LA-03 (Теория к экзамену)

ÔÍ-12ÌÃÒÓМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÀËÃÅÁÐÀÔÍ-12Ýëåêòðîííîå ó÷åáíîå èçäàíèåÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ËÈÍÅÉÍÀßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Теорема о существовании ортонормированного базиса и процесс ортогонализации Грама —Шмидта (без док-ва).

Линейные операторы и их матрицы (определение, примеры). Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису, инвариантность ееопределителя. Подобные матрицы. Действия над линейными операторами и соответствующие действия с их матрицами. Собственные векторы и собственные значения линейногооператора.3.1. Процесс ортогонализацииГрама — ШмидтаВ каждом ли евклидовом пространстве существует ортонормированный базис? Непосредственно из определения ответ на этот вопрос получить нельзя. Впрочем, ответ на поставленныйвопрос утвердительный.Теорема 3.1.

В конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. #ÌÃÒÓe1 =g1;kg 1 kg 2 = f 2 − (f 2 , e1 ) e1 ,e2 =g2;kg 2 kg 3 = f 3 − (f 3 , e1 ) e1 − (f 3 , e2 ) e2 ,e3 =g3;kg 3 k. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .en =gn.kg n kГеометрическая иллюстрация этой последовательности вычислений при n = 3 (линейноепространство V3 ) приведена на рис. 3.1.При практических применениях процесс Грама — Шмидта удобно модифицировать так,чтобы ограничиться вычислением векторов g i и не использовать их нормированные варианты ei .

В этом случае нужно последовательно вычислить векторы g 1 , . . . , g n , а затем провести33ÔÍ-12g n = f n − (f n , e1 ) e1 − . . . − (f n , en−1 ) en−1 ,(3.1)ÌÃÒÓg1 = f 1,ÔÍ-12Однако формального ответа на вопрос о существовании ортонормированного базиса недостаточно, нужно уметь находить и строить такие базисы.

Построить ортонормированный базисможно, отталкиваясь от некоторого исходного базиса, при помощи алгоритма, который называют процессом ортогонализации Грама — Шмидта. Изложим этот алгоритм.Пусть f = (f 1 . . . f n ) — некоторый базис в n-мерном евклидовом пространстве E. Модифицируя этот базис, мы будем строить новый базис e = (e1 . .

. en ), который будет ортонормированным. Последовательно вычисляем векторы g 1 и e1 , g 2 и e2 и т.д. по формулам:ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫИ ИХ МАТРИЦЫÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 3ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓf3f3f2Of3f3OÌÃÒÓg2g3f2e1Og3f3Oe2e3e2e1Oe1e3e2Oe1Рис. 3.1ÌÃÒÓÌÃÒÓих нормировку, приводящую к векторам ei . Чтобы модифицировать алгоритм вычислений, влевой колонке (3.1) заменим векторы ei на g i согласно формулам в правой колонке.

Получим:g1 = f 1,g2 = f 2 −(f 2 , g 1 )g1,kg 1 k2. . . . . . . .f n , g n−1 g .g n−1 2 n−1Пример 3.1. В линейном пространстве V2 рассмотрим векторы a1 и a2 с длинами |a1 | = 2,|a2 | = 6 и углом между ними ϕ = π/3. Так как векторы ненулевые, а угол между ними не равен0 или π, они неколлинеарны, а потому образуют базис в V2 . Построим при помощи процессаГрама — Шмидта ортонормированный базис. Согласно описанному выше алгоритму находим:ÌÃÒÓg 1 = a1 ,ÔÍ-12(f 3 , g 1 )(f 3 , g 2 )g2,2 g1 −kg 1 kkg 2 k2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(f , g )(f , g )g n = f n − n 21 g 1 − n 22 g 2 − . . . −kg 1 kkg 2 kg3 = f 3 −16·2·(a2 , a1 )2 a = a − 3a .g 2 = a2 −a=a−121212|a1 |42Затем полученные векторы g 1 и g 2 нормируем:Векторы a1 , a2 и построенный по ним ортонормированный базис e1 , e2 представлены на рис. 3.2.ÔÍ-12g1|g 1 | = |a1 | = 2, e1 = 1 = a1 ,|g 1 |2293 33 |g 2 |2 = a2 − a1 = a2 − a1 , a2 − a1 = |a2 |2 − 3 (a2 , a1 ) + |a1 |2 =222419g11= 62 − 3 · 6 · 2 · + · 22 = 27, e2 = 2 = √ a2 − √ a1 .2 4|g 2 |3 32 3ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12g2e1ÔÍ-12ÔÍ-12e1 f1OÌÃÒÓÌÃÒÓf2f1e2ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3.

ПРОЦЕССОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.ÌÃÒÓЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫИ ИХ МАТРИЦЫ34ÌÃÒÓg2ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ПРОЦЕССОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.ÌÃÒÓЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫИ ИХ МАТРИЦЫ35a2e2ÌÃÒÓЛинейная алгебра большое внимание уделяет отображениям, которые векторам одного линейного пространства ставят в соответствие векторы другого (возможно того же) линейногопространства. Среди таких отображений выделяются те, которые сохраняют алгебраическиесоотношения.

В некотором смысле такие отображения являются и наиболее простыми, так какони естественным образом связаны со структурой линейного пространства.Напомним некоторую терминологию из теории отображений. Отображение f : X → Y называют сюръективным, если каждый элемент y ∈ Y является образом некоторого элементаx ∈ X.

Отображение f : X → Y называют инъективным, если разные элементы x1 , x2 ∈ Xимеют разные образы. Отображение одновременно и сюръективное, и инъективное называютбиективным. Биективное отображение устанавливает между множествами X и Y взаимнооднозначное соответствие.Линейный оператор A: L → L, который осуществляет отображение линейного пространстваL в себя, называют также линейным преобразованием линейного пространства L и говорят,что линейный оператор A действует в линейном пространстве L.Условия а), б) определения 3.1 можно скомбинировать в виде одного условия, например, так:для любых x, y ∈ L и любых действительных λ и µ(3.2)Нетрудно убедиться в том, что условия определения 3.1 являются частными случаями (3.2).

Сдругой стороны, если выполнены условия а) и б) определения 3.1, тоA(λx + µy) = A(λx) + A(µy) = λAx + µAy,ÔÍ-12т.е. выполняется и (3.2).Свойства а), б) линейности отображения делают более удобной не традиционную формузаписи линейного оператора в виде A(x), при которой аргумент записывается в скобках вследза функцией, а более простую в виде Ax как своеобразное «умножение линейного оператора навектор».

При такой записи условие а) определения 3.1 можно интерпретировать как свойстводистрибутивности этого «умножения», а условие б) — как свойство ассоциативности (есличисло λ записывать не слева от вектора, а справа, то запись будет выглядеть так: A(xλ) == (Ax)λ).ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓA(λx + µy) = λ(Ax) + µ(Ay).ÔÍ-12ÔÍ-12Определение 3.1.

Отображение A: L → L0 из линейного пространства L в линейноепространство L0 называют линейным отображением или линейным оператором, есливыполнены следующие условия:а) A(x + y) = A(x) + A(y) для любых векторов x, y ∈ L;б) A(λx) = λA(x) для любого вектора x ∈ L и любого числа λ ∈ R.ÌÃÒÓÔÍ-123.2. Определение и примерылинейных операторовÌÃÒÓÌÃÒÓРис. 3.2ÔÍ-12ÔÍ-12a1ÌÃÒÓe1ÌÃÒÓявляются линейными в силу свойств линейности производной (производная суммы функцийравна сумме производных, при умножении функции на число производная функции умножаетсяна это число).A(λx + µy) = A(λx + µy) = λAx + µAy = λAx + µAy,где λ, µ ∈ R, x, y ∈ Rn .Пример 3.6.

