Автореферат (Математическое обоснование расщепления спектра и билокализации состояний при координатном и импульсном туннелировании в одномерных квантовых системах), страница 2

Существует также ряд глубокихрезультатов о связи гладкости потенциала со скоростью убывания ширины лакунпри росте энергии. Например, известно, что ширина лакун экспоненциально убывает в случае аналитического потенциала10 .Цели диссертацииЦелью диссертационного исследования является построение математическогообоснования квазиклассического расщепления спектра и билокализации стационарных состояний при координатном и импульсном туннелировании для одномерного оператора Шредингера в случае потенциалов общего вида (не симметричных,не типа Матье).7B.

M. Brown, M. S. P. Eastham, K. M. Schmidt. Periodic differential operators. Operator Theory: Advances andApplications. Vol. 228. Springer, 2012. 216 c.8А. М. Дыхне. Квазиклассическая частица в одномерном периодическом потенциале // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1961. Т. 40. С.

1423–1426.9С. Г. Симонян. Асимптотика ширины лакун в спектре оператора Штурма-Лиувилля с периодическиманалитическим потенциалом // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. С. 1265–1272.10E. Trubowitz. The inverse problem for periodic potentials // Communications on Pure and Applied Mathematics.1977. Т. 30. №. 3. С. 321–337.6Научная новизнаВ настоящей диссертации представлен ряд существенно новых научных результатов в задачах о координатном и импульсном туннелировании для одномерного уравнения Шредингера в квазиклассическом приближении.Положения, выносимые на защиту:1.

В работе проведено исследование туннельного резонанса в несимметричномдвуямном потенциале, получен критерий билокализации состояний и найденаасимптотика величины туннельного расщепления энергий.2. Доказана формула связи двойной локализации волновых функций и величины туннельного расщепления энергий для оператора Шредингера с двуямным потенциалом. Найдено явное выражение амплитуды величины расщепления в случае высоких энергетических уровней и в случае энергий, близкихк невырожденным минимумам потенциала.3. Дано описание динамики состояния в двуямном потенциале при резонансном туннелировании и рассмотрены примеры резонансного туннелированияв несимметричных двуямных потенциалах.4. Рассмотрен эффект туннельного захвата состояния в случае, когда исходнаяпотенциальная яма является гладкой финитной функцией, а пробная потенциальная яма является прямоугольной.

Представлены явные аналитическиеформулы для резонансных значений ширины пробной потенциальной ямы.5. Доказано, что метод построения квазиклассического приближения для несимметричного потенциала, предложенный в работе Сонга, приводит к принципиально неверным результатам. Построен соответствующий контрпример.6. В задаче, возникающей при рассмотрении эффекта “блоха на слоне”, найдена асимптотическая формула для амплитуды туннельного расщепленияэнергий. Также получено обобщение описания данного эффекта на случайдеформаций несимметричного потенциала.77.

В общем случае туннелирования между симметричными траекториями в фазовом пространстве (динамическое туннелирование) предложен операторныйметод вычисления квазиклассической асимптотики величины туннельногорасщепления энергий. В качестве примера рассмотрена задача о координатном туннелировании в симметричном и несимметричном двуямном потенциале.8. Применяя предложенный операторный метод, для частицы на окружности вслучае произвольного достаточно гладкого потенциала получена новая асимптотическая формула для величины туннельного расщепления энергий, связанного с надбарьерным отражением.

В качестве примера применения этойформулы подробно рассмотрена задача о квантовом маятнике и показано,что в этом примере предложенная формула переходит в известную формулуДыхне-Симоняна.Достоверность полученных результатов обусловлена используемыми строгими математическими методами исследования. Все новые научные результаты вданной диссертационной работе строго доказаны.Методы исследованияВ диссертационной работе применялись следующие математические методы:1.

Методы функционального анализа и теории линейных операторов.2. Асимптотические методы и методы теории возмущений.3. Аналитические методы классического математического анализа и теории обыкновенных дифференциальных уравнений.Теоретическая и практическая значимостьМатематические методы, развитые в диссертационном исследовании, могутбыть использованы для анализа различных моделей в квантовой механике, включающих резонансное туннелирование. Подобные модели встречаются в различныхобластях современной физики, например, в задачах молекулярной спектроскопии,8моделях квантовых вычислений и в наноэлектронике.

