Диссертация (Стратификация пространств функций на комплексных кривых)

Федеральное государственное автономное образовательноеучреждение высшего профессионального образованияНациональный исследовательский университет«Высшая школа экономики»На правах рукописиУДК 512.772Бычков Борис СергеевичСтратификация пространствфункций на комплексных кривых01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чиселДиссертацияна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительдоктор физико-математических наукС. К. ЛандоМосква — 2015СодержаниеВведение1 Пространство Гурвица1.1 Пространства Гурвица и их стратификация1.2 Задача Гурвица .

. . . . . . . . . . . . . . .1.3 Компактификации пространств Гурвица . .1.3.1 Конусы главных частей . . . . . . . .1.3.2 Допустимые накрытия . . . . . . . .5.............................................1818212324262 Детские рисунки Гротендика2.1 Функции и пары Белого . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .2.2 Шестиреберные рисунки рода три с единственной вершиной2.2.1 Морфизм факторизации . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2 Перечисление детских рисунков . . . . . . . . . . . .2.2.3 Детский рисунок с Z12 -симметрией . . . . . . . . . .2.2.4 Детские рисунки с Z3 -симметрией .

. . . . . . . . . .2.2.5 Пары Белого детских рисунков с Z3 -симметрией . .2.2.6 Детские рисунки с Z2 -симметрией . . . . . . . . . . .2.3 Накрытия с четырьмя точками ветвления . . . . . . . . . .2.3.1 Действие группы кос Гурвица . . . . . . . . . . . . .2.3.2 Мегакарты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3 Описание алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.4 Результаты вычислений . .

. . . . . . . . . . . . . . .28282929313435394151515254553 Обобщенные числа Гурвица3.1 Разложения перестановки в произведение перестановок3.1.1 Числа Буске-Мелу–Шеффера . . . . . . . . . . .3.1.2 Перестановки фиксированной вырожденности . .3.1.3 Доказательства . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Производящие ряды обобщенных чисел Гурвица . . . .3.2.1 Производящий ряд чисел Буске-Мелу–Шеффера3.2.2 Интегрируемые иерархии . . . . . . . . . . . . . .3.2.3 Групповая алгебра CSn . . . . . . .

. . . . . . . .3.2.4 Операторы на центре групповой алгебры ZCSn .60606062636666686972..................Обозначенияν ` n — разбиение натурального числа n на слагаемые: n = ν1 +. . .+νt ,νi , ν1 ≤ ν2 ≤ · · · ≤ νt — части разбиения.t = l(ν) — длина разбиения.|ν| = n.µ1 , . . . , µr — также разбиения числа n, если не оговорено противное.1m1 2m2 . . . nmn — запись разбиения ν ` n в мультипликативной форме;m1 + 2m2 + .

. . + nmn = n.k(ν) = |ν| − l(ν) — вырожденность разбиения ν ` n.[µ1 , . . . , µr ] — набор разбиений, паспорт разветвленного накрытия.Mg;n — пространство модулей комплексных кривых рода g с n отмеченными точками.Mg;n — компактификация Делиня–Мамфорда пространства модулейкомплексных кривых рода g с n отмеченными точками.Hg;k1 ,...,kn — пространство Гурвица мероморфных функций на комплексных кривых рода g c набором k1 , . .

. , kn кратностей прообразов критического значения ∞.Hg;k1 ,...,kn — пополненное пространство Гурвица.σµ1 ;...;µr — страт дискриминанта пространства Гурвица P Hg;k1 ,...,kn , состоящий из функций, имеющих ветвления предписанных типов µ1 , . . . , µrнад вырожденными критическими значениями.bg,ν,r — количество классов изоморфизма разветвленных накрытийдвумерной сферы поверхностью рода g с r точками ветвления произвольных типов ветвления и выделенной точкой ветвления с данным типомветвления ν = {ν1 , .

