LA-05 (Теория к экзамену)

ÔÍ-12ÌÃÒÓМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÀËÃÅÁÐÀÔÍ-12Ýëåêòðîííîå ó÷åáíîå èçäàíèåÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ËÈÍÅÉÍÀßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 5ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫВ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Линейные операторы в евклидовых пространствах.

Сопряженный и самосопряженный операторы, их матрицы в ортонормированном базисе. Свойства корней характеристического многочлена самосопряженного оператора: вещественность и равенство алгебраическихи геометрических кратностей (без док-ва). Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих различным собственным значениям. Существованиеортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора (док-во дляслучая различных собственных значений). Ортогональные преобразования, ортогональныематрицы и их свойства.

Диагонализация симметрической матрицы ортогональным преобразованием.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ5.1. Сопряженный операторДанное определение сформулировано так, что оставляет открытыми два вопроса. Во-первых, не ясно, каждый ли линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве, имеетсопряженный. Во-вторых, из определения нельзя понять, однозначно или нет определяется сопряженный оператор.

Прежде чем формулировать теорему, отвечающую на оба эти вопроса,докажем одно вспомогательное утверждение.Лемма. Если квадратные матрицы M и N порядка n таковы, что для любых векторттстолбцов x, y ∈ Rn выполняется соотношение x M y = x N y, то M = N .J Пусть mij , nij — элементы матриц M и N соответственно, стоящие в i-й строке и j-м столбце.Для произвольной пары индексов i и j выберем такие вектор-столбцы x и y:  0.0 ...  ..

  00  i-я x =  1 ← строка ,y =  1 ← j-я,0 0  строка.. ..  .. 00Теорема 5.1. Любому линейному оператору A: E → E соответствует единственный сопряженный оператор A∗ , причем его матрицей в любом ортонормированном базисе e являетсятматрица A , транспонированная матрице A линейного оператора A в том же базисе e.ÔÍ-1256ÔÍ-12в которых присутствует только один ненулевой элемент, равный единице и стоящий на указанттном месте.

Записав равенство x M y = x N y с выбранными столбцами x и y и вычислив обестороны равенства, получаем mij = nij .Так как пара индексов может быть выбрана произвольно, заключаем, что M = N . IÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12(5.1)ÌÃÒÓÌÃÒÓ(Ax, y) = (x, A∗ y) .ÔÍ-12ÔÍ-12Определение 5.1. Линейный оператор A∗ : E → E называют сопряженным к линейномуоператору A: E → E, если для любых векторов x, y ∈ E верно равенствоÌÃÒÓÌÃÒÓПусть E — евклидово пространство.ÌÃÒÓÌÃÒÓJ Доказательство теоремы основано на том, что фиксированный базис евклидова пространстваE позволяет установить взаимно однозначное соответствие между линейными операторами изL(E, E) и матрицами из Mn (R), n = dim E.

Это соответствие заключается в сопоставлениилинейному оператору его матрицы в фиксированном базисе.тДокажем, что линейный оператор B с матрицей B = A в базисе e является сопряженнымк линейному оператору A. Для этого достаточно проверить выполнение равенства(Ax, y) = (x, By)(5.2)для любой пары векторов x, y ∈ E.Пусть x, y — столбцы координат векторов x, y в базисе e.

Тогда, согласно теореме 3.3,твектор Ax имеет столбец координат Ax, а левая часть равенства (5.2) равна (Ax) y, что следуетиз ортонормированности базиса (cм. 2.7). Аналогично правая часть этого равенства имеет видтx (By). Следовательно, равенство (5.2) в координатной записи имеет видÌÃÒÓ(5.4)ÔÍ-12которое при B = A превращается в тождество.Если некоторый линейный оператор B является сопряженным к линейному оператору A,то для любых векторов x и y выполняется равенство (5.2). Значит, для матриц A и B этихоператоров равенство (5.4) выполняется для любых столбцов x и y.

Согласно доказанной лемме,тB = A . Поэтому линейный оператор B определен однозначно, так как однозначно определенаего матрица. IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ57ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХтт(Ax) y = x (By).тТак как (Ax)равенству(5.3)т т= x A в силу свойств матричных операций, равенство (5.3) эквивалентнот ттx A y = x By,ÌÃÒÓтОператор, сопряженный к оператору A, можно определить, опираясь на свойства скалярного,векторного и смешанного произведений:(Ax, y) = (a×x, y) = axy = yax = (y×a, x) = (x, y×a) = (x, −a×y) = (x, −Ay) .Из приведенных соотношений видно, что A∗ = −A.∞Пример 5.2.

Множество C 0 [a, b] бесконечно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций, у которых в точках a и b производные любого порядка равны нулю, является линейнымпространством относительно обычных операций сложения функций и умножения функции надействительное число, а формула(f, g) =f (t)g(t) dt0задает в этом линейном пространстве скалярное произведение (см. пример 2.10).

