LA-04 (Теория к экзамену), страница 2

Поэтому матрица A − λE системы (4.4) имеет нулевой определитель, т.е. det(A − λE) = 0. А это означает,что λ является корнем характеристического уравнения линейного оператора A.Д о с т а т о ч н о с т ь. Легко убедиться, что приведенные рассуждения можно провести вобратном порядке. Если λ является корнем характеристического уравнения, то в заданном базисе b выполняется равенство det(A − λE) = 0. Следовательно, матрица однородной СЛАУ(4.4), записанной в матричной форме, вырождена, и система имеет ненулевое решение x.

Этоненулевое решение представляет собой набор координат в базисе b некоторого ненулевого вектора x, для которого выполняется векторное равенство (4.3) или ему эквивалентное равенство(4.2). Мы приходим к выводу, что число λ является собственным значением линейного оператора A. IÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12(4.3)ÌÃÒÓÌÃÒÓ(A − λI) x = 0.ÌÃÒÓÔÍ-12Отметим, что в L действует тождественный оператор I: Ix = x для любого вектора x.Используя этот оператор, преобразуем равенство (4.2): Ax = λIx, илиÔÍ-12ÌÃÒÓ(4.2)ÌÃÒÓÌÃÒÓAx = λx.ÔÍ-12ÌÃÒÓ47ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 МНОГОЧЛЕНÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙИ СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯÌÃÒÓ*Не следует путать два термина: собственное подпространство и собственное подпространство линейногооператора.ÔÍ-12В соответствии с описанной процедурой необходимо выполнить три действия. Первое действие можно опустить, так как оператор уже представлен своей матрицей в некотором базисе.Выполняем дальнейшие действия.ÌÃÒÓПример 4.4. Найдем собственные векторы и собственные значения линейного оператораA, имеющего в некотором базисе матрицу01 20 1 .A=43 −1 1ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Характеристическое уравнение линейного оператора A: L → L, действующего в n-мерномлинейном пространстве L, — это алгебраическое уравнение n-й степени с действительнымикоэффициентами.

Среди его корней могут быть комплексные числа, но эти корни не относят ксобственным значениям линейного оператора, так как, согласно определению, собственноезначение линейного оператора — действительное число. Чтобы комплексные корни характеристического уравнения можно было рассматривать как собственные значения линейногооператора, в линейном пространстве должно быть определено умножение вектора на любыекомплексные числа.Как следует из доказательства теоремы 4.3, чтобы вычислить собственные значения линейного оператора A и найти его собственные векторы, нужно выполнить следующие операции:– выбрать в линейном пространстве базис и сопоставить A матрицу A этого линейногооператора в выбранном базисе;– составить характеристическое уравнение det(A − λE) = 0 и найти все его действительныекорни λk , которые и будут собственными значениями линейного оператора;– для каждого собственного значения λk найти фундаментальную систему решений для однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (A − λk E)x = 0.

Столбцыфундаментальной системы решений представляют собой координаты векторов некоторого базиса в собственном подпространстве L(A, λk ) линейного оператора A.Любой собственный вектор с собственным значением λk принадлежит подпространствуL(A, λk ), и, следовательно, найденный базис в этом подпространстве позволяет представитьлюбой собственный вектор с собственным значением λk .ÌÃÒÓÌÃÒÓ4.4. Вычисление собственныхзначений и собственных векторовÌÃÒÓÔÍ-12Линейное подпространство L(A, λ) иногда называют собственным подпространством линейного оператора* . Оно является частным случаем инвариантного подпространства линейного оператора A — такого линейного подпространства H, что для любоговектора x ∈ H вектор Ax также принадлежит H.Инвариантным подпространством линейного оператора является также линейная оболочкалюбой системы его собственных векторов. Инвариантным подпространством линейного оператора, не связанным с его собственными векторами, является образ оператора.Линейный оператор A: L → L можно рассматривать как линейное отображение любогосвоего инвариантного пространства H в себя.

Такое отображение, по сути, есть результатсужения отображения A на линейное подпространство H, и его называют ограничениемлинейного оператора на инвариантное подпространство H.ÔÍ-12ÌÃÒÓсоотношению, он является собственным с собственным значением λ и опять-таки принадлежитмножеству L(A, λ). IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ48ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 МНОГОЧЛЕНÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙИ СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯÌÃÒÓ 3x1 + x2 + 2x3 = 0,4x1 + 3x2 + x3 = 0,3x1 − x2 + 4x3 = 0.Ранг матрицы этой системы равен 2:31 23 1  = 2.Rg  43 −1 4где α — произвольное ненулевое действительное число.3б) При λ = λ2 = 1 система (4.5) имеет вид   −11 2x10 4 −1 1   x2  =  0  ,3 −1 0x30−11 2Rg  4 −1 1  = 2.3 −1 0ÔÍ-12Как и в предыдущем случае, размерность линейного пространства решений равна 2 − 1 = 1 ифундаментальная система решений содержит одно решение. Выберем следующее:1x(2) =  3 .−1ÌÃÒÓВсе множество собственных векторов линейного оператора с собственным значением λ1 = −3 вкоординатной форме имеет вид1αx(1) = α −1 ,−1ÔÍ-12Поэтому размерность линейного пространства решений системы равна 3 − 2 = 1.

