Галкин С.В. Математисеский анализ. Метод. указания по метериалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.63-115. 2004г (Методичка с лекциями (Галкин С.В.)), страница 5

Докаисем условие минимума (и. 2), Так как /'(х) < 0 при,х < хо, то /'(х) убывает прн х <хо па достаточному признаку убывания функции (следствие 4 из теоремы Лагранжа), Так как у"(х) > О при х > хо, то г (к) возрастает при х > хо по достаточному признаку возрастания функции (следствие 4 из теоремы Лагранжа), Следовательно, точках — точка локального минимума, Докажем условие отсутствия экстремума (и.

3), Если у' '(х)>О как при х < хо, так и прн х > хе, то у(х) возрастает слева н справа от хо (достаточный признак возрастания функции — следствие 4 нз теоремы Лаграгока) и х не является точкой экстремума, Если „г'(х) <О как при х <хо, так и при х > хо, та У'(х) убывает слева и справа от хо (достаточный признак убывания функции— следствие 4 из теоремы Лагранжа) и х не является точкой экстре- 0 мума. 1> Применение формулы Тейлора к исследованиго функции па экстремум Теорема, ! сти точки Пусть существует /'(")(х) в некоторой окрестноха пУсть У(н)(хО)МО, а У'(хО)=У"(хо)= =,/ (" )(хо) =О.

Тогда, есди и нечетно, х не явяяется точкой э с —,„емума если и четно, х — точка экстремума, причем если У(")(хо) >О, хо--чка минимума, еслибы(" (хо) <О, хо-.о ° максимума, < Запипгем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Певца; ЛХ0) 2 Д~) ~(хо)+~ (х )(х хо)+ (х хо) + +...+ — (х — хо) +о((х — хо) ). Х~ )(хО) л) эит Остаточный член можно представить в виде о((х-хо) )= се(х)(х -хо)" где а(х)- б м. при х -г хо, Подставляя остаточный член в формулу Тейлора, имеем .Лхс) у(х) = г (хо)+у"'(хо)(х — хо)+ — (х -хо) + ГХ(")(хо) +...+ — +ц(х) (х — хо) . и1 3 я меч анне.

Достаточное условие экотрем у ма функции не яаяяется необходимым. Например, рассмотрим функцию Ях) 2х 2х +хза!и-. Таккак аш-15 1,то 2 5 у(.) 53 3, пес яаку точках = Оявляется точкой инни ума пекой и правов честей неравенстна, то она и т , то она и точка минимума функции, Запньзем производную; /'(х) = ех+ 2ха1п — - соз- . предел последнего слагаемого при х -+ О не супгестпует, поэтому нельзя аыделить окреспюсть точки х = О, а кагоров произ»синая функции сохраняет знак. Достаточное условие не ампоянено, 93 в этой окрестности 4 По теореме о сох апенин функций знака своего предела вырвже- Х "(' ) ние О +а(х) в некоторой окрестности точки хо будет сохра- и! нятьзнак . ТаккакГ'(хО) =Г (хс) =...= /' (хо) = О, то ~"!")(хо), .Ооч) и! Г(е)( .

АГ( )ж Г( )-Х( О)= ( ) ( — 0)л и! Если и нечетно, то прн переходе аргумента через точку х СОМНО>КИТЕЛЬ (Х-ХО)п МЕНяЕт ЗНаК. ТаК КаК СтаящЕЕ ПЕрсд НИМ выражение сохраняет знак Г(п)(хо), то н 2)Г(х) меняет знак, следовательно, точка х не является точкой экстремума. Если л четно, то при переходе аргумента через точку х сомно>кнтель(х -хо)" остается неотрицательным. Кдк уже было отмечено, (Г (х) Г (» выражение + <з(х) сохраняет знак Г (хо ), следова(л) и! тельно, д>Г(х)имееттотжезнак,что и)г(и)(хо), нточках является точкой экстремума.

При этом, если Г (п)(хе) > О, то д>Г(х) > О, н тогда точка хе является точкой минимума. Если Г (л) (хО ) < О, то ЬГ(х) <О, н тогда точка х является точкой максимума. г. Второе достаточное условие экстремума (в стационарной точке) Следствие. Пусть функция Г(х) двгокды днфференцнруема в окрестности стационарной точки х, Тогда если / '(хо ) > О, то хс- точка минимума функции у (х). )зслн Г "(хо ) < О, товхо — точка максимума функции Г(х).

~Так «ад хе стационарная точка, то Г'(хб) = О. Применим теорему в случае четного и . Из теоремы следует„что х, — точка экстремума функции. Причем, если г""(хо ) > О, то х, — точка минимума функции Лх). Если Г'(хб) <О,тоха — точка максимума функции /(х), т Примири. П Рассмотрим фу<жцию у(х) = х и вычислим ве производиую в 2 точзсс х= О: З" (х) =2х, /'(О) =О. Точка х= Π— отвциоивривя точка фуюсции. Вторая производная в точко х = 0: у" (х) = 2, у"'(О) = 2 > О, Поэтому точил х = О- точкв мииимуми функции. 2. Рассмотрим фуивци<о >г(х) = -х . Евядвм ов первую производную в точке 2 х = О; у'(т) = -2х, у" (О) О. То п<в т = 0 — отвциоивривя точка функции.

