Диссертация (Стратификация пространств функций на комплексных кривых), страница 11

. . , kr — невозрастающая последовательность неотрицательных целых чисел, k1 ≥ k2 ≥. . . kr ≥ 0, k1 + k2 + · · · + kr = n − 1. Рассмотрим наборы из r перестановок вырожденностей k1 , . . . , kr , дающих в произведении полныйцикл длины n. Отметим, что так как мы рассматриваем разложенияполного цикла, то группа, порожденная этим набором из r перестановок, действует транзитивно на множестве из n элементов, а равенствоk1 +k2 +· · ·+kr = n−1 позволяет, с помощью формулы Римана–Гурвица,заключить, что соответствующее разветвленное накрытие имеет род 0.Таким образом выполняются условия (а) и (б), сформулированные передтеоремой 3.2.

Обозначим число таких наборов через degk1 ,...,kr .Лемма 3.3.degk1 ,...,kr nnn1 n···.=n k1k2kr−1kr(12)Искомое же число bn (r) равно сумме чисел degk1 ,...,kr по всевозможным наборам вырожденностей k1 , . . . , kr , дающих в сумме n−1. Отметим,что нулевые вырожденности отвечают появлению тождественных перестановок в разложении Буске-Мелу–Шеффера.Теорема 3.4.1rnbn (r) =.n n−1(13)Заметим, что обозначение degk1 ,...,kr выбрано не случайно. Эти числаестественно выражаются в терминах степеней ограничения отображенияЛяшко–Лойенги на страты дискриминанта в пространстве комплексныхмногочленов степени n, см. [13].

Более того, все утверждения настоящейглавы могут быть доказаны, опираясь на результаты вычислений степеней отображения Ляшко–Лойенги из работы [13], однако получающиеся вычисления чуть более громоздки. Именно геометрическая природавыполняемых вычислений позволяет надеяться на то, что излагаемыйподход допускает распространение на случай накрытий произвольногорода.Следующий параграф посвящен доказательству основных утверждений, леммы 3.3 и теоремы 3.4.3.1.3ДоказательстваРассмотрим упорядоченные разложения полного цикла в произведение rперестановок, лишь одна из которых не является транспозицией.

Будемназывать такую перестановку вырожденной. Пусть µ = 1m1 2m2 . . . nmn— циклический тип единственной вырожденной перестановки. По теореме 3.1 число N (µ) таких разложений равноN (µ) = nr−1l(µ)!1,l(µ) m1 ! . . . mn !(14)поскольку все множители в (10), отвечающие транспозициям, равны 1.Выведем формулу для числа упорядоченных разложений полногоцикла в произведение c перестановок при условии, что только одна изних является вырожденной и при этом имеет фиксированную вырожденность k. Будем обозначать число таких разложений через degk (n).Утверждение 3.5. Справедливо равенствоdegk (n) =XA(µ)=kr−2N (µ) = n n.k(15)Представим разбиение µ ` n в виде диаграммы Юнга площади n(части разбиения записываются по строкам).

Отрежем от этой диаграмnPмы первый столбец: получится диаграмма площади(i − 1)mi , т.е. вi=1точности площади k. Заметим, что количества совпадающих частей уразбиения числа n и у полученного разбиения числа k совпадают, за исключением того, что в новом разбиении числа k нет частей длины 1.Поэтому мы будем интерпретировать сумму чисел N (µ) по всем разбиениям µ числа n вырожденности k как сумму тех же чисел по всемразбиениям λ = 1m2 2m3 . . . (n − 1)mn числа k.