Фундаментальная система решений содержит одно решение, например1x(1) =  −1 .−1ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12илиÌÃÒÓÌÃÒÓ3а) Для λ = λ1 = −3 система (4.5) имеет вид   31 2x1043 1x2 = 0  ,3 −1 4x30ÌÃÒÓÔÍ-12откуда λ1 = −3, λ2 = 1, λ3 = 3.3) Находим столбцы координат собственных векторов, решая для каждого из трех собственных значений однородную СЛАУ   −λ 12x10 4 −λ1   x2  =  0  .(4.5)3 −1 1 − λx30ÔÍ-12ÌÃÒÓ2) Находим собственные значения, решая характеристическое уравнение матрицы: −λ 12 4 −λ1 = (3 − λ)(λ2 + 2λ − 3) = 0, 3 −1 1 − λ ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ49ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 МНОГОЧЛЕНÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙИ СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯÌÃÒÓÌÃÒÓкоторый порождает собственное подпространство линейного оператора A, отвечающее собственному значению λ = 3.det(A − λE) = (a11 − λ)(a22 − λ) . . . (ann − λ) = 0(определитель верхней треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов).Находим все действительные корни этого уравнения:ÌÃÒÓПример 4.5. Найдем собственные значения линейного оператора A, действующего в n-мерном линейном пространстве, матрица A которого в некотором базисе является верхней треугольной порядка n:a11 a12 .

. . a1n 0 a22 . . . a2n A= . . . . . . . . . ,00 . . . annпричем все ее диагональные элементы aii попарно различны, т.е. aii 6= ajj при i 6= j.Составляем характеристическое уравнение матрицы A:ÔÍ-12ÔÍ-123в) Для λ = λ3 = 3 аналогично предыдущим двум случаям находим столбец координатодного из собственных векторов, например 7(3)x = 11  ,5ÌÃÒÓÌÃÒÓВсе множество собственных векторов c собственным значением λ = −1 в координатной формеимеет вид1βx(2) = β  3 ,−1где β — произвольное ненулевое действительное число.λk = akk ,k = 1, n.Как видим, линейный оператор A имеет n попарно различных собственных значений.Рассмотрим собственное подпространство L(A, λr ) линейного оператора A, отвечающеесобственному значению λr , где 1 6 r 6 n.

Базис этого подпространства получим как фундаментальную систему решений однородной СЛАУ(A − arr E)x = 0.ÌÃÒÓявляется вектор x1 со столбцом координат (1 0 . . . 0) . При r = 2 все координаты собственного вектора, начиная с третьей, будут равны нулю, так как они удовлетворяют системе x3a33 − a22a34...a3n  x4 0a44 − a22 . .

.a3n  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   ..  = 0,.00. . . ann − a22xnÌÃÒÓРанг матрицы A − arr E системы (4.6) равен n − 1. Действительно, с одной стороны, по определению собственного значения det(A − arr ) = 0, т.е. ранг матрицы A − arr E меньше ее порядкаn и не превышает n − 1. С другой стороны, после вычеркивания в матрице r-й строки и r-гостолбца получим верхнюю треугольную матрицу с ненулевыми элементами на диагонали. Этозначит, что ранг матрицы A − arr E не меньше n − 1.Так как матрица СЛАУ (4.6) имеет ранг, на единицу меньший ее порядка, эта СЛАУ имеетфундаментальную систему решений из одного вектора.

Это означает, что подпространствоL(A, λr ) одномерное.Наиболее просто решение системы (4.6) выглядит для r = 1. В этом случае собственнымÔÍ-12(4.6)ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ50ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 МНОГОЧЛЕНÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙИ СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯтÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓполучающейся отбрасыванием в исходной системе первых двух уравнений. Второе из отбрасываемых уравнений вытекает из всех последующих и может быть опущено, а первое определяетсвязь между первыми двумя координатами. Мы заключаем, что собственному значению a22 оттвечает вектор x2 со столбцом координат (−a12 a11 − a22 0 .