Диссертация (Исследование потери устойчивости для нелинейной микромеханической структуры), страница 5

Его можноопределить, используя вычисления для частного решения, определяемого методомГалеркина, для виртуального пучка, который не имеет энергии сжатия.Общая энергия аркообразной балки с приложенной к ней нагрузкой, в моделиЭйлера-Бернулли, включает в себя три вида энергии:a.Энергия изгиба Ub определяется формулой: = () 2∫0 2 ( ) ≈2 2 ()∫ ( 2 )2 0,(1.7)где s – криволинейная координата вдоль профиля балки, – вращение поперечногосечения.Используяуравнение(1.5),указаннаявышеэнергияявляетсяполиномиальной функцией второго порядка с амплитудами 1 и 2 .b.Энергия сжатия Uc рассчитывается исходя из закона Гука определяется как:1с = 2 ,(1.8)2где S = bt – площадь поперечного сечения, b и t ширина и толщина балки, а – продольная деформация определяется как:=−,(1.9)где l – длина профиля аркообразной балки, определяемой как:111 = ∫0 √1 + `()2 ≈ + ∫0 `()2 .2c.(1.10)Энергия UF, возникающая в результате действия внешней силы F,записывается следующим образом: = −∆ ( ),(1.11)где – точка приложение силы.Когда изменение внешней нагрузки имеет медленный характер, можноиспользовать квазистатические предположения, что ̈ = ̇ = 0, а энергия системыопределяется только потенциальной энергией и энергией привода.

То есть полнаяэнергия Utot системы является суммой всех предыдущих энергий:25Utot = Ub + Uc + UF.Дляопределениячастногорешения,(1.12)напервоначальномэтаперассматривается модель балки без учёта энергии сжатия, т.е. Uc=0. Тогдавыражения (1.6, 1.7 и 1.11) можно подставить в уравнение общей энергии (1.12).Таким образом могут быть определены экстремумы функции общей энергии иопределены коэффициенты для получения частного решения wa.Равновесное решение реальной системы (Uc≠0) может быть получено исходяиз полученных коэффициентов 1 , 2 и соответствующей системы:{ 12=0=0.(1.13)Это система двухчленных уравнений третьего порядка с несколькимирешениями.

Для внешней силы, меньшей критической силы, существует пятьравновесных конфигураций, две из которых стабильны (S1m, S1p), двенеопределены (S2m, S2p) (с точки зрения стабильности, т. е. стабильны для однойпеременной и нестабильны для другой), а одна неустойчива (S1i) (рис.1.4). Двеустойчивые конфигурации профиля балки (формы S1p и S1m) для положительногоиотрицательногокоэффициентов1соответственно.Неопределеннымирешениями являются формы S2p и S2m для положительного и отрицательногокоэффициентов 2 соответственно. Зависимость силы от смещения точки напрофиле балки (w(xi)) можно определить, используя уравнение (1.8) и (1.13).Кривую f-d можно представить из трёх ветвей, соответствующих первым трёмформам потери устойчивости (для точки (w(xL/2) показана на рис.4b).абРисунок 1.4 – Параметры перехода аркообразной балки [27]: а) первые пятьопределённых форм переходов; б) зависимость внешней силы от смещения26Ветвь b1 описывает только продольную деформацию, соответствующуюслучаю, когда продольная сила сжатия меньше величины критической сжимающейсилы второй формы потери устойчивости.

Она включает две устойчивые точки исвязывает их. В этом случае изменения профиля балки происходит черезнеустойчивую форму (S1i) прямолинейной балки, только через сжатие балки. Ветвиb2 и b3 соответствуют случаям перехода балки через вторую и третью формыпотери устойчивости, с силами сжатия, превышающими значения критических сил.В этом случае ветви b2 или b3 обрезают ветвь b1 и определяют процесс переходааркообразной балки, при этом ветвь b2 для такой системы будет предпочтительнее.Зависимость f-d для аркообразных балок будет определиться исходя изконфигурации упругой системы, то есть степени свободы механической системы.Так в случае невозможности вращательного движения точки x(l/2), переход черезвторую форму потери устойчивости становится невозможным, и ветвь b3становится предпочтительнее.

Примером такого случая является параллельноесоединение аркообразных балок, где переход между устойчивыми состояниямипроисходит через вторую форму потери устойчивости [18].1.4 Устойчивость состояний и балки с модулированной жесткостьюОдной из основных особенностей использования нелинейных упругихмикроструктур является их бистабильное поведение, то есть при рассмотренииданных систем, критерий устойчивости должен иметь высокую значимость. Всвоей работе Квин и др. [18] рассмотрели вопрос устойчивости состоянийоднородной аркообразной балки. При определении устойчивости, авторыоцениваливеличинусилы,соответствующейбифуркационнымточкамзависимости силы от перемещения.

Они аналитически и экспериментальноисследовали устойчивость аркообразной балки с двусторонней заделкой и двухпараллельных, объединённых в центре (“double curved beams”) аркообразных балокс использованием методов, описанных выше. Результаты численного анализапозволили предопределить систему и хорошо согласуются с экспериментальнымирезультатами.

