LA-02 (Теория к экзамену)

ÔÍ-12ÌÃÒÓМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÀËÃÅÁÐÀÔÍ-12Ýëåêòðîííîå ó÷åáíîå èçäàíèåÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ËÈÍÅÉÍÀßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-122.1.

Определение и примерыВ любом линейном пространстве L можно выделить такое подмножество векторов, которое относительно операций из L само является линейным пространством. Это можно делатьразличными способами, и структура таких подмножеств несет важную информацию о самомлинейном пространстве L.Определение 2.1. Подмножество H линейного пространства L называют линейным подпространством, если выполнены следующие два условия:1) сумма любых двух векторов из H принадлежит H: x, y ∈ H =⇒ x + y ∈ H;2) произведение любого вектора из H на любое действительное число снова принадлежитH: x ∈ H, λ ∈ R =⇒ λx ∈ H.ÔÍ-1219ÌÃÒÓПример 2.1.

В линейном пространстве V3 свободных векторов трехмерного пространствалинейное подпространство образуют: а) все векторы, параллельные данной плоскости; б) всевекторы, параллельные данной прямой. Это вытекает из следующих соображений. Из определения суммы свободных векторов следует, что два вектора a, b и их сумма a + b компланарны(рис. 2.1, а). Поэтому, если a и b параллельны данной плоскости, то этой же плоскости будетÔÍ-12Определение 2.1 фактически говорит о том, что линейное подпространство — это любоеподмножество данного линейного пространства, замкнутое относительно линейных операций, т.е. применение линейных операций к векторам, принадлежащим этому подмножеству, невыводит результат за пределы подмножества. Покажем, что линейное подпространство H каксамостоятельный объект является линейным пространством относительно операций, заданныхв объемлющем линейном пространстве L.

В самом деле, эти операции определены для любыхэлементов множества L, а значит, и для элементов подмножества H. Определение 2.1 фактически требует, чтобы для элементов из H результат выполнения операций также принадлежалH. Поэтому операции, заданные в L, можно рассматривать как операции и на более узком множестве H. Для этих операций на множестве H аксиомы линейного пространства а)–б) и д)–з)выполнены в силу того, что они справедливы в L. Кроме того, выполнены и две оставшиесяаксиомы, поскольку, согласно определению 2.1, если x ∈ H, то: 1) 0 · x = 0 ∈ H и 0 — нулевойвектор в H; 2) (−1)x = −x ∈ H.В любом линейном пространстве L всегда имеются два линейных подпространства: самолинейное пространство L и нулевое подпространство {0}, состоящее из единственногоэлемента 0.

Эти линейные подпространства называют несобственными, в то время каквсе остальные линейные подпространства называют собственными. Приведем примеры собственных линейных подпространств.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓПодпространства линейного пространства. Ранг системы векторов, связь с рангом матрицы.Линейная оболочка. Примеры.

Евклидово пространство, аксиомы и примеры. Норма вектора.Неравенство Коши — Буняковского и неравенство треугольника. Ортогональность векторов.Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Ортонормированныйбазис евклидова пространства Выражение координат вектора в ортонормированном базисе.Вычисление скалярного произведения и нормы вектора в ортонормированном базисе.ÔÍ-12ÔÍ-12ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 2ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓабaРис. 2.1ÔÍ-12также образует линейное подпространство в R3 .

В то же время эту систему можно рассматривать как общие уравнения прямой в пространстве, заданные в некоторой прямоугольнойсистеме координат Oxyz. Эта прямая проходит через начало координат, а множество радиусвекторов всех ее точек образует одномерное подпространство в V3 .ÌÃÒÓПример 2.2. Любое решение однородной системы линейных алгебраических уравнений(СЛАУ) от n переменных можно рассматривать как вектор в линейном арифметическом пространстве Rn . Множество всех таких векторов является линейным подпространством в Rn .В самом деле, решения однородной СЛАУ можно покомпонентно складывать и умножать надействительные числа, т.е. по правилам сложения векторов из Rn .

Результат операции сновабудет решением однородной СЛАУ. Значит, оба условия определения линейного подпространства выполнены.Уравнение x + y − 5z = 0 имеет множество решений, которое является линейным подпространством в R3 . Но это же уравнение можно рассматривать как уравнение плоскости внекоторой прямоугольной системе координат Oxyz. Плоскость проходит через начало координат, а радиус-векторы всех точек плоскости образуют двумерное подпространство в линейномпространстве V3 .Множество решений однородной СЛАУx + y − 5z = 0,−x + y=0ÔÍ-12Линейное пространство V3 дает наглядное представление о том, что такое линейное подпространство.

Действительно, фиксируем некоторую точку в пространстве. Тогда различнымплоскостям и различным прямым, проходящим через эту точку, будут соответствовать различные линейные подпространства из V3 (рис. 2.2).Не столь очевидно, что в V3 нет других собственных подпространств. Если в линейном подпространстве H в V3 нет ненулевых3векторов, то H — нулевое линейное подпространство, являющееся несобственным. Если в H есть ненулевой вектор, а любые двавектора из H коллинеарны, то все векторы этого линейного подпространства параллельны некоторой прямой, проходящей черезфиксированную точку. Ясно, что H совпадает с одним из линейных подпространств, описанных в случае б).

