Диссертация (Исследование потери устойчивости для нелинейной микромеханической структуры), страница 4

При этом большоевнимание уделяется структурам с распределённой нагрузкой, в которых подвижная19аркообразная балка представляет собой подвижный электрод, а второйнеподвижный электрод распределён по длине балки. В этом случае формируетсяраспределённая по длине балки нагрузка, величина которой в каждой точке зависитот зазора в соответствующей точке, а нелинейные свойства арочных подвесовпозволяют значительно снизить ограничения по перемещениям до возникновенияэлектромеханическойнестабильности(схлопывания)[19].Приэтом,визначальном положении электростатическая сила в большей степени формируетсявблизи точек закрепления, где зазор минимален. Переход через точки бифуркацииприводит к существенному уменьшению зазора вблизи середины аркообразнойбалки.

Схлопывание, при дальнейшем увеличении разности потенциалов,определяется данным минимальным зазором [19].Другимметодомявляетсяэлектростатическоевозбуждениесконцентрированной в центральной точке нагрузкой [18]. В данном случаеконструкция привода представляет собой массив гребенчатых электродов,закреплённых в центральной области аркообразной балки. При этом величинаэлектростатической силы не зависит от деформации балки. Для даннойконструкции диапазон перемещений не ограничен эффектом схлопывания (pull-in).Стоит отметить, что для гребенчатого привода необходимо изолироватьвращательное движение аркообразной балки.Для перехода между состояниями, различными авторами рассматривалисьсимметричные(нечётные)формыпотериустойчивости[18,19],гдесимметричность позволяет легко контролировать поведение.

Однако они требуютбольшей затраты энергии. Топология описанного выше электрода позволяетобеспечить контролируемый переход через вторую форму потери устойчивости,что в свою очередь позволяет снизить затраты энергии на переход междусостояниями. Эффективность ассиметричных форм определена в работе [20].Однако переход через несимметричные формы потери устойчивости требуетвыравнивания минимумов потенциальной энергии системы, соответствующихустойчивым состояниям.201.3 Современное состояние аналитического и экспериментальногоисследования арочных структурВпервые определение потери механической устойчивости было даношвейцарским математиком Леонардом Эйлером более чем два века назад.

С техпор множество исследований было посвящено изучению этого феномена. Наиболееважные рассматриваемые вопросы, относящиеся к потере устойчивости – этоопределение критических нагрузок потери устойчивости, форм, собственныхчастот, а также их динамического поведения. Согласно общему выражению Эйлеракритическая нагрузка может быть определена как: =2 ()2,(1.1)где Е – модуль Юнга; – минимальный главный центральный момент инерциипоперечного сечения (при потере устойчивости изгиб стержня произойдет вплоскости наименьшей изгибной жесткости); – коэффициент приведения длины,зависящий от формы потери устойчивости; L – длина стержня. Данное выражениепозволяетпредопределятьнагрузки,прикоторыхпроисходитпотеряустойчивости.Разработка и исследование нелинейных структур МСТ, кроме определениякритических нагрузок, требует анализа поведения данных структур в широкомдиапозоне нагрузок и деформаций.

В рамках аналитического и экспериментальногоисследования статического поведения упругого элемента рассматриваются триобласти: состояние при внутреннем напряжении ниже порога потери устойчивости(pre-buckling), состояние перехода (buckling) и состояния после потериустойчивости (post-buckling).Исследование арочных структур началось в шестидесятых годах прошлоговека.

Хамфрис [21] исследовал как аналитически, так и экспериментально,динамическое поведение арки с круговой формой поверхности, возникающее засчёт действия равномерно распределённого динамического давления. Онпроанализировал проблему как для простой поддерживаемой на концах, так и21защемлённой с обоих концов балок, и использовал множество видов динамическихнагрузок, таких как прямоугольные импульсные и гармонические нагрузки.Позднее Ксу с коллегами [22] аналитически определил критерии динамическойустойчивости синусоидальных и параболических арок при концентрированных вцентре и равномерно распределённых нагрузках. Множество исследованийпроведено для нахождения собственных частот и форм для арок с различнойвысотой (аспектным отношением арки). Дайв [23] определил собственные частотыарки с использованием метода дискретного перемещения элемента, пренебрегаяпродольной инерцией.

Кабал и др. [24] исследовали перещёлкивающуюнестабильность в термическом приводе биметаллической микробалкой. Авторыопределили характеристики балки с точки зрения исходного профиля и упругихсвойств балки, и пришли к выводу, что первоначальный профиль оказываетбольшое влияние на свойства арки для балок, имеющих одни и те же свойстваматериала и размеры, но отличающиеся величиной изначального прогиба. Дас иБарта [25] изучали потерю устойчивости и условия схлопывания для арок сзащемлёнными концами, как для параболической, так и для колоколообразнойформы профиля, и переходные процессы при схлопывании под параметрическойэлектростатической нагрузкой.

