LA-05 (Теория к экзамену), страница 2

По теореме 4.6 матрица линейного оператора в базисе из собственныхÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Но так как A является самосопряженным оператором, то (Ax1 , x2 ) = (x1 , Ax2 ). Значит,ÌÃÒÓÌÃÒÓ(5.5)ÔÍ-12ÔÍ-12(Ax1 , x2 ) = (λ1 x1 , x2 ) = λ1 (x1 , x2 ).ÌÃÒÓÌÃÒÓJ Рассмотрим самосопряженный оператор A и два его собственных вектора x1 и x2 , отвечающие различным собственным значениям λ1 и λ2 . Тогда Ax1 = λ1 x1 и Ax2 = λ2 x2 . ПоэтомуÔÍ-125.3. Собственные векторысамосопряженного оператораСледствие 5.1. Если матрица A является симметрической, то все корни ее характеристического уравнения det(A − λE) = 0 действительные.ÌÃÒÓСледствие 5.2. Самосопряженный оператор, действующий в n-мерном евклидовом пространстве, имеет n собственных значений, если каждое из них считать столько раз, каковаего кратность.Теорема 5.3.

Все корни характеристического уравнения самосопряженного оператора действительны.ÔÍ-12линейного оператора в ортонормированном базисе совпадает со своей транспонированной (онаявляется матрицей сопряженного оператора). Такие матрицы и называют симметрическими. IÌÃÒÓÌÃÒÓ59ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5.

ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХÌÃÒÓP −1 М P = diag (λ1 , . . . , λn ).Последовательность λ1 , . . . , λn из n чисел представляет собой перечень всех корней характеристического уравнения матрицы M с учетом их кратностей.J Рассмотрим в n-мерном евклидовом пространстве Rn стандартный ортонормированный базис, и пусть матрица M является матрицей в этом базисе некоторого линейного оператора M .Тогда этот оператор будет самосопряженным. По теореме 5.6 для него существует ортонормированный базис, в котором его матрица M 0 имеет диагональный вид M 0 = diag (λ1 , . .

. , λn ).Матрица M 0 получается из исходной матрицы M при помощи матрицы перехода P из стандартного базиса в указанный ортонормированный базис: M 0 = P −1 M P . I5.4. Ортогональные матрицыи ортогональные операторыгде E — единичная матрица.Пример 5.5. Простейшей ортогональной матрицей является единичная матрица E, тактткак E E = EE = E. Напротив, нулевая матрица не является ортогональной: Θ Θ = Θ 6= E.U=cos ϕ − sin ϕsin ϕcos ϕтявляется ортогональной, поскольку U U = E.

Это можно проверить непосредственно. #Из определения 5.3 вытекает ряд свойств ортогональных матриц.ттdet(O O) = det O det O = (det O)2 .ÔÍ-12Свойство 5.1. Определитель ортогональной матрицы O может иметь одно из двух возможных значений: det O = ±1.тJ Согласно равенству (5.8), имеем det O O = det E. Вспомнив, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей, а при транспонировании матрицыопределитель не меняется, получимÌÃÒÓПример 5.6.

МатрицаÔÍ-12Определение 5.3. Квадратную матрицу O называют ортогональной, если она удовлетворяет условиютO O = E,(5.8)ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Следствие 5.4. Любая симметрическая матрица M порядка n подобна некоторой диагональной, т.е. существует такая невырожденная матрица P порядка n, чтоÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 5.6. Для любого самосопряженного оператора A существует ортонормированныйбазис, состоящий из собственных векторов этого линейного оператора. Матрица A самосопряженного оператора A в этом базисе имеет диагональный вид, на ее диагонали расположенысобственные значения оператора A, повторяющиеся столько раз, какова их кратность. #ÌÃÒÓÔÍ-12Хотя все корни характеристического уравнения самосопряженного оператора действительны(см.

теорему 5.3), среди них могут быть кратные, и тогда теорема 5.5 неприменима. Однакои в этом случае матрица самосопряженного оператора в некотором базисе имеет диагональныйвид.ÔÍ-12ÌÃÒÓвекторов является диагональной, а диагональные элементы матрицы представляют собой собственные значения. IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ60ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХÌÃÒÓÌÃÒÓ61Так как det E = 1, то и (det O)2 = 1. Следовательно, det O = ±1.

IСвойство 5.2. Матрица, обратная к ортогональной матрице O, совпадает с ее транспонитрованной матрицей, т.е. O−1 = O .J Согласно свойству 5.1, ортогональная матрица невырождена и потому имеет обратную матрицу O−1 . Умножая равенство (5.8) справа на матрицу O−1 , получаемÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5.

ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХтJ Нужно для произвольной ортогональной матрицы O доказать равенствот т т(5.9)(O ) O = E,тпредставляющее собой запись соотношения (5.8) для матрицы O . Так как, согласно свойствут ттоперации транспонирования, (O ) = O, равенство (5.9) эквивалентно равенству OO = E,которое верно в силу свойства 5.3. IСвойство 5.5. Произведение двух ортогональных матриц O и Q одного порядка являетсяортогональной матрицей.J Для доказательства достаточно проверить выполнение равенства (5.8) для матрицы OQ:тт ттттт(OQ) (OQ) = (Q O )OQ = Q (O O)Q = Q EQ = Q Q = E.В этих выкладках E, как обычно, обозначает единичную матрицу. IСвойство 5.6. Матрица, обратная к ортогональной матрице, тоже является ортогональной.J Согласно свойству 5.1, ортогональная матрица невырождена, а потому имеет обратную.Согласно свойству 5.2, матрица, обратная к ортогональной, совпадает с транспонированной.Наконец, согласно свойству 5.4, матрица, транспонированная к ортогональной, является ортогональной.