При анализе описанной модели видно, что изгибная энергия Ub27имеет монотонно возрастающую зависимость от прогиба балки, тогда как энергиясжатия Uc имеет два основных участка: возрастание энергии в области до потериустойчивости (pre-bukling) и снижение после потери устойчивости. Этопреобладание изменения энергии сжатия Uc над энергией изгиба Ub отвечает забистабильное поведение. В свою очередь в несимметричных формах переходовw2, 4, 6 …(x) данное доминирование минимизируется, что приводит как к снижениюустойчивости стабильных состояний, так и к полному отсутствию бистабильногоповедения.

Можно отметить, что для арок с малой высотой прогиба изгибнаяэнергия Ub так же будет превалировать над энергией сжатия Uc.Объединённая двойная аркообразная балка позволила избавиться отперехода через вторую форму потери устойчивости, что увеличило устойчивостьвторого стабильного состояния.

В то же время, авторы отмечают серьёзнуюнесимметричность точек бифуркации. Для выравнивания точек бифуркацииавторы рассмотрели возможности изменения формы профиля аркообразной балки.В первую очередь, для оценки симметричности, авторы сравнивали длины отрезковсмещения профиля балки для перехода между состояниями. Методы оптимизацииформы аркообразных балок рассмотрены авторами в предшествующей работесовместно с Бренером [29]. Увеличение симметричности достигается посредствоммодуляции толщины балки гладкой функцией.

Таким образом, аркообразная балкапредставляет собой два жёстких плеча с шарнирным закреплением. Дляформирования профиля аркообразной балки, “double curved beams” и балки смодулируемой толщиной/жёсткостью использовалась объёмная технологияизготовления с глубоким плазмохимическим травлением. Теоретические иэкспериментальные результаты показали, что модуляция жёсткости балкиприводит к выравниванию точек бифуркации. Применённый подход оптимизациипрофиля аркообразной балки может быть использован для повышенияустойчивости стабильных состояний.281.5 Динамическое поведение аркообразной микробалкиРезонаторы, включающие в себя упругие структуры типа арок (структуры спроявлением потери устойчивости), обладают рядом уникальных свойств ихдинамического поведения.

Данные свойства обусловлены квадратичной икубической нелинейностью, выраженных в высоком влиянии аксиальных сил ирастяжением средней плоскости балки. Дифференциальное уравнение движениятакой системы, подверженной гармонической нагрузке F, задаётся как [30]:2 2++ 4 4+ ( − 22 ∫ ( ) ) 2 = 2 (Ω + ),2 0 (1.14)где t – время; Ω – частота колебаний, φ – фаза колебаний. Наифех и др. [30] в даннойработе аналитически рассматриви колебания системы при малом возмущении (тоесть, в линейной области). Авторами получены зависимости частоты собственныхколебаний от высоты изначального прогиба аркообразной балки α для первых семиформ колебаний в безразмерном виде (рис. 1.5). Как видно из зависимостей нарис. 1.5, несимметричные формы колебаний (чётные моды колебаний) не зависятот параметра α. Это объясняется преобладанием изгибных упругих сил балки надаксиальными нагрузками и растяжением средней плоскости балки.Рисунок 1.5 – Зависимость резонансных частот первых семи форм собственныхколебаний от высоты изначального прогиба [30]Younis с коллегами [31] изучили нелинейное динамическое поведение жёсткозащемлённых МЭМС арок, подверженных электростатическим нагрузкам.

Они29развили модель приведённого порядка до пяти симметричных форм линейнойнезатухающей формы колебаний защемлённой балки. При этом рассматривалиськолебания как прямой балки, так и балки с аркообразным профилем при разныхзначениях α. Колебания балки возбуждались электростатической гармоническойнагрузкой на первой разностной частоте со смещением постоянным напряжением.Электростатическаянагрузкаобеспечиваетсяподачейнапряжениямеждуподвижным электродом (аркообразная балка) и неподвижным электродом(параллельным оси x), то есть, сила F уравнения движения (1.14) определяется как:=( + cos(Ω+))22∫01(+())2,(1.15)где ε – диэлектрическая постоянная; VDC и VAC постоянное и переменноенапряжение; z – зазор между неподвижным электродом и точками заделкиаркообразной балки. Результаты анализа АЧХ (рис. 1.6а) показывают изменениехарактера нелинейного поведения для балок с аркообразным профилем, где прималых значениях высоты прогиба арка показывает «увеличение жесткости»(hardening), то есть резонансная частота изменяется в область высоких частот привозрастанииамплитуды.Данноеповедениехарактернодля«струнных»конструкций упругих подвесов и вызвано кубической нелинейностью.

Отмечается,что в аркообразных балках при малых амплитудах (в области «pre-buckling»)проявляющеесяснижениежесткости(softing)вызваноквадратичнойнелинейностью. При колебаниях в широкой области перемещений проявляетьсякак квадратичная, так и кубическая нелинейность (рис. 1.6б). Можно отметить, чтовтягивание (pull-in) для подобных систем возникает при изменении зазора ≈1:2(рис. 1.6б), что больше, чем для плоско-параллельной системы с прямойбалкой (≈1:3). Также они нашли две супер-гармоники второго и третьего порядка,возникающие из-за квадратичной и кубической нелинейности соответственно.Отмечено, что квадратичная нелинейность доминирует над кубической.30абРисунок 1.6 – Расчётная АЧХ микробалки [31]: а) при малом возбуждении длябалок с различной высотой арочного прогиба; б) для балки с арочнымпрогибом 3 мкмРезультатыаналитическогоисследованиядинамическогоповеденияаркообразной упругой системы методом Галёркина были подтвержденыэкспериментально в статье [32].