Уравнение непрерывности использовалось дляструктурной части, решаемой методом конечных элементов, задачи. Дляэлектрической части, решаемой методом граничных элементов, использовалисьуравнения Максвелла. Авторы определили, что арка проявляет смягчение(уменьшение жёсткости), предшествующее скачкообразному переходу. Занг и др.[17] получили аналитическое выражение, предсказывающее потерю устойчивостии схлопывание (pull-in) в арках. Определение предельной нагрузки схлопывания(pull-in) позволяет избежать разрушения аркообразного элемента при контактеэлектродов. Их подход основан на рассмотрении первой формы потериустойчивости методом Галёркина с представлением нелинейных членов в видеряда Тейлора с усечением членов более высокого порядка.

При этомиспользованная схема «компенсации ошибки», исключает результирующуюошибку от линеаризации и рассмотрения одной моды. Проблема так же решена22численно с использованием нескольких мод. Валидация аналитического решениячисленно и экспериментально продемонстрировала эффективность методакомпенсации, особенно в случае большого перемещения. Малона и др. [26]исследовали квазистатичное и нелинейное динамическое поведение арки,подверженной динамической импульсной нагрузке.

Показано, что критическая(удачная) нагрузка может изменяться путём контроля формы арки. Своирезультаты авторы сравнили с результатами конечно-элементного анализа. Ониизучили чувствительность статического и динамического отклика на несколькопараметров, таких как демпфирование и различия в формах балки. Обнаружено,что начальная форма арки играет основную роль в потере ее устойчивости посравнению с другими параметрами.Один из базовых методов определения поведения аркообразной балки описанв работе Квина и др. [18] и использует энергетический метод, основанный нафундаментальных уравнениях Эйлера-Бернулли для защемлённой с обоих концовбалки.

Для определения её отклонения используется модель механической балки(определяемый как балка Эйлера-Бернулли), без учёта энергии сжатия, чтоприводит к равновесному решению. Затем рассматривается сжимающие нагрузки,приводящие к потере устойчивости, чтобы получить фактическое отклонениесистемы. Это означает, что отклонение может быть записано как сумма общегорешения (состоящего из первых мод сгибания) и частного решения, найденногоранее. При малых величинах аспектного отношения арки, можно сделатьдопущение и упростить систему до первых двух форм потери устойчивости.

Стоитьотметить, что вторая форма потери устойчивости является неравновесной. Данныйметод позволяет получить достаточно точные результаты (в зависимости отколичества рассматриваемых форм потери устойчивости), однако применимтолько для случая приложения нагрузки в центре балки. В тоже время Казотез всвоей работе [27] развил данный метод, позволяющий описывать поведенияаркообразной балки без ограничения точки приложения нагрузки.Рассматриваемая аркообразная балка длинной l=L+dl (dl>0), жёсткозафиксирована в зазоре L, с граничными условиями w(0) = w`(0) = w(L) = w`(L) = 0.23Профиль аксиально нагруженной балки с защемлёнными концами определяетсяуравнениями Эйлера-Бернулли для невозмущённого случая (поперечная сила F = 0)[28], где уравнение равновесия определяется как: () + 2 `` = 0,(1.2)где w = w(x) – отклонение центральной линии балки; n2 = Pax/EIy; Pax – аксиальнаянагрузка; Iy – момент инерции поперечного сечения в направлении деформации.Форма отклонения профиля балки при потере устойчивости может определятьсядвумя группами уравнений.

Для первой формы и других нечётных (i=1, 3, 5, …)форм потери устойчивости отклонение балки вдоль вектора x записывается как: () = (1 − cos( )),(1.3)где = 2, 4, 6, … . Для чётных (i=2, 4, 6, …) форм потери устойчивости, где = 2.86, 4.92, 6.94, … , отклонения профиля балки записывается как: () = (1 −22− cos ( ) + sin ( )).(1.4)Роль этих двух функций имеет различное значение. Первая форма потериустойчивости выражения (1.3) является устойчивой и отвечает за бистабильноеповедение, с состоянием (позиция 1 или 2) определяемым знаком 1 .

С другойстороны, вторая форма потери устойчивости (w2 выражения (1.4)) являетсянеустойчивой и не влияет на статичное состояние. В то же время, она ограничиваетуровень энергии, необходимой для переключения из одного состояния в другое.Стоит отметить, что для ряда частных случаев вторая форма потери устойчивостине проявляется. Отклонение балки определяется, исходя из частого решения формыпрофиля балки wa, определяемого исходя из приложенной к ней нагрузки:() = 1 + 2 + ∑=1 ,(1.5)где j - индекс действующей внешней нагрузки, а M - общее количестводействующих нагрузок. Решение может быть аппроксимировано с помощьюпервых форм потери устойчивости M, при этом точность решения будет завеситьот обоснованности выбора количества рассматриваемых форм.24 = ∑=1 ,(1.6)Частное решение соответствует равновесному решению.