Здесь и далее через |Aut(λ)|будем обозначать произведение m2 ! · . . . · mn !. ИмеемXµ`n,A(µ)=knr−1Xl(µ)!1l(µ)!1=nr−1.l(µ) m1 !|Aut(λ)|l(µ)m1 !|Aut(λ)|λ`k(16)Заметим, чтоA(µ) =nX(i − 1)mi =i=1nXimi −i=1nXmi = n − l(µ),i=1иm1 = n − k − l(λ),поэтому правую часть (16) можно переписать в виде:nr−1Xλ`k1(n − k)!.(n − k)|Aut(λ)| (n − k − l(λ))!Докажем, чтоXλ`k 1(n − k)!1 n=.(n − k)|Aut(λ)| (n − k − l(λ))!n k(17)Перепишем равенство (17) в видеXλ`k(n − k)!1=|Aut(λ)| (n − k − l(λ))!n−1.k(18)Преобразуем левую часть равенства (18)Xλ`kX l(λ)!(n − k)!(n − k)!1==|Aut(λ)| (n − k − l(λ))!|Aut(λ)|l(λ)!(n−k−l(λ))!λ`kX l(λ)! n − k =.

(19)|Aut(λ)|l(λ)λ`kПерегруппируем слагаемые в сумме (19) по длине разбиения λk Xn−kll=1Xλ`k,l(λ)=ll!.|Aut(λ)|Заметим, что каждому неупорядоченному разбиению числа k на l слаl!гаемых соответствуетупорядоченных, а всего неупорядоченных|Aut(λ)|k−1разбиений, поэтому последнее выражение равноl−1k Xn−kk−1l=1ll−1.(20)n−1. Действительно,kНетрудно увидеть, что выражение (20) равноn−1— это коэффициент при xk в многочлене (1 + x)n−1 , а суммаk(20) — это коэффициент при xk в произведении двух многочленов (1 +x)n−k · (1 + x)k−1 = (1 + x)n−1 .Равенство (17), а вместе с ним и утверждение 3.5 доказано.Доказательство леммы 3.3.

Как нетрудно заметить, для доказательства леммы 3.3 достаточно просуммировать числа N (µ1 , . . . , µr ) повсем наборам разбиений {µ1 , . . . , µr } вырожденностей {k1 , . . . , kr }. Выполним суммирование, воспользовавшись утверждением 3.5.Xdegk1 ,...,kr =N (µ1 , . . . , µr ) ={µ1 ,...,µr }A(µi )=ki=X{µ1 ,...,µr }A(µi )=kinr−1rrYYX1l(µi )!l(µi )!1= nr−1=l(µ)m!...m!l(µ)m!...m!ii1inii1inµii=1i=1A(µi )=kir−1=n rr Y1 n1Y n=.nknkiii=1i=1Последнее выражение в точности совпадает с требуемым в утверждениилеммы 3.3, доказательство закончено.Доказательство теоремы 3.4. Напомним, что через bn (r) мы обозначали количество разложений полного цикла из Sn в произведение rперестановок, некоторые из которых могут быть тождественными. Числаbn (r) выражаются через вычисленные числа degk1 ,...,kr следующим образом:Xbn (r) =degk1 ,...,kr ,k1 ,...,kr , k1 +···+kr =n−1где сумма берется по всем неупорядоченным наборам k1 , .

. . , kr .Для завершения доказательства теоремы 3.4 нужно доказать, чтоXk1 ,...,kr , k1 +···+kr nnn1rn1 n···=.nkkkknn−112r−1r=n−1Домножим обе части этого равенства на n. Справа стоит количествоспособов выбрать n − 1 элементов из rn элементов. Заметим, что суммаслева в точности равна этому количеству, так как рассматриваются всевозможные наборы k1 , . . . , kr и всевозможные способы их выбора, то естькаждый раз выбирается ровно n − 1 элементов из rn. Теорема доказана.3.23.2.1Производящие ряды обобщенных чисел ГурвицаПроизводящий ряд чисел Буске-Мелу–ШеффераВ этом разделе мы приводим производящую функцию чисел Буске-Мелу–Шеффера (в разделе 3.1 определены числа Буске-Мелу–Шеффера рода0, числа старших родов определяются аналогично) и ее разложение породам. Мы покажем, что производящая функция числа накрытий рода 0удовлетворяет некоторой системе дифференциальных уравнений.

