Диссертация (Стратификация пространств функций на комплексных кривых), страница 10

В таблице приведены количества ребер, вершин (черных и белых) и граней детских рисунков, отвечающих мегакартам природе накрывающей поверхности 0, 1, 2 и степени функции не более 4. Индекс у паспорта означает наличие нескольких неприводимых компоненту мегакарты при данном паспорте.паспорт созвездия, g(C) # реберh4|2, 1, 1|2, 1, 1|2, 1, 1i, 04h3, 1|3, 1|2, 1, 1|2, 1, 1i, 06h3, 1|2, 2|2, 1, 1|2, 1, 1i, 03h2, 2|2, 2|2, 1, 1|2, 1, 1i1 , 01h2, 2|2, 2|2, 1, 1|2, 1, 1i2 , 02h3|2, 1|3|2, 1i, 12h2, 1, 1|4|2, 1, 1|4i1 , 14h2, 1, 1|4|2, 1, 1|4i2 , 12h3, 1|2, 1, 1|3, 1|4i, 18h2, 2|2, 1, 1|2, 2|4i1 , 11# вершин4632324372# граней2221122131род мегакарты0000000000h2, 2|2, 1, 1|2, 2|4i2 , 1h2, 1, 1|2, 2|3, 1|4i, 1h3, 1|3, 1|3, 1|3, 1i1 , 1h3, 1|3, 1|3, 1|3, 1i2 , 1h3, 1|3, 1|3, 1|3, 1i3 , 1h3, 1|3, 1|3, 1|3, 1i4 , 1h3, 1|3, 1|3, 1|3, 1i5 , 1h3, 1|3, 1|3, 1|3, 1i6 , 1h3, 1|3, 1|3, 1|2, 2i, 1h3, 1|2, 2|3, 1|2, 2i, 1h2, 2|2, 2|2, 2|2, 2i1,...,4 , 1h4|4|3, 1|3, 1i1 , 2h4|4|3, 1|3, 1i2 , 2h4|4|3, 1|2, 2i, 2h4|4|2, 2|2, 2i1 , 2h4|4|2, 2|2, 2i2 , 2h4|4|4|2, 1, 1, 1i, 213222222431623214233234334426333241212112221121211200000000000000000Пример 2.43.

Мегакарте рода 0, соответствующей накрытию степени 4с паспортом h3, 1|3, 1|2, 1, 1|2, 1, 1i (рис. 1), отвечает тройка перестановокΣ = (13)(2, 5, 6, 4), A = (1)(2)(3, 5, 4), Φ = (2, 4)(1, 3, 6, 5).Рис. 1. Мегакарта накрытий с паспортом h3, 1|3, 1|2, 1, 1|2, 1, 1i.Представляет собой детский рисунок на поверхности рода 0.В следующей таблице приведены результаты работы программы длянекоторых мегакарт рода 2 со степенью функции 5.паспорт созвездия, g(C) # реберh5|5|4, 1|2, 1, 1, 1i, 224h5|5|3, 2|2, 1, 1, 1i, 214h5|5|3, 1, 1|3, 1, 1i1 , 22h5|5|3, 1, 1|3, 1, 1i2 , 25h5|5|3, 1, 1|3, 1, 1i3 , 212h5|5|3, 1, 1|3, 1, 1i4 , 215h5|5|3, 1, 1|2, 2, 1i1 , 212h5|5|3, 1, 1|2, 2, 1i2 , 212# вершин151135911108# граней53123444род мегакарты31001101Пример 2.44.

Неприводимой компоненте рода 0 мегакарты, соответствующей накрытию степени 5 с паспортом h5|5|3, 1, 1|2, 2, 1i (рис. 2),отвечает тройка перестановокΣ = (1, 3)(2, 8, 9, 10, 4)(5, 11)(6, 12, 7),A = (1, 2)(3, 7, 8)(4, 11)(5, 10, 12)(6)(9),Φ = (1, 4, 5, 6, 7)(2, 3)(8, 12, 9)(10, 11).Рис. 2. Одна из мегакарт накрытий с паспортом h5|5|3, 1, 1|2, 2, 1i. Отвечаетсвязной компоненте Hπ рода 0.Пример 2.45. Неприводимой компоненте рода 1 с 12 ребрами мегакарты, соответствующей накрытию степени 5 с паспортом h5|5|3, 1, 1|3, 1, 1i(рис.

3), отвечает тройка перестановокΣ = (1, 3, 4, 5, 6)(2, 10, 9, 12, 7)(8, 11),A = (1, 2)(3)(4, 9)(5, 11, 7)(6, 12, 8)(10),Φ = (1, 7, 8, 9, 3)(2, 6, 11, 4, 10)(5, 12).Рис. 3. Одна из четырех мегакарт накрытий с паспортом h5|5|3, 1, 1|3, 1, 1i.Отвечает связной компоненте Hπ рода 1.Теорема 2.46. Всего существует 57 связных мегакарт с g(C) = 2и deg(f ) = 5 при 16 различных паспортах и 21 связная мегакарта сg(C) = 3 и deg(f ) = 5 при 5 различных паспортах.