IТак как ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение, то он сохраняет норму(длину) вектора и угол между ненулевыми векторами. Действительно,kAxk2 = (Ax, Ax) = (x, x) = kxk2 .ÔÍ-12Определение 5.4. Линейный оператор A: E → E, действующий в евклидовом пространстве E, называют ортогональным оператором (или ортогональным преобразованием), если он сохраняет скалярное произведение в E, т.е. для любых векторов x, y ∈ Eвыполняется равенство(Ax, Ay) = (x, y).(5.10)ÌÃÒÓПример 5.7. Рассмотрим матрицу U из примера 5.6. Так как она ортогональна, то обратную матрицу легко найти, используя свойство 5.6:cos ϕ sin ϕт−1U =U =.− sin ϕ cos ϕÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Свойство 5.4.

Матрица, транспонированная к ортогональной матрице, тоже является ортогональной.ÌÃÒÓÌÃÒÓтJ Согласно свойству 5.2 и определению обратной матрицы, OO = OO−1 = E. IÔÍ-12ÔÍ-12Свойство 5.3. Произведение ортогональной матрицы O на транспонированную к ней равнотединичной матрице, т.е. OO = E.ÌÃÒÓÌÃÒÓтÔÍ-12ÔÍ-12тоткуда O (OO−1 ) = O−1 . Но OO−1 = E, поэтому O = O−1 .

IÌÃÒÓÌÃÒÓ(O O)O−1 = EO−1 ,ÌÃÒÓТеорема 5.8. Если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисеортогональна, то этот оператор является ортогональным. Наоборот, матрица ортогональногооператора в любом ортонормированном базисе является ортогональной.J Выберем в евклидовом пространстве E любой ортонормированный базис e. Тогда для любых векторов x и y, имеющих в этом ортонормированном базисе e столбцы координат x итy соответственно, выполнено равенство (x, y) = x y (это запись скалярного произведения вортонормированном базисе, см.

2.7).Пусть матрица A линейного оператора A в ортонормированном базисе является ортогональтной. Тогда выполняется соотношение A A = E. Следовательно, равенствотт ттттт(Ax) (Ay) = (x A )(Ay) = x (A A)y = x Ey = x y(5.11)Теорема 5.9. В евклидовом пространстве матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.ÔÍ-12J Рассмотрим в произвольном n-мерном евклидовом пространстве E два ортонормированныхбазиса b = (b1 . . . bn ) и e = (e1 . . . en ).

Пусть U — матрица перехода от b к e.Как следует из определения 1.6, столбцы e1 , . . . , en матрицы перехода U — это столбцыкоординат векторов нового базиса e относительно старого базиса b, т.е. U = (e1 . . . en ), гдеei = bei , i = 1, n. Поэтому  тттт e1e1 e1 e1 e2 . . . e1 en10...0 т тe т e2 e1 eт2 e2 . . . eт2 en  2  (e e 0 1 ... 0 .U U =...e)==12n .. .

. . . . . . . . . . .   . . . . . .  . ттт0 0 ... 1тen e1 en e2 . . . en enenÌÃÒÓКак ранее доказано (см. лемму в 5.1), из этого равенства, выполняющегося для любых столбцовтx и y, следует равенство матриц A A = E, что и означает ортогональность матрицы A. IÔÍ-12верно для любых столбцов x и y. Но это равенство представляет собой матричную записьравенства скалярных произведений (Ax, Ay) = (x, y) для векторов x и y, имеющих столбцы координат x и y в этом же ортонормированном базисе. Мы приходим к заключению, чтооператор A ортогональный.Докажем обратное утверждение теоремы.

В любом ортонормированном базисе соотношениетт(Ax, Ay) = (x, y) в координатах имеет вид (Ax) (Ay) = x y, откуда, согласно (5.11), следует,чтот тттx (A A)y = (Ax) (Ay) = x Ey.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓТеорема 5.7 позволяет привести примеры ортогональных операторов. В пространствах V2 иV3 свободных векторов ортогональными являются линейные операторы, сохраняющие расстояние. Например, линейный оператор поворота вектора на фиксированный угол (см. пример 3.3)является ортогональным, так как при таком повороте длины векторов не изменяются. Линейный оператор симметрии относительно прямой на плоскости или относительно плоскости впространстве также является ортогональным.ÔÍ-12ÔÍ-12Теорема 5.7.

Если линейный оператор A: E → E в евклидовом пространстве E сохраняетевклидову норму: kAxk = kxk, x ∈ E, то этот оператор ортогональный. #ÌÃÒÓÌÃÒÓМенее очевидно, что верно и обратное утверждение.ÌÃÒÓÔÍ-12(Ax, Ay)(x, y)\dy).cos(Ax,Ay) === cos(x,kAxk kAykkxk kykÔÍ-12ÌÃÒÓОтсюда, в частности, следует, что если векторы x и y ненулевые, то и векторы Ax и Ayненулевые. При этомÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ62ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Замечание 5.1.