Такжемы покажем, что эта производящая функция является специализациейпроизводящей функции из работы [31] и поэтому является τ -функциейдля иерархии КП.Пусть ν1 , . . . , νt — длины циклов в разложении перестановки σ ∈ Snв произведение независимых циклов; l(ν) = t, n = |ν| = ν1 + · · · + νt .Неприводимые представления группы Sn находятся во взаимнооднозначном соответствии с разбиениями ν ` n (см., например, [18, §3]). Мыбудем обозначать неприводимые представления так же как и разбиения.Обозначим через dimν размерность неприводимого представления νгруппы S|ν| .

Обозначим через |Aut(ν)| порядок группы автоморфизмовразбиения ν. Если в разбиении ν di частей длины i, (i = 1, 2, 3, . . .), то|Aut(ν)| = d1 !d2 !d3 ! . . ..Через pi = pi (x1 , . . . , xn ) будем обозначать симметрические степенные многочлены от n переменных, которые определяются следующимобразомnXpi (x1 , x2 , .

. . , xn ) =xij .j=1Через sν будем обозначать многочлен Шура разбиения ν. МногочленыШура — это симметрические многочлены от степенных многочленов pi(см. определение 3.13 ниже).Определим соответствующий сдвинутый многочлен Шура равенствомs~ν (~, p1 , p2 , p3 , . . .) = sν (p1 , p2 ~, p3 ~2 , .

. .).Для разбиения ν = {ν1 , . . . , νt } через pν будем обозначать произведение pν = pν1 . . . pνt .Определение 3.6. Содержанием клетки k, которая лежит на пересечении i-ого столбца и j-ой строки диаграммы Юнга, называется разностьc(k) = j − i. Для каждой клетки диаграммы Юнга рассмотрим множество клеток, состоящее из нее самой и всех клеток, лежащих в той жестроке и правее и в том же столбце и ниже.

Это множество называетсякрюком клетки k. Длиной крюка h(k) называется количество клеток вэтом крюке.Через bg,ν,r обозначим количество классов изоморфизма разветвленных накрытий двумерной сферы поверхностью рода g с r точками ветвления произвольных типов ветвления и выделенной точкой ветвления сданным типом ветвления ν = {ν1 , . . . , νt }. Обозначим через S производящую функцию для чисел bg,ν,r , определяемую следующим образом:S(~, p1 , p2 , . . . ; r) =∞ XXbg,ν,r pν ~2g ,n=0 ν`nгде pν = pν1 pν2 .

. ., и род g накрывающей поверхности может быть вычислен с помощью формулы Римана–Гурвица,X2 − 2g = 2n −(k(P ) − 1),Pгде k(P ) — порядок ветвления накрытия в точке P (см. параграф 3.2.4).Основным результатом этого параграфа является следующая теорема:Теорема 3.7. Функция S имеет следующее представление:∞ XYXdimν −2n2~ s~νS(~, p1 , p2 , . .

. ; r) = ~ log(1 + c(k)~)rn!n=0 ν`n k∈ν!.(21)Производящая функция S имеет разложение по родамS(~, p1 , p2 , . . . ; r) = S0 (p1 , p2 , . . . ; r) + ~2 S1 (p1 , p2 , . . . ; r)+~4 S2 (p1 , p2 , . . . ; r) + . . . ,где функции Sg , g = 0, 1, 2 . . . — это производящие функции для числа накрытий рода g. Коэффициенты b0,ν,r функции S0 это числа БускеМелу-Шеффера bσ0 (r) (см. предыдущий раздел 3.1), с коэффициентами,l(ν)Qобратными |Aut(ν)| νi , где ν — это циклический типа перестановкиi=1σ0 .

Напомним, что числа Буске-Мелу–Шеффера равны количеству разложений рода 0 данной перестановки σ0 в то время как числа b0,ν,r перечисляют разложения произвольной перестановки из заданного классасопряженности.Для старших родов уравнение (21) доставляет эффективный способвычисления коэффициентов разложения. В частности, ниже выписанапроизводящая функции S1 разложений рода 1 (коэффициент при ~2 ряда(21)) вплоть до накрытий степени 4:S1 (p1 , p2 , . . .