Автореферат (Математическое обоснование расщепления спектра и билокализации состояний при координатном и импульсном туннелировании в одномерных квантовых системах), страница 3

Предположим, что энергия E больше, чем минимумы двуямного потенциала, и меньше,чем вершина потенциального барьера, уравнение V (x) = E имеет 4 простых кор11Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц Квантовая механика: Нерелятивистская теория. Теоретическая физика. Т. 3.Издание 1-е.

Л.: Гос. изд-во РСФСР, 1948. 567 с.11ня — точки поворота, и V (x) > E + e при достаточно больших x и некоторомe > 0. Пусть между точками поворота xl и xr находится потенциальный барьер,разделяющий потенциальные ямы, то есть V (x) > E при xl < x < xr .Определим точку c из равенстваZ cZ|p(x)|dx =xlгде p(x) =xr|p(x)|dx,(2)cp2(E − V (x)) — классический импульс частицы. Точка c являетсяцентром потенциального барьера с точки зрения инстантонного действия. Пустьточки a и b выбраны так, что xl < a < c < b < xr .Введем два гладких потенциала Vl (x) и Vr (x), удовлетворяющих следующимдвум условиям:1. Потенциал Vl (x) ≡ V (x) при x ≤ b, а Vr (x) ≡ V (x) при x ≥ a.2.

Потенциал Vl (x) > E +e при x ≥ b, а Vr (x) > E +e при x ≤ a, для некоторогоe > 0.Определим соответствующие операторы Шредингера с потенциалами Vl (x) иVr (x):~2 d2Ĥi = −+ Vi (x), i = l, r.2 dx2Пусть Ei — точка дискретного спектра оператора Ĥi (i = l, r), а ψi — соответствующая действительная нормированная собственная функция.Операторы Ĥl,r , фактически, описывают левую и правую потенциальную ямуисходного оператора Ĥ в отдельности. Несложно показать, что спектр оператораĤ вблизи E может быть получен с экспоненциальной точностью при объединении спектров операторов Ĥi , i = l, r. При таком объединении может возникнутьквазивырождение энергетических уровней, когда энергия El оказывается экспоненциально близка к энергии Er .

Если квазивырождения не происходит, то в качестве приближенной собственной функции оператора Ĥ можно взять функцию ψlили ψr . С другой стороны, в случае квазивырождения энергетических уровней вспектре оператора Ĥ присутствует пара экспоненциально близких точек спектра,а собственные функции приближенно имеют вид линейных комбинаций ψl и ψr .12Пусть ψ — нормированная собственная функция оператора Ĥ. Определим вероятности Pl,r (~) обнаружить частицу в левой и правой потенциальной яме, какинтегралы от квадрата модуля ψ(x) при x < c для левой ямы и при x > c дляправой ямы. Следовательно, в качестве величины, которая показывает, где сосредоточена волновая функция, можно взять, например, отношение вероятностиPr (~) к Pl (~).Будем говорить, что волновая функция ψ билокализована, если существуетчисло µ > 0 такое, чтоPr (~)= µ2 + O(~).Pl (~)Тогда обе вероятности Pl (~) и Pr (~) обнаружить частицу как в левой, так и вправой потенциальной яме существенно отличны от нуля и для них справедливыасимптотические формулы:1+ O(~),1 + µ2µ2Pr (~) = pr + O(~) =+ O(~).1 + µ2Pl (~) = pl + O(~) =(3)Определим величину δ(~):dψdψrl δ(~) = ~2 ψl− ψrdxdx .(4)x=cВеличина δ(~) является характерным масштабом экспоненциальной малости длятуннельных эффектов в двуямном потенциале.

Для высоких энергетических уровней получаем:√δ(~) = ~Zωl ωr1 xrexp −|p|dx [1 + O(~)],π~ xl(5)где ωi — частота классических колебаний в потенциальной яме Vi для энергии E.В диссертационной работе доказана следующая теорема, которая являетсякритерием резонансного туннелирования и устанавливает связь между расщеплением энергетических уровней ∆, двойной локализацией волновых функций ирасстоянием между El и Er .Теорема 2.1 (Критерий резонансного туннелирования).

