функции при x → a.Сформулируйте определение равномерно непрерывной на промежутке X функции.Сформулируйте интегральный признак сходимости числового ряда.√RНайдите x ln 1 + x2 dx.1Докажите, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, (1) √1−x= 1 + x2 + o(x),(2)√11−x=1+x2+3x28+ o(x2 ), x → 0.¡¢n6. Докажите, что последовательность xn = 1 + n1 сходится.P7. Найдите все предельные точки последовательности xn = дробная часть числа nk=1 k1 .Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.

анализаK1 S1 M1-4, T562g-d2.t6сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 126(d2.t6)1. Сформулируйте "по Гейне" определение: "f (x) → +∞ при x → a".2. Сформулируйте определение первообразной.3. Сформулируйте теорему о необходимом условии экстремума дифференцируемой функции.P(−1)nсходится (1) абсолютно, (2) условно.4.

При каких p > 0 ряд +∞n=1 np5. Докажите теорему о производной произведения двух функций.6. Докажите теорему о непрерывной функции, принимающей значения разных знаков на концах отрезка.7. Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность xn = lnnαn при α > 0является бесконечно малой.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d2.t7сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 127(d2.t7)1. Сформулируйте определение предельной точки числового множества.2. Сформулируйте определение точки разрыва первого рода функции f (x).3.

Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса.R4. Найдите cos ln x dx.5. Докажите, что если limx→a f (x) = A,¡ limx→a g(x)¢ = B, и обе функции определены на соответствующих множествах, то ∃ limx→a f (x) + g(x) = A + B.6. Докажите теорему о признаке Даламбера сходимости числового ряда с положительнымичленами в "непредельной" форме.a7. Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность xn = nbn при b > 1является бесконечно малой.1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(513)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-514 (514)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.

анализаK1 S1 M1-4, T562g-d3.t1сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 131(d3.t1)1.2.3.4.Сформулируйте определение ограниченного снизу множества вещественных чисел.Сформулируйте определение дифференцируемой n раз функции.Сформулируйте теорему о признаке Абеля-Дирихле сходимости числового ряда.RНайдите xln√xx dx.5. Докажите теорему Ферма (о необходимом условии экстремума дифференцируемой функции).6. Докажите, что если limx→+∞ f (x) = b "по Гейне", то limx→+∞ f (x) = b "по Коши".√7.

Докажите, что функция f (x) = arctg 3 x равномерно непрерывна на интервале (0; +∞).Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d3.t2сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 132(d3.t2)1. Сформулируйте определение абсолютно сходящегося числового ряда.2.

Сформулируйте отрицание определения фундаментальной числовой последовательности.3. Сформулируйте теорему о необходимом условии возрастания дифференцируемой функциив точке.R4. Найдите ex sin 2x dx.5. Докажите, что произведение бесконечно малой при x → a функции и ограниченной вокрестности точки x = a функции является бесконечно малой при x → a функцией.6.

Докажите, что если f 00 (x) < 0 на промежутке x ∈ (a, b), то график функции y = f (x) наэтом промежутке направлен выпуклостью вверх.n7. Докажите, что ∀b верно равенство limn→+∞ bn! = 0.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d3.t3сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 133(d3.t3)1.

Сформулируйте определение функции, неограниченной снизу на заданном множестве.2. Сформулируйте определение точки разрыва первого рода функции f (x).3. Сформулируйте необходимые условия перегиба графика дважды дифференцируемой функции.¢R ¡√4. Найдите ln x2 + 1 − x dx.P15. Докажите, что ∀n > 1 верно равенство 1−x= 1 + nk=1 xk + o(xn ) при x → 0.6. Докажите, что если функции f (x) и g(x) дважды дифференцируемы в точке x0 , f (x0 ) =00 (x )(x)0= fg00 (x.0, g(x0 ) = 0, f 0 (x0 ) = 0, g 0 (x0 ) = 0, g 00 (x0 ) 6= 0, то ∃ limx→x0 fg(x)0)7. Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность xn =является бесконечно большой.1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(514)bnnaпри b > 1k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-515 (515)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.

анализаK1 S1 M1-4, T562g-d3.t4сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 134(d3.t4)1. Сформулируйте "по Коши" определение предела функции f (x) при x → −∞.2. Сформулируйте определение наклонной асимптоты графика функции y = f (x).3. Сформулируйте теорему о достаточных условиях перегиба графика трижды дифференцируемой функции.R4. Найдите arctg x dx.Px2k+1+ o(x2n+1 ) при x → 0.5. Докажите, что ∀n > 1 верно равенство sin x = nk=0 (−1)k (2k+1)!6.

Докажите теорему о производной обратной функции.√7. Докажите, что функция f (x) = 3 x равномерно непрерывна на промежутке (−∞, +∞).Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d3.t5сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 135(d3.t5)1. Сформулируйте "по Коши" определение "f (x) → +∞ при x → +∞".2. Сформулируйте определение непрерывной в точке функции.3. Сформулируйте теорему о признаке сравнения для числовых рядов.R√4. Найдите e2x 1 + ex dx.15.

Докажите, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что 1+x= 1 − x + o(x)при x → 0.6. Докажите теорему о пределе при x → +∞ монотонной ограниченной функции.n7. Докажите, что ∀b ∈ [−2; 2] верно равенство limn→+∞ b n·n!= 0.nМосковский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d3.t6сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 136(d3.t6)1. Сформулируйте определение бесконечно большой положительной последовательности.2. Что такое неопределенный интеграл?3.

Сформулируйте теорему о формуле Коши.Ppn4. При каких значениях параметра p ряд +∞n=1 n2 сходится (1) абсолютно, (2) условно.5. Докажите теорему теорему о необходимом условии возрастания дифференцируемой функции на интервале.6. Докажите первую теорему Вейерштрасса.¯¯¯ 2x Pn 2k xk ¯ 1000·6n+17. Докажите, что ∀n > 0, ∀x ∈ [0; 3] верно неравенство ¯e − k=0 k! ¯ < (n+1)! .1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(515)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-516 (516)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.

анализаK1 S1 M1-4, T562g-d3.t7сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 137(d3.t7)1. Сформулируйте "по Гейне" определение: "f (x) → −∞ при x → a + 0".2. Сформулируйте определение фундаментальной последовательности.3. Сформулируйте вторую теорему Вейерштрасса.4. Найдите все предельные точки последовательности xn = (−1)n .5. Докажите, что сумма двух бесконечно малых при x → a функций является бесконечномалой при x → a функцией.6. Докажите, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.√7.