Особый интерес представляют задачи, в которых присутствует внешний варьируемый параметр. Для таких задач критерий резонансного туннелирования, построенный в диссертационной работе, позволяет определить зависимость состояния системы при изменениивнешнего параметра, и, в том числе, определить значения внешнего параметра,при которых возникает туннельный резонанс. Новые асимптотические формулы,полученные для задачи о резонансном туннелировании в несимметричном двуямном потенциале, позволяют выявить связь величины расщепления энергий и видасоответствующих стационарных состояний, а также получить описание динамикисистемы вблизи точек туннельного резонанса.Апробация работыРезультаты диссертационной работы были представлены на следующих российских и международных научных конференциях и семинарах.1.

Ежегодная научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ и МИЭМ НИУ ВШЭ 2011 – 2015 годов.2. 2-я Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов и молодых ученыхпо тематическому направлению деятельности национальной нанотехнологической сети “Функциональные наноматериалы для космической техники”,МИЭМ, Москва, 2011.3. Международная конференция посвященная 110-ой годовщине И. Г. Петровского (XXIII совместное заседание ММО и семинара им. И. Г. Петровского),МГУ, Москва, 2011.4. Международная школа-семинар «Взаимодействие математики и физики: новые перспективы» для студентов, аспирантов и молодых исследователей, Математический институт Стеклова РАН, Москва, 2012.5. Семинар лаборатории “Математические методы естествознания”, НИУ ВШЭ,Москва, 2014.96.

Семинар профессора О. Г. Смолянова, мехмат МГУ, Москва, 2015.7. Семинар лаборатории “Механика природных катастроф”, Институт проблеммеханики РАН, Москва, 2015.ПубликацииОсновные результаты диссертации были получены соискателем лично и опубликованы в 3 работах соискателя, две из которых опубликованы в журналах, входящих в утверждённый ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий,в которых должны быть опубликованы результаты кандидатских диссертаций.Еще одна статья и один препринт, содержащие обсуждение и примеры применения основных результатов, были опубликованы соискателем совместно с научнымруководителем в изданиях, не входящих в упомянутый Перечень. Список публикаций приведён в конце настоящего реферата.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 110 наименований.

Объём диссертации 120 стр.Содержание работыВ главе 1 представлен детальный обзор литературы, изложены известныерезультаты и основные методы исследования, а также представлено описание открытых задач, решению которых посвящена настоящая диссертация.Одной из базовых моделей туннелирования является движение частицы в симметричном двуямном потенциале.

Хорошо известно, что в этом случае энергетические уровни, расположенные существенно ниже вершины потенциального барьера, являются квазивырожденными, и в спектре оператора Шредингера Ĥ возникают пары экспоненциально близких (при ~ → 0) собственных значений. Квазиклассическая формула для величины туннельного расщепления энергий имеет10вид11 :Z~ω1 p∆ = E2 − E1 =exp −2(V (x) − E)dx [1 + O(~)] .π~(1)Соответствующие волновые функции являются симметричными и антисимметричными, то есть локализованы сразу в двух потенциальных ямах.С физической точки зрения большой интерес представляет также случай несимметричного потенциала. Одной из основных задач, рассматриваемых в диссертационной работе, является построение и строгое обоснование асимптотики спектраи стационарных состояний оператора Шредингера Ĥ с несимметричным двуямным потенциалом, и определение условий, при которых эти состояния являютсябилокализованными.

Задача состоит в построении аналога формулы (1) для величины туннельного расщепления энергетических уровней при квазивырождении внесимметричном двуямном потенциале, а также в определении вида соответствующих стационарных состояний. В диссертационной работе рассмотрен случай высоких и низких (вблизи дна потенциальных ям) энергетических уровней.В главе 2 представлены новые научные результаты, полученные автором, взадаче о координатном туннелировании в несимметричном двуямном потенциале.Для задачи о резонансном туннелировании в несимметричном двуямном потенциале построено математически строгое описание спектра и стационарных состояний, доказан критерий двойной локализации стационарных состояний и полученаасимптотическая формула для туннельного расщепления энергетических уровней.Также в этой главе представлены новые научные результаты в задачах описанияэффектов «блоха на слоне» и туннельного захвата состояния.В разделе 2.1 рассматривается задача о резонансном туннелировании в несимметричном двуямном потенциале для высоких энергетических уровней.Рассмотрим спектр оператора Шредингера Ĥ вблизи некоторой фиксированной энергии E, для которой потенциал V (x) можно считать двуямным.