Для фиксированного неотрицательного числа λ следующие три условия эквивалентны:131. Вблизи энергии E у оператора Ĥ существует билокализованная собственная функция, для которойpµ = 1 + λ2 ± λ.(6)2. Вблизи энергии E в спектре оператора Ĥ существует пара экспоненциально близких точек, расстояние между которыми задается асимптотической формулой:∆=p1 + λ2 δ(~) [1 + O(~)] .(7)3. Вблизи энергии E в спектре оператора Ĥi существует точка Ei (i = l, r)такая, что верна асимптотическая формула:|Er − El | = δ(~) [λ + O(~)] .(8)Данная теорема обобщает результаты, известные для случая симметричногопотенциала.

Очевидно, что в случае симметрии потенциала выполнены все триусловия теоремы при λ = 0. В этом случае из (5) и (7) получается асимптотическая формула Ландау-Лифшица (1):Z1 xrω~exp −∆=|p|dx [1 + O(~)] .π~ xlВ общем случае число λ, как и µ, количественно характеризует двойную локализацию волновых функций стационарных состояний.Следствие 2.1. Если выполнены условия теоремы 2.1, то для собственных значений E1,2 и соответствующих волновых функций ψ1,2 оператора Ĥ с экспоненциальной точностью при ~ → 0 справедливы следующие приближенные формулы:El + Er 1 p−(El − Er )2 + δ 2 ,22El + Er 1 p+(El − Er )2 + δ 2 ,E2 '22E1 'ψ1 ' cos(α)ψl + sin(α)ψr ,ψ2 ' − sin(α)ψl + cos(α)ψr ,14(9)(10)гдеEl − Ertg(α) =+δs1+El − Erδ2,(11)α ∈ (0, π/2).Следствие 2.2.

Для величины расщепления энергетических уровней справедлива формула:~∆=2πrZ1 xrωl ωrexp −|p|dx [1 + O(~)] .pl pr~ xl(12)Формула (12) позволяет определять характер локализации собственных функций по величине расщепления соответствующих энергетических уровней. Из (12)следует, что с ростом расщепления ∆ быстро исчезает двойная локализация собственных функций, то есть одна из вероятностей pl,r становится близка к 0. Приэтом минимальное расщепление ∆ = δ(~)[1 + O(~)] соответствует максимальнойбилокализации с pl = pr = 1/2.В разделе 2.2 диссертационной работы рассмотрена задача о резонансномтуннелировании для случая энергий, близких к невырожденному минимуму потенциала, а в разделе 2.3 проведено сравнение полученных формул для высокихи низких энергетических уровней.

Сформулируем основные результаты, полученные для нижних энергетических уровней.Теорема 2.1 справедлива и для случая нижних энергетических уровней, гденеобходимо только изменить величину δ(~) в соответствии с (4). Следует разделять случаи, когда оба локальных минимума потенциала V (x) соответствуютодной энергии и когда значения V (x) в локальных минимумах не совпадают.

Рассмотрим случай совпадения значений V (x) в точках локальных минимумов. Пустьξl,r – координаты двух невырожденных локальных минимумов гладкого двуямного потенциала V (x). Будем считать, чтоωi2 2V (ξi + x) = x (1 + O(x)), i = l, r.2(13)В диссертационной работе доказана следующая теорема.Теорема 2.3. Пусть n-ый энергетический уровень оператора Ĥl близок к m-омуэнергетическому уровню оператора Ĥr c точностью O(~2 ).

