LA-04 (Теория к экзамену), страница 3

. . 0) . Собственному значениютa33 отвечает вектор x3 со столбцом координат (x13 x23 x33 0 . . . 0) , у которого лишь первыетри координаты отличны от нуля. Эти три координаты удовлетворяют однородной системе издвух уравнений((a11 − a33 )x13 + a12 x23 + a13 x33 = 0,(a22 − a33 )x23 + a33 x33 = 0.Эти рассуждения можно продолжить.ÔÍ-12Пример 4.6. Преобразование поворота в V3 на заданный острый угол вокруг некоторойоси — это линейный оператор. Его собственными векторами являются векторы, коллинеарныеоси поворота, они отвечают единственному собственному значению 1. Например, если поворотвыполняется вокруг оси Oz, то матрица оператора в базисе i, j, k будет иметь видcos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0  ,001ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ51ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 МНОГОЧЛЕНÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙИ СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯТеорема 4.5. Пусть собственные значения λ1 , . . . , λr линейного оператора A попарноразличны. Тогда система соответствующих им собственных векторов e1 , . . . , er линейнонезависима.α1 e1 + . . . + αm em + αm+1 em+1 = 0.(4.7)К равенству (4.7) применим линейный оператор A и в результате получим еще одно векторноеравенствоα1 Ae1 + .

. . + αm Aem + αm+1 Aem+1 = 0.ÔÍ-12J Доказательство опирается на метод математической индукции, проводимый по количеству rвекторов в системе. При r = 1 утверждение теоремы верно, так как линейная независимость системы из одного вектора означает, что этот вектор ненулевой, а собственный вектор, согласноопределению 4.3, является ненулевым.Пусть утверждение верно при r = m, т.е. для произвольной системы из m собственных векторов e1 , .

. ., em . Добавим к системе векторов еще один собственный вектор em+1 , отвечающийсобственному значению λm+1 , и докажем, что расширенная таким способом система векторовостанется линейно независимой. Рассмотрим произвольную линейную комбинацию полученнойсистемы собственных векторов и предположим, что она равна нулевому вектору:ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-124.5. Свойства собственных векторовÌÃÒÓÌÃÒÓНетрудно увидеть, что характеристическое уравнение имеет единственный действительныйкорень 1, так что линейный оператор имеет единственное собственное значение 1.

Этому собтственному значению отвечают собственные векторы со столбцами координат вида α(0 0 1) ,α 6= 0.ÔÍ-12ÔÍ-122(cos ϕ − λ)2 + sin2 ϕ (1 − λ) = 0.ÌÃÒÓÌÃÒÓхарактеристическое уравнение оператораÌÃÒÓÌÃÒÓ52Учтем, что векторы e1 , . . ., em+1 являются собственными:α1 λ1 e1 + . . . + αm λm em + αm+1 λm+1 em+1 = 0.(4.8)Умножив равенство (4.7) на коэффициент λm+1 и вычтя его из равенства (4.8), получимлинейную комбинацию векторов e1 , . . .

, em , равную нулевому вектору:ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 МНОГОЧЛЕНÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙИ СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯТеорема 4.6. Матрица линейного оператора A, действующего в линейном пространстве,в данном базисе является диагональной тогда и только тогда, когда все векторы этого базисаявляются собственными для оператора A.J Пусть A — матрица линейного оператора A в базисе b = (b1 , b2 , . . . , bn ). Согласно определению 3.3, j-м столбцом матрицы A является столбец координат вектора Abj .Если матрица A является диагональной, то произвольно взятый ее j-й столбец имеет видт(0 .

. . 0 µj 0 . . . 0) (единственный ненулевой элемент стоит на j-м месте). Для вектора Abjполучаем представлениетAbj = b(0 . . . 0 µj 0 . . . 0) = µj bj ,которое как раз и означает, что вектор bj является собственным с собственным значением µj .Значит, все базисные векторы являются собственными, а все диагональные элементы матрицыA являются собственными значениями.Верно и обратное.

Если каждый вектор bj является собственным для линейного оператораA и ему отвечает собственное значение λj , тотAbj = λj bj = b(0 . . . 0 λj 0 . . . 0) ,Следствие 4.1. Если характеристическое уравнение линейного оператора, действующегов n-мерном линейном пространстве, имеет n попарно различных действительных корней, тосуществует базис, в котором матрица этого оператора является диагональной.Следствие 4.2.

Если характеристическое уравнение квадратной матрицы порядка n имеетn попарно различных действительных корней, то эта матрица подобна некоторой диагональной.ÔÍ-12J Каждый действительный корень характеристического уравнения является собственным значением линейного оператора. Каждому из таких корней можно сопоставить хотя бы по одномусобственному вектору.

Система выбранных таким образом векторов, согласно теореме 4.5,является линейно независимой, а так как количество n векторов в ней равно размерности линейного пространства, она является базисом. Этот базис состоит из собственных векторов.Согласно теореме 4.6, матрица линейного оператора в этом базисе имеет диагональный вид. IÌÃÒÓт.е. в матрице оператора A в этом базисе равны нулю все элементы, кроме диагональных, адиагональный элемент в j-м столбце равен λj . IÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Поскольку все собственные значения λi попарно различны, то из равенств (4.9) следует, чтоα1 = α2 = . . . = αm = 0. Значит соотношение (4.7) можно записать в виде αm+1 em+1 = 0, атак как вектор em+1 ненулевой (как собственный вектор), то αm+1 = 0. В итоге получаем, чторавенство (4.7) выполняется лишь в случае, когда все коэффициенты αi , i = 1, m+1, равнынулю.