. . , νt }.bσ0 (r) — количество разложений перестановки σ0 ∈ Sn в произведениеr перестановок (некоторые из которых могут быть тождественными),удовлетворяющих следующим условиям:(а) группа, порожденная этим набором из r перестановок, действуеттранзитивно на множестве из n элементов;(б) соответствующее разветвленное накрытие имеет род 0.sν — функция Шура разбиения ν.dimν — размерность неприводимого представления симметрическойгруппы Sn , соответствующего разбиению ν числа n.Cν — множество перестановок циклического типа ν в группе Sn .χν — характер неприводимого представления симметрической группыSn , соответствующего разбиению ν числа n.pν = pν1 .

. . pνl(ν) — параметры производящих функций.c(ω) — содержание клетки ω диаграммы Юнга.KG — групповая алгебра конечной группы G над полем K.ВведениеОбщая характеристика работыАктуальность работыПространства мероморфных (рациональных) функций на комплексных алгебраических кривых данного рода являются фундаментальнымпредметом изучения современной математики. Эти пространства называются пространствами Гурвица; их изучение было начато еще А. Гурвицем в конце XIX века.

Они обладают комплексной структурой и разнообразными интересными топологическими и геометрическими свойствами.Для того, чтобы задать конкретное пространство Гурвица, обычнофиксируют род кривых и степень рассматриваемых на этих кривых мероморфных функций. Также можно зафиксировать дополнительные данные, например, порядки полюсов функций, точные определения см. ниже. Общая функция в пространстве Гурвица имеет простые (морсовские)критические точки, а ее критические значения невырождены и попарно различны.

Вырождения критических значений функций определяютстратификацию соответствующего пространства Гурвица.В работе с разных точек зрения и разными методами исследуютсястраты пространств Гурвица. Основные результаты касаются стратовнаибольшей коразмерности — нульмерных и одномерных, — и стратовнаименьшей коразмерности — открытых стратов.Страты наибольшей коразмерности состоят из функций с наименьшим возможным количеством критических значений, а именно, с 3 критическими значениями. Функции, образующие эти страты, называютсяфункциями Белого.

Они играют ключевую роль в современном понимании теории Галуа. Несмотря на важность функций Белого, их конкретное вычисление является технически очень сложной задачей, кругпосчитанных примеров невелик, а общие методы вычисления неразвиты.Пара алгебраическая кривая и функция на ней с тремя критическимизначениями называется парой Белого. А. Гротендик в своей программе [32] ввел понятие детский рисунок — это двумерная поверхность играф, вложенный в нее так, что дополнение гомеоморфно несвязномуобъединению открытых дисков. Прообраз отрезка, соединяющего двакритических значения мероморфной функции, — это детский рисунок.В свою очередь, для каждого детского рисунка есть реализующая егопара Белого. Эта пара по сути дела единственна.

Г. В. Белый в [9] показал, что на любой кривой, определенной над полем алгебраическихчисел есть функция с тремя критическими значениями. Детские рисун-ки связывают между собой алгебраическую геометрию, теорию чисел,теорию римановых поверхностей, теорию струн и др. Многие естественно возникающие задачи, связанные с детскими рисунками, оказываютсядостаточно трудными. Например, задачи связанные с орбитами действиягруппы Галуа.

Задача построения пар Белого далека от своего полногорешения, однако есть много частичных результатов в этой области: [3],[4], [7], [8], [23], [37], [42], [43]. Наши результаты состоят в вычислениипар Белого всех шестиреберных детских рисунков рода 3 с единственнойвершиной и нетривиальной группой автоморфизмов.В свою очередь, одномерные страты состоят из функций с 4 критическими значениями. Каждый такой страт распадается в объединениекривых, на каждой из которых задана функция Белого. Тем самым, одномерные страты в пространствах Гурвица дают конкретные примерыфункций Белого, однако их явное вычисление также является труднойзадачей. Следуя [47], мы называем детские рисунки, отвечающие функциям Белого на одномерных стратах, мегакартами.