Тогда для величины15δ(~) справедлива формула: n+m√ √ ωl ωr2 2 n+1/2 m+1/2δ(~) = 2 ~ √JlJr×πn!m! ~Z1 ξr pexp −2V (x)dx [1 + O(~)] , (14)~ ξlгдеJl =Jr =√(dx(t − ξl ) exp ωlωl limt→ξl +0√cZpt(ωr limt→ξr −0Z(ξr − t) exp ωrct!)2V (x)dxp2V (x),(15)!).В разделе 2.4 диссертационной работы рассмотрена динамика частицы в двуямном потенциале при резонансном туннелировании.В диссертационной работе показано, что если частица в начальный моментвремени сосредоточена только в одной яме, для определенности в левой, и имеет место резонансное туннелирование, то максимальная вероятность обнаружитьчастицу в правой яме имеет вид:max Pr (t) =tPrmax=δ(~)∆2+ O(~).(16)Следовательно, Prmax может быть близка к единице, если ∆ ' δ(~). В этом случаечастица совершает туннельные колебания между ямами, практически полностьюпереходя из одной ямы в другую и обратно.В разделе 2.5 приведены конкретные примеры несимметричных двуямныхпотенциалов, для которых возникает резонансное туннелирование, и применениетеоремы 2.1 позволяет найти величину расщепления ∆ и вероятность Prmax .В разделе 2.6 приведено детальное описание эффекта туннельного захватасостояния.

Рассматривается специальный вид двуямного потенциала, который является суммой произвольной “физически заданной” ямы и прямоугольной “пробной” потенциальной ямы. Предположим, что потенциал физической ямы является финитной гладкой функцией, а параметры прямоугольной пробной ямы, такиекак глубина, ширина и положение, являются внешними варьируемыми параметрами.

Для определенности будем считать, что пробная яма расположена справаот физической ямы.16Рассматривается динамика состояния, локализованного в начальный моментвремени в левой потенциальной яме. Если параметры правой ямы выбраны случайно, то состояние останется все время локализованным в левой яме с экспоненциальной точностью по ~ → 0, но для ряда специальных (резонансных) значений параметров ситуация меняется: состояние туннелирует из физической ямыв пробную потенциальную яму, затем туннелирует обратно в физическую яму, итак далее. Эффект возникновения резонансного туннелирования при специальнойнастройке пробной ямы называют туннельным захватом состояния. Задача состоит в определении параметров пробной ямы, при которых происходит туннельныйзахват состояния.Пусть потенциал V является суммой двух отрицательных финитных функцийVl и Vr с непересекающимися носителями.

Физическая (левая) потенциальная ямаVl является гладкой функцией, Vl (x) ≡ 0, при x ≥ a, и для фиксированной энергииE < 0 потенциал Vl можно считать одноямным, а пробная потенциальная яма Vrявляется прямоугольной:Vr (x) =0x ≤ b, x ≥ b + w; −vb < x < b + w.Ширина w пробной потенциальной ямы является варьируемым параметром.Предположим, что начальное состояние Ψ0 локализовано в физической потенциальной яме и имеет энергию, близкую к отрицательному значению E. Дляопределенности, пусть Ψ0 совпадает со стационарным состоянием ψl , которое соответствует энергии El оператора Шредингера Ĥl с потенциалом Vl , то есть Ψ0является стационарным состоянием при выключенном пробном потенциале.Будем говорить, что происходит туннельный захват состояния, если вероятность Prmax не стремится к нулю при ~ → 0. В диссертационной работе доказанаследующая теорема.Теорема 2.5.

Пусть пробная потенциальная яма Vr находится достаточнодалеко от физической ямы:Zb−a>ap1 − Vl (x)/E dx,xl17(17)и ширина пробной потенциальной ямы w совпадает с одним из резонансныхзначений:"wk∗ = √π~1 1k + − arctan2 πv + Elv + 2Elp2 (−El )(v + El )!#,k = 0, 1, 2, . . .(18)Тогда состояние Ψ0 , локализованное в начальный момент в физической яме,совершает туннельные переходы между ямами, и максимальная вероятностьобнаружить состояние в пробной яме Prmax = 1 + O(~) при ~ → 0.Следовательно, если пробная яма настроена специальным образом, а именно,если ее ширина совпадает с wk∗ при некотором k, то пробная яма «захватывает»состояние с энергией El из исходной ямы.Таким образом, в диссертационной работе получены явные аналитическиеусловия возникновения туннельного захвата для рассматриваемого класса потенциалов.В разделе 2.7 рассматривается задача построения асимптотики возмущенияэнергетического уровня E0 оператора Шредингера Ĥ0 с одноямным потенциаломV (x) при добавлении к нему возмущающего потенциала f (x), который полностью сосредоточен вне области движения классической частицы.