Отображение∞Af = f 0 , которое каждой функции f ∈ C 0 [a, b] ставит в соответствие ее производную, являетсяÔÍ-12Z1ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓAx = a×x.ÌÃÒÓÔÍ-12Пример 5.1. Вектор a ∈ V3 порождает линейный оператор A: V3 → V3 согласно формулеÔÍ-12ÔÍ-12В некоторых случаях линейный оператор, сопряженный к данному линейному оператору,можно найти, не вычисляя матрицы этого оператора.ÌÃÒÓлинейным оператором. Оператором, сопряженным к A, будет −A, поскольку, согласно правилуинтегрирования по частям,Z1(Af, g) =1 Z1f 0 (t)g(t) dt = f (t)g(t) − f (t)g 0 (t) dt =000Z1Z1f (t)g (t) dt =0f (t) −g 0 (t) dt = (f, −Ag).05.2. Самосопряженные операторыи их матрицыОпределение 5.2.

Линейный оператор A, действующий в евклидовом пространстве,называют самосопряженным, если A∗ = A.Это определение можно сформулировать по-другому. Линейный оператор самосопряженный,если для любых векторов x и y верно равенство(Ax, y) = (x, Ay) .Пример 5.3. Самосопряженными являются простейшие линейные операторы: нулевой Θи тождественный I, так как для любых векторов x и y(Ix, y) = (x, y) = (x, Iy) ,ÌÃÒÓДействительно, если указанное соотношение выполняется, то, согласно определению 5.1, линейный оператор A является сопряженным оператором к самому себе, т.е. A∗ = A.ÔÍ-12ÔÍ-120ÌÃÒÓÌÃÒÓ=−ÌÃÒÓÌÃÒÓ58ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5.

ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХПример 5.4. Рассмотрим линейное пространство V3 с обычным скалярным произведением свободных векторов (x, y). Отображение A: V3 → V3 ортогонального проектированиявекторов из V3 на направление вектора a единичной длины, которое определяется формулойAx = (x, a) a, является линейным оператором, так какA(µx + νy) = (µx + νy, a) a = µ (x, a) a + ν (y, a) a = µ(Ax) + ν(Ay).ÔÍ-12ÔÍ-12(Θx, y) = (0, y) = 0 = (x, 0) = (x, Θy) .Приведенные рассуждения не используют специфику пространства V3 и могут быть проведены в произвольном евклидовом пространстве.

Любой единичный вектор a евклидова пространства E порождает линейный оператор P a ортогонального проектирования на линейноеподпространство H = span {a} согласно формуле P a x = (x, a) a, и этот оператор являетсясамосопряженным.Теорема 5.2. Матрица самосопряженного оператора в любом ортонормированном базисеявляется симметрической. Наоборот, если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе является симметрической, то этот оператор — самосопряженный.J Согласно определению 5.2, A — самосопряженный оператор, если A = A∗ , т.е.

если линейный оператор равен своему сопряженному оператору. Это эквивалентно тому, что матрицаÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12(Ax, y) = ((x, a)a, y) = (x, a) · (a, y) = (x, (a, y)a) = (x, (y, a)a) = (x, Ay) .ÌÃÒÓÌÃÒÓУбедимся, что этот оператор является самосопряженным:ÌÃÒÓÔÍ-12Следствие 5.3. Симметрическая матрица порядка n имеет n собственных значений, есликаждое из них считать столько раз, какова его кратность.Теорема 5.4. Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.(Ax1 , x2 ) = (x1 , Ax2 ) = (x1 , λ2 x2 ) = λ2 (x1 , x2 ).(5.6)Приравнивая правые части соотношений (5.5) и (5.6), получаемλ1 (x1 , x2 ) = λ2 (x1 , x2 ),или(λ1 − λ2 )(x1 , x2 ) = 0.(5.7)Так как λ1 6= λ2 , из равенства (5.7) следует, что (x1 , x2 ) = 0, что и означает ортогональностьвекторов x1 и x2 .

IТеорема 5.5. Если собственные значения λ1 , . . . , λn самосопряженного оператора A, действующего в n-мерном евклидовом пространстве E, попарно различны, то в E существуетортонормированный базис, в котором матрица этого линейного оператора A имеет диагональный вид, причем диагональными элементами такой матрицы являются собственные значенияλ1 , . . .

, λn .ÔÍ-12J Поскольку собственные значения λ1 , . . . , λn попарно различны, то, выбрав для каждого λiсоответствующий ему собственный вектор ei , получим систему e ненулевых векторов, которыепо теореме 5.4 попарно ортогональны. Поэтому e — ортогональная система векторов. Согласно теореме 4.5, она линейно независима и является базисом, так как содержит n векторов(см. теорему 1.4). Этот базис является ортогональным, а чтобы его превратить в ортонормированный, достаточно каждый вектор ei нормировать делением на его длину.Таким образом, в условиях теоремы существует базис из собственных векторов самосопряженного оператора A.