Вычислим вторую производную: /" (х) = -2, /" (О) = -2 < О. Поэтому точках = О-точяв максимума функцви, Исследование функции на экстремум на интервале и отрезке Для того чтобы исследовать фупкци>о на экстремум на ин>иереале, нужно: — найти ее стационарные и критические точки, т, е. найти значения аргумента хО, в которых выполнено необходимое условие экстремума ( У'(х) =О или не существует); — проверить первое достаточное условие экстремума в критических точках или второе достаточное условие экстремума в стационарных точках, определить точки локального минимума н максимума и значения функции в этих точках; — если требуется, найти глобальный минимум или глобальный максимум функции в заданной области, сравнивая ее значения во всех критических и стационарных точках этой области (этн значепия сусцествусот, так как мы исследуем па экстремум только непрерывные функции).

Исследование функции на экстремум на огирезке отличается от описанного выше тем, что гран><инесе иьэчки о>ирезка надо исследоахт»ть о>ндельно. В ннх <<не работа>от» теорема Ферма н полученное иэ этой теоремы необходимое условие экстремума, с)тобы нсследовжгь функцию на экстремум иа оигрезке (а, <>), надо: — исследовать функции> на экстремум на интервале (а,(>), отыскать точки глобального минимума и максимума функции н ее значенияя в этих точках- глобальные минимум н максимум па интервале; — найти значения функции в граничных точках отрезка х= а, и = <> сравннтьэтизначениясглобальнымимннимумомнмаксимумом функции на интервале, определить то >ки г з чки глобального минимума н максимума на отрезке и значения функции в них.

з вч оп оломлениисветв(рис,р),иоточпиясввсвви рим яр. Р осмотрим звдвчу о пролом прмсмпикл рвспопожеиы в срвлвх2 и р <!ив яестояиии <зп >отг ОУ.) Рвссред — оси ОХ. (Для удобства расчета пр иеяпюя Л еположои пв оси рв 95 стояние между ними по горизонтали равно а, Точка прсясмяення светового луча расположена на оси ОХ не рксстсянних ст приемника А. Среды однородны. Скорости света я средах 2 и 1 рваны, ссотястстясннс, с2 и сь Углы падения луча в й средах 2 и 1 равны уз, у! (стсчитыяеются ст нормали к тряпице рездсяя сред). Требуется найти соотношение между уг- ! 72 ', Ь2 лами уз н у! и скоростями сз и си Один из вариационных принцнпоя— принцип Ферма гласит: «Скет распрсст- О 1"' Х ранястся пс пути, ярсмя прсхаждення которого минимальна», Используя сгс, сведем зедачу к нахождению минимуме у! ! ярсмени прохождения сястя пс тряектсрии его дянжения в срсдсх. Псскояьку ! среды однородны, спет е каждой из них будет двигаться пс прямой.

Вычислим ерсмя Т„ Тз„ зк которое свет проходит ссстястстяуюп!не пути в первой и второй среде, и суммарное ярсмя, которсс дсяжис быль мнннмаяьнс пс принципу Ферма, 1ь +х 1и+(а-х) „у/~~ +х аз+(а-х) 2 2 (2 2 2,2 Т, +Тз=~ — е сз и сз Запишем условие минимума; ЙЯ+ Тз) ! х ! а х кшу1 ыпуз т ть=„(.,Г г а Отсыпна следует закон Снеяяиуса. — = зшу! яшуз и Упражнение. Проверьте сами, чта найденное соотношение соответствуют минимуму Т! + Т2, а не максимуму. ВЫПУКЛОСТЬ, ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА> ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ (лекция 20) Дуга называется гладкой, если в каждой ее точке можно провести касательную. Дуга называется выпуклой (выпуклой вверх), если нсе ее точки лежат не выше касательной, проведенной в произвольной точке дуги.

Дуга называется строго выпуклой (строго выпуклой вверх), если все ее точки лежат ниже касательной, проведенной в произвольной точке дуги, Дуга называется вогнутой очки лежат не ниже касательной, (выпуклой вниз), если все ее точки л е гн. Дуга называется строг го проведенной в произвольной точке ду гг з если все ее точки лежат вь пле вопгутой (строго выпуклой вниз), е касательной, проведенной в произвол ьной точке дуги, Функция называется гладкой, выпукл, р ой ст ого выпуклой, зоб й гнутой, строго вогнутой, если ее график р д п е ставляет со о соответствующую дугу (гладкую, выпуклую и т. д.) Достаточное условие строгой выпуклости (строгой вогнутостн) днффсренцируемой функции тонно возрастает в некоторой облает, фу трог , г '(х) монотонно убывает в неко- вогнутая в этой области.

Боли ' (х) торой области, то функция 1'(х)строго выпуклая в это о ла г(х )) графика функции и <! Рассмотрим некоторую точку (хо,,г(хо)) р афик функции в этой точке: запишем уравнение касательнои к граф у фу у..с ж Пхо)+ Лхо)( — о). пофо мулеконечныхприЗапишемзначение функции втачкех по ф рму рвщезтнй Лагранжа. .((Х) =Пхо)+Лс)(х — хо) ми х х . Вычитая одно равенство гДе точка с нахоДитсЯ мехо2У точками х, хс. из другого, получим Х(х)- У, =(Лс)-1"(хо))(х-хо) встает тогда при х <с <хо будет усть 1 '(х) онотонно возрастно, 2"'(с) У'(хо) и 1.(х)~у с. ~, ~..с) х т о ой и ф нкция строго вогнутавэтои , Следовательно, гра ик унк точки х„лежит выше касательной и функци окрестности, бывает, тогда при х<с<хобудет Пусть 1'(х) монотонно убывает, тогда при х функции в окрестности .