Тем самым мы доказали, что система векторов e1 , . . . , em , em+1 линейно независима. IÌÃÒÓÌÃÒÓ(4.9)ÔÍ-12ÔÍ-12k = 1, m.ÌÃÒÓÌÃÒÓαk (λk − λm+1 ) = 0,ÔÍ-12ÔÍ-12Вспоминая, что система векторов e1 , . . . , em , по предположению, линейно независима, делаемвывод, что у полученной линейной комбинации все коэффициенты равны нулю:ÌÃÒÓÌÃÒÓα1 (λ1 − λm+1 )e1 + . .

. + αm (λm − λm+1 )em = 0.ÌÃÒÓРаскрывая определитель и решая характеристическое уравнение, находим его корни: λ1 = −1,λ2 = λ3 = 1. Видим, что имеются два собственных значения, причем одно из них кратности 2.Матрицу можно привести к диагональному виду, если сумма размерностей всех собственныхподпространств (в данном случае матрицы, см. замечание 4.1) равна размерности линейногоÔÍ-12Если это возможно, найдем соответствующую диагональную матрицу и матрицу P преобразования подобия.Найдем собственные значения данной матрицы. Ее характеристическое уравнение имеетвид7−λ−12610 −19 − λ10 = 0.det(A − λE) = 12−24 13 − λ ÌÃÒÓПример 4.8. Выясним, можно ли привести к диагональному виду матрицу7 −12 6A =  10 −19 10  .12 −24 13ÔÍ-12При изучении заданного линейного оператора появляется мысль выбрать такой базис, вкотором его матрица выглядит наиболее просто.

Из вышеизложенного следует, что в определенных ситуациях линейный оператор в некотором базисе имеет диагональную матрицу. Чтобыэто было так, оператор должен иметь базис из собственных векторов. Изменение базиса вызывает замену матрицы оператора подобной ей. Замену матрицы A диагональной матрицей A0 ,подобной A, называют приведением матрицы A к диагональному виду.Задача приведения матрицы к диагональному виду может рассматриваться самостоятельно,вне зависимости от изучения конкретного линейного оператора. Она состоит в подборе дляданной матрицы A такой невырожденной матрицы P , что матрица A0 = P −1 AP являетсядиагональной.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Характеристические уравнения этих операторов совпадают и имеют вид (λ − 2)2 = 0.

Поэтому оба оператора имеют единственное собственное значение λ = 2 кратности 2. Матрицапервого линейного оператора уже имеет диагональный вид, т.е. исходный базис состоит из собственных векторов этого оператора. Можно показать, что любой ненулевой вектор для этогооператора является собственным и потому для него любой базис есть базис из собственныхвекторов. У второго линейного оператора все собственные векторы отвечают собственномузначению 2, но собственное подпространство линейного оператора для этого собственногозначения одномерно. Следовательно, найти два линейно независимых собственных вектора дляэтого линейного оператора невозможно и базиса из собственных векторов не существует.

#ÌÃÒÓÌÃÒÓПример 4.7. В двумерном линейном пространстве (например, в R2 ) рассмотрим линейныеоператоры, матрицы которых в некотором базисе имеют вид2 02 1,.0 20 2ÌÃÒÓÔÍ-12Если характеристическое уравнение линейного оператора имеет кратные действительныекорни, то такой линейный оператор может иметь диагональную матрицу в некотором базисе,но так бывает не всегда.ÔÍ-12ÌÃÒÓJ Пусть характеристическое уравнение матрицы A порядка n имеет n различных действительных корней. Выберем произвольное n-мерное линейное пространство L, зафиксируем внем некоторый базис b = (b1 , b2 , . . .

, bn ) и рассмотрим линейный оператор A, матрицей которого в базисе b является матрица A. По теореме 4.6 существует базис, в котором матрица A0этого оператора диагональна. Согласно теореме 3.5, матрицы A и A0 подобны. Отметим, чтона диагонали матрицы A0 стоят все попарно различные собственные значения матрицы A. IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ53ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 МНОГОЧЛЕНÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙИ СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯÌÃÒÓРанг матрицы системы равен единице, поэтому фундаментальная система состоит из двухтстолбцов. Например, фундаментальную систему решений составляют столбцы (2 1 0) итÌÃÒÓ(0 1 2) .Таким образом, базисом из собственных векторов матрицы A является система   320e1 = 5 , e2 = 1 , e3 = 1  ,602ÔÍ-12Ранг матрицы системы равен двум, поэтому фундаментальная система состоит из одного столбтца. Например, можно взять столбец (3 5 6) .Для собственного значения λ2 = 1 получаем систему   6 −12 6x10 10 −20 10   x2  =  0  .12 −24 12x30Отметим, что матрица P преобразования подобия представляет собой матрицу перехода изодного базиса в другой, т.е.