Максимальное количество ребер среди соответствующих детских рисунков равно 40.Пример 2.47. Как отмечалось в конце второго раздела, каждой вершине и грани мегакарты соответствует накрытие с тремя точками ветвления, то есть детский рисунок или несвязное объединение несколькихдетских рисунков. В частности, вершинам мегакарты, изображенной нарисунке 1 отвечают следующие тройки перестановок, задающие детскиерисунки.Черным вершинам слева направо:σ = (1, 2, 3), α = (2, 3), ϕ = (1, 3) — один из несвязного объединениядвух детских рисунков;σ = (1, 2, 3), α = (1, 4, 3, 2), ϕ = (3, 4).Белым вершинам слева направо:σ = (2, 4), α = (1, 3)(2, 4), ϕ = (1, 3);Следующей вершине отвечает несвязное объединение двух детских рисунков: тривиального и заданного перестановками σ = (1, 4, 3), α =(3, 4), ϕ = (1, 3);σ = (1, 3), α = (1, 3)(2, 4), ϕ = (2, 4);σ = (3, 4), α = (), ϕ = (3, 4) — один из несвязного объединения двухдетских рисунков.Внутренней грани: σ = (1, 2, 3), α = (1, 2), ϕ = (2, 3) и тривиальныйдетский рисунок.Внешней грани: σ = (1, 2, 3), α = (3, 4), ϕ = (1, 3, 4, 2).3Обобщенные числа ГурвицаЭта глава посвящена задачам подсчета количества созвездий в некоторых случаях, когда количество перестановок и их циклические типы могут быть произвольными.

В такой ситуации, за исключением простейших случаев многочленов на кривых рода 0, полные ответы в задачахперечисления созвездий не получены. В разделе 3.1 мы представляем новое доказательство формулы, перечисляющей разложения перестановкиданного циклического типа в произведение r перестановок произвольныхциклических типов в специальном случае. Раздел 3.2 посвящен производящим рядам, коэффициенты которых перечисляют разветвленные накрытия. Выписана производящая функция чисел Буске-Мелу–Шеффераи доказано, что она удовлетворяет, так называемой, иерархии КП.3.13.1.1Разложения перестановки в произведение перестановокЧисла Буске-Мелу–ШеффераВ работе [24] получена формула для количества разложений рода 0 данной перестановки σ0 фиксированного циклического типа в произведениеc перестановок произвольных циклических типов.

Мы получили новоедоказательство формулы из [24] в случае, когда перестановка σ0 является полным циклом. Доказательство основано на формуле Гульдена–Джексона из [30], перечисляющей упорядоченные разложения полногоцикла в произведение перестановок данных циклических типов.Полученные результаты позволяют рассчитывать на то, что подобныерассуждения могут иметь дальнейшие обобщения на случаи разложенийположительных родов.В нижеследующих пунктах мы формулируем теоремы Буске-Мелу–Шафера, Гульдена–Джексона и другие факты, на которые будет опираться доказательство.Формула Гульдена–Джексона.Пусть µ = 1m1 2m2 . .

. nmn — разбиение числа n длины l(µ) = m1 +m2 +. . . + mn , записанное в мультипликативной форме. Числа mi равны количеству частей разбиения µ длины i. Будем говорить, что перестановка σиз симметрической группы Sn имеет циклический тип µ, если ее разложение в произведение непересекающихся циклов имеет mi циклов длиныi. Циклические типы перестановок находятся во взаимнооднозначном соответствии с их классами сопряженности.Пусть σ0 — полный цикл из Sn , т.е.

перестановка с циклическим типом n1 , и пусть N (µ1 , . . . , µr ) — число упорядоченных разложений перестановки σ0 в произведение r перестановок фиксированных циклическихтипов µ1 , . . . , µr . В работе [30] получена следующая формула для чиселN (µ1 , . . . , µr ):Теорема 3.1 (Гульден–Джексон).N (µ1 , .

. . , µr ) = nr−1rY1l(µi )!,l(µ)m!...m!ii1ini=1(10)где mij — это количество частей разбиения µi длины j.Формула Буске-Мелу–Шеффера.Каждому разложению перестановки из Sn в произведение перестановок соответствует разветвленное накрытие сферы степени n, определенное однозначно с точностью до топологической эквивалентности. Еслигруппа, порожденная этим набором перестановок, действует транзитивно на множестве из n элементов, то соответствующее накрытие оказывается связным. Род накрывающей поверхности определяется по формулеРимана–Гурвица. Будем говорить, что разложение перестановки в произведение перестановок имеет род g, если соответствующее разветвленное накрытие связно и род накрывающей поверхности равен g.Обозначим через bσ0 (r) количество разложений перестановки σ0 ∈Sn фиксированного циклического типа в произведение r перестановок(некоторые из которых могут быть тождественными), удовлетворяющихследующим условиям:(а) группа, порожденная этим набором из r перестановок, действуеттранзитивно на множестве из n элементов;(б) соответствующее разветвленное накрытие имеет род 0.В [24] получена следующая формула для чисел bσ0 (r), которые мыбудем называть числами Буске-Мелу–Шеффера.Теорема 3.2 (Буске-Мелу–Шеффер).

Пусть перестановка σ0 ∈ Sn имеет mi циклов длины i (i = 1, 2, 3, . . . ), через l(σ0 ) обозначим количествоциклов перестановки σ0 , тогдаY ri − 1mi(rn − n − 1)!i.(11)bσ0 (r) = r(rn − n − l(σ0 ) + 2)! i≥1iЧерез bn (r) обозначим число Буске-Мелу–Шеффера в случае, когдаперестановка σ0 — это полный цикл длины n.3.1.2Перестановки фиксированной вырожденностиВырожденностью A(µ) разбиения µ называется величинаA(µ) =nX(i − 1)mi .i=1Вырожденностью перестановки из симметрической группы Sn будем называть вырожденность соответствующего разбиения числа n.Зафиксируем натуральное число r и пусть k1 , .