Отображение A: Rn → Rn n-мерного линейного арифметического пространства в себя, которое задается формулой Ax = x + a, где a 6= 0 — некоторый фиксированныйвектор, не является линейным, так как, например, образом нулевого вектора является вектор a.ÔÍ-12Пример 3.5. В n-мерном линейном арифметическом пространстве Rn для любого действительного числа k отображение A: Rn → Rn , определяемое формулой Ax = kx (растяжение вk раз с дополнительным отражением при k < 0), является линейным оператором. Этот линейный оператор — частный случай предыдущего, он может быть определен при помощи матрицыkE, где E — единичная матрица.ÌÃÒÓПример 3.4. Рассмотрим n-мерное линейное арифметическое пространство Rn , элементы которого будем представлять как матрицы-столбцы высотой n, и квадратную матрицу Aпорядка n.

Отображение A: Rn → Rn , которое столбцу x ставит в соответствие столбец Ax(Ax = Ax), является линейным оператором в силу свойств умножения матриц:ÔÍ-12Пример 3.3. В пространстве V2 свободных векторов на плоскости поворот вектора назаданный угол ϕ против часовой стрелки представляет собой отображение V2 в себя, являющееся линейным оператором. Линейность отображения вытекает из простых геометрическихсоображений. Во-первых, сумма свободных векторов может вычисляться по правилу параллелограмма, но тогда очевидно, что сумма двух векторов как диагональ параллелограмма приповороте векторов на угол ϕ также повернется на этот же угол.

Во-вторых, умножение свободного вектора на число означает изменение его длины и, возможно, изменение его направленияна противоположное. Ясно, что можно сначала умножить вектор на число, а потом повернутьна угол ϕ, а можно выполнить эти две операции в обратном порядке, т.е. повернуть вектор, азатем умножить его на число. Результат в обоих случаях будет один и тот же.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12d: Kn [x] → Kn−1 [x]dxÌÃÒÓÌÃÒÓd: Kn [x] → Kn [x],dxÌÃÒÓÔÍ-12Пример 3.2. Пусть Kn [x] — линейное пространство многочленов одного переменного xстепени, не превышающей натуральное число n.

Для каждого многочлена P (x) определенаего производная P 0 (x), являющаяся многочленом степени не выше n − 1. Таким образом, наdлинейном пространстве Kn [x] определено отображение dx, которое каждому многочлену ставитв соответствие его производную. В качестве пространства значений такого отображения можновыбрать как исходное пространство Kn [x], так и пространство Kn−1 [x]. Оба отображенияÔÍ-12ÌÃÒÓРассмотрим несколько примеров линейных операторов. Отметим, что для того, чтобы доказать линейность какого-либо отображения линейных пространств, нужно проверить условия а),б) определения 3.1 или комбинированное условие (3.2).

Нарушение любого из этих условий означает, что отображение не является линейным. Линейный оператор переводит нулевой векторснова в нулевой, и это свойство может рассматриваться как необходимое условие линейности(но не достаточное).ÌÃÒÓÔÍ-12Непосредственно из определения 3.1 вытекает, что для любого линейного оператора A: L →→ L0 образом A0 нулевого вектора в L является нулевой вектор 00 в L0 : A0 = 00 . Действительно,A0 = A(0 · 0) = 0(A0) = 00 .ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ПРОЦЕССОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.ÌÃÒÓЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫИ ИХ МАТРИЦЫ36ÌÃÒÓ3.3. Изоморфизм линейных пространствОпределение 3.2. Два линейных пространства L и L0 называют изоморфными, еслисуществует линейное биективное отображение A: L → L0 .

При этом само отображение Aназывают изоморфизмом линейных пространств L и L0 .ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ПРОЦЕССОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.ÌÃÒÓЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫИ ИХ МАТРИЦЫ37Ax = A(x1 b1 + . . . + xn bn ) = x1 (Ab1 ) + . . . + xn (Abn ),т.е., зная векторы Abi , мы можем найти образ любого вектора x линейного пространства L.Рассмотрим действие линейного оператора A на векторы базиса b. Обозначим столбцыткоординат векторов Abi в базисе b через ai , ai = (a1i . .