Если в H есть дванеколлинеарных вектора, а любые три вектора компланарны, тоРис. 2.2все векторы такого линейного подпространства параллельны некоторой плоскости, проходящей через фиксированную точку. Это случай а). Пусть в линейномподпространстве H существуют три некомпланарных вектора. Тогда они образуют базис в V3 .Любой свободный вектор можно представить в виде линейной комбинации этих векторов. Значит, все свободные векторы попадают в линейное подпространство H, и поэтому оно совпадаетс V3 . В этом случае мы получаем несобственное линейное подпространство.Итак, в V3 все собственные подпространства можно представить в виде плоскостей илипрямых, проходящих через фиксированную точку.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓaÔÍ-12ÔÍ-12aÌÃÒÓÌÃÒÓa+bÌÃÒÓÔÍ-12bÔÍ-12ÌÃÒÓпараллельна и их сумма.

Тем самым установлено, что для случая а) выполнено условие 1)определения 2.1. Если вектор умножить на число, получится вектор, коллинеарный исходному(рис. 2.1, б). Это доказывает выполнение условия 2) определения 2.1. Случай б) обосновываетсяаналогично.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ20ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2. ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАÌÃÒÓгде λ ∈ R. Описанное линейное подпространство называют линейной оболочкой системывекторов e1 , e2 , . . .

, ek и обозначают span {e1 , e2 , . . . , ek }.Примечательно то, что любое собственное линейное подпространство можно представитькак линейную оболочку некоторой системы его векторов (это будет ясно из дальнейшего изложения). В этом состоит универсальный способ описания линейных подпространств. Отметим,что само линейное пространство является линейной оболочкой любого из своих базисов.2.2. Ранг системы векторовТеорема 2.1.

Ранг системы векторов a = (a1 , a2 , . . . , ak ) линейного пространства Lравен:а) максимальному количеству линейно независимых векторов в системе a;б) рангу матрицы, составленной по столбцам из координат векторов a1 , a2 , . . . , ak в какомлибо базисе линейного пространства L.ÔÍ-12Определение 2.2. Рангом системы векторов в линейном пространстве называютразмерность линейной оболочки этой системы векторов.ÌÃÒÓПример 2.5. Рассмотрим плоскость π, проходящую через три произвольные точки O, A,B, не лежащие на одной прямой. Тогда линейное подпространство векторов, компланарных плоскости π, представляет собойBAлинейную оболочку двух свободных векторов, соответствующих−→ −−→¼Oгеометрическим векторам OA и OB (рис.

2.3). Действительно,−→ −−→любой вектор, компланарный векторам OA и OB, представляетРис. 2.3ся в виде их линейной комбинации.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓx + y = (x1 + y1 )e1 + . . . + (xk + yk )ek ∈ H,λx = (λx1 )e1 + . . . + (λxk )ek ∈ H,ÔÍ-12ÔÍ-12ТогдаÌÃÒÓÌÃÒÓy = y1 e1 + . . . + yk ek .ÌÃÒÓÔÍ-12Пусть в линейном пространстве L задана система векторов e1 , e2 , . . .

, ek . Рассмотриммножество H всех векторов в L, которые могут быть представлены линейной комбинацией этихвекторов. Это множество является линейным подпространством в L. Действительно, пустьÔÍ-12Пример 2.4. В линейном пространстве C[0, 1] функций, непрерывных на отрезке [0, 1],можно выделить следующие линейные подпространства: а) множество функций, непрерывныхна отрезке [0, 1] и непрерывно дифференцируемых в интервале (0, 1) (в основе этого утверждения лежат свойства дифференцируемых функций: сумма дифференцируемых функций естьдифференцируемая функция, произведение дифференцируемой функции на число есть дифференцируемая функция); б) множество всех многочленов; в) множество Kn [x] всех многочленовстепени не выше n.

Напротив, множество всех монотонных функций, непрерывных на отрезке[0, 1], очевидно, является подмножеством C[0, 1], но не является линейным подпространством,так как сумма двух монотонных функций может и не быть монотонной функцией. #ÌÃÒÓПример 2.3. В линейном пространстве Mn (R) квадратных матриц порядка n линейное подпространство образуют: а) все симметрические матрицы; б) все кососимметрические матрицы;в) все верхние (нижние) треугольные матрицы. При сложении таких матриц или умножении начисло мы получаем матрицу того же вида.

Напротив, подмножество вырожденных матриц неявляется линейным подпространством, так как сумма двух вырожденных матриц может бытьневырожденной матрицей: 1 00 01 0+=.0 00 10 1x = x1 e1 + . . . + xk ek ,ÔÍ-12ÌÃÒÓ21ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2. ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАÌÃÒÓт12062031323772.99x1 a1 + x2 a2 = a3 ,которая в координатной форме имеет вид= 3,= 2,= 3,= 7.Из четырех уравнений можно оставить любые два. Используя второе и третье уравнения,находим x1 = 1, x2 = 1 и, следовательно, a3 = a1 + a2 . Аналогично находим и разложениевектора a4 : a4 = a1 + 3a2 .ÔÍ-12x1 + 2x22x13x26x1 + x2ÌÃÒÓВычислив ранг матрицы, убеждаемся, что он равен 2.