Наши результатысостоят в явном описании мегакарт для целого ряда конкретных одномерных стратов в пространствах Гурвица.Страты максимальной размерности состоят из общих функций. Основным инструментом анализа геометрии таких стратов является отображение Ляшко–Лойенги, сопоставляющее каждой функции неупорядоченный набор ее критических значений. Степень отображения Ляшко–Лойенги это число Гурвица, и развитие способов подсчета этих чиселтакже является важной задачей.Пусть µ1 , . .

. , µr — разбиения числа d, k1 , . . . , kn — еще одно разбиение:k1 + k2 + . . . + kn = d. Обобщенное число Гурвица hg;µ1 ,...,µr ;k1 ,...,kn перечисляет разветвленные накрытия X → CP 1 степени d поверхностью X родаg, такие что:− точка ∞ ∈ CP 1 имеет ровно n различных пронумерованных прообразов кратностей k1 , . . . , kn соответственно;− существует нефиксированное число точек ветвления, которые в дальнейшем будут называться простыми, кратности прообразов которых образуют разбиения 1d−2 21 .− существует ровно r пронумерованных непростых точек ветвленияс кратностями прообразов, равными частям разбиений µ1 , .

. . , µr ;Количество m простых точек ветвления определяется по формулеРимана–Гурвица:2 − 2g = 2d − m −nX(ki − 1) − K(P ),i=1где K(P ) — это сумма по всем r разбиениям µ1 , . . . , µr уменьшенных наединицу частей разбиений.Как будет видно ниже, из основного текста диссертации, числоhg;µ1 ,...,µr ;k1 ,...,kn также равно количеству разложений перестановки в произведение перестановок или количеству созвездий с определенными условиями.В случае g = r = 0 обобщенные числа Гурвица называются просточислами Гурвица h0;k1 ,...,kn .Первая формула для чисел, перечисляющих разветвленные накрытия, принадлежит Гурвицу.

Более ста лет назад в 1891 году в [34] имполучена формула для чисел h0;k1 ,...,kn :nh0;k1 ,...,kn(k1 + . . . + kn + d − 2)! Y kiki,=|Aut(k1 , . . . , kn )|k!i=1 iгде |Aut(k1 , . . . , kn )| равно произведению факториалов совпадающих частей разбиения.После этого, в целом, задача была забыта до работы Г. Вейля [46]1931 года и А. Д. Медных [16], [40] 1980-90 годов. Всплеск интереса кней случился совсем недавно — в конце XX, начале XXI века, в связи собнаружением связей задачи Гурвица с геометрией пространства модулей комплексных кривых и теорией особенностей.Коллективом авторов в работе [28] числа Гурвица hg;k1 ,...,kn были выражены через кратности ограничения так называемого отображения Ляшко–Лойенги на страты дискриминанта пополненного пространства Гурвица(здесь мы вынуждены отсылать за точными формулировками в раздел1.1).

Пополненное пространство Гурвица, в свою очередь, является конусом над пространством модулей кривых, таким образом была полученазамкнутая формула для чисел hg;k1 ,...,kn :! ZnY1 − λ1 + . . . + (−1)g λgkiki.hg;k1 ,...,kn =k!(1−kψ)·...·(1−kψ)i11nni=1Mg;nЗдесь λi — это классы Черна расслоения Ходжа голоморфных 1-формнад пространством модулей Mg;n , а ψi — это первый класс Черна расслоения Li над пространством модулей Mg;n , слой которого совпадает скокасательным пространством к кривой в i-ой отмеченной точке.В разделе 3.1, основываясь на геометрических соображениях, связанных с отображением Ляшко–Лойенги, мы получили новое доказательство замкнутой формулы для более общих чисел bσ0 (r).Естественно, вследствие того, что замкнутые формулы для обобщенных чисел Гурвица и других чисел, перечисляющих разветвленные накрытия, получить не удавалось, появилось большое количество попыток написания разнообразных производящих рядов, перечисляющих разветвленные накрытия.