Автореферат (1137415), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Предполагается, что при добавлении возмущения потенциал остается одноямным. Очевидно,что возмущение спектра окажется экспоненциально малым при ~ → 0 даже длявозмущающей функции f порядка единицы, поскольку изменение потенциала вклассически запрещенной области оказывает влияние на спектр только за счеттуннельных эффектов. Задача состоит в получении главного члена асимптотикиэкспоненциально малого смещения энергетического уровня E0 .Для определенности, предположим, что suppf = [a, b] расположен справа отобласти классического движения в потенциальной яме V для энергии E0 .В диссертационной работе доказана следующая теорема.Теорема 2.6. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], f (a) = 0 и f (x)не меняет знак в некоторой окрестности точки x = a.
Тогда для энергии Eиз спектра оператора Ĥ = Ĥ0 + f (x) справедлива асимптотическая формула18при ~ → 0:E − E0 = hf ψ0 , ψ0 i [1 + o(1)] ,(19)где ψ0 — нормированная собственная функция исходного оператора Ĥ0 .Следствие 2.3. Справедлива оценка:2S + o(1),E − E0 = exp −~(20)где S — действие по инстантону от точки поворота до носителя функции f .Оценка (20) была получена ранее в знаменитой работе Иона-Лазинио12 припомощи вероятностных методов. Формула (19) позволяет не только получить известную оценку для показателя экспоненты (20), но и полностью вычислить главный член асимптотики величины возмущения энергии E0 .Как следует из теоремы 2.6, изменение потенциала в классически запрещенной области приводит к экспоненциально малому возмущению спектра.
Данныепоправки представляют интерес, если в исходной задаче присутствует экспоненциальное квазивырождение спектра, поскольку тогда малое возмущение энергийможет привести к существенному изменению стационарных состояний, а следовательно, и динамики системы. Простейшей подобной системой является двуямныйпотенциал.Эффект разрушения двойной локализации при деформации потенциального барьера симметричного двуямного потенциала называют эффектом “блоха наслоне” 13 . Известно, что при деформации одной стороны потенциального барьерарасщепление энергий возрастает и становится экспоненциально больше, чем расщепление в исходном симметричном двуямном потенциале. Для величины расщепления в деформированном двуямном потенциале справедлива оценка (20).Поскольку деформация одной стороны потенциального барьера влияет на однуиз потенциальных ям сильнее, чем на другую, то для нахождения величины расщепления в задаче “блоха на слоне” можно применить теорему 2.6.12G.
Jona-Lasinio, F. Martinelli, E. Scoppola New approach to the semiclassical limit of quantum mechanics //Communications in Mathematical Physics. 1981. Т. 80. №. 2. С. 223–254.13B. Simon Semiclassical analysis of low lying eigenvalues. IV. The flea on the elephant // Journal of functionalanalysis. 1985. Т.
63. №. 1. С. 123–136.19Используя результаты теорем 2.1 и 2.6, в диссертационной работе получена новая асимптотическая формула для величины расщепления энергий для эффекта“блоха на слоне”:∆ = hf ψi , ψi i [1 + o(1)] ,где i = l или r, если возмущение f (x) расположено ближе к левой или правой ямесоответственно.
Полученная формула позволяет вычислять главный член асимптотического разложения для экспоненциально малой величины расщепления, а нетолько известный ранее показатель экспоненты.Новые асимптотические формулы, полученные в диссертационной работе, дляэффекта “блоха на слоне” позволяют провести критический анализ предложенныхранее моделей описания резонансного туннелирования в несимметричном двуямном потенциале. Так, в разделе 2.8 показано, что метод, предложенный в работеСонга, приводит к неверным результатам, и построен соответствующий контрпример.В главе 3 настоящей диссертации предложен общий операторный метод вычисления туннельного расщепления в задачах динамического туннелирования ирассмотрена задача об импульсном туннелировании частицы на окружности.Основой предложенного метода является некоторая алгебраическая, коммутаторная формула, которая является операторным обобщением известной формулыХерринга:∆ = ~2 ψ1 (0)ψ20 (0)[1 + O(~)],применяемой в случае координатного туннелирования в симметричном двуямномпотенциале.Пусть E1 , E2 — пара точек дискретного спектра оператора Ĥ, а ψ1 и ψ2 —соответствующие собственные функции.
Пусть σ̂ — некоторый самосопряженныйоператор такой, что hσ̂ψ1 , ψ2 i =6 0. Тогда для величины расщепления ∆ = E2 − E1справедлива формула:∆=h[Ĥ, σ̂]ψ1 , ψ2 i,hσ̂ψ1 , ψ2 iгде [Ĥ, σ̂] — коммутатор операторов Ĥ и σ̂.20(21)Общая формула (21) при соответствующем выборе оператора σ̂ позволяет выразить величину расщепления ∆ через асимптотику волновых функций стационарных состояний ψ1 и ψ2 . Для получения явных асимптотических формул длявеличины расщепления в конкретных задачах необходимо также построить достаточно точные асимптотики состояний ψ1,2 в “туннельных” областях фазовогопространства.В разделе 3.1 показано, как, применяя предложенный метод, можно провестианализ туннелирования в симметричном и несимметричном двуямном потенциале(т.е. в задаче, рассмотренной ранее в главе 2 диссертации).Далее рассматривается совершенно другая ситуация, в которой эффективноработает формула (21), а именно надбарьерное отражение, или импульсное туннелирование квантовой частицы.
В качестве основной модели импульсного туннелирования рассматривается задача о малом расщеплении дискретного спектраоператора Шредингера Ĥ для частицы, движущейся по окружности в потенциальном поле V (x), если ее энергия существенно больше максимума потенциала.В разделах 3.2 и 3.3 изложены хорошо известные результаты об общей структуре спектра оператора Ĥ, а также о связи спектральной задачи для оператораШредингера на окружности и блоховского спектра оператора Шреденгера с периодическим потенциалом на прямой.В разделе 3.4 при помощи предложенного операторного метода полученановая асимптотическая формула для величины туннельного расщепления энергий в задаче о динамическом туннелировании частицы на окружности.
Доказанаследующая теорема.Теорема 3.3. Пусть E1,2 — пара близких с точностью O(~2 ) собственных значений оператора Ĥ, отвечающих роторному режиму. Пусть соответствующие собственные функции ψ1,2 выбраны действительными и нормированы так,чтоs Z x2ω1p(x)dx + O(~),cosψ1 (x) =p(x)~ x0s Z x2ω1ψ2 (x) =sinp(x)dx + O(~).p(x)~ x021(22)Тогда для расщепления энергий справедлива асимптотическая формула:Z 2π Z 2π1 + O(~)∆=(V (x2 ) − V (x1 )) ×(2π)200x2 − x1ctgψ1 (x1 )ψ2 (x2 )dx1 dx2 .
(23)2Полученная асимптотическая формула (23) применима как в случае аналитического потенциала, так и для потенциалов конечной гладкости.В разделе 3.5 рассмотрена старая модельная задача о квантовом маятникеV (x) = cos(x) и показано, что для этого примера из общей формулы для расщепления (23) следует известная формулу Дыхне-Симоняна.Основные результаты работыВ диссертационной работе проведен детальный анализ туннелирования в несимметричном двуямном потенциале. Доказаны необходимые и достаточные условиядвойной локализации волновых функций и найдена асимптотические формулыдля величины расщепления соответствующих энергетических уровней. Построенный критерий позволил установить существенную связь билокализации стационарных состояний и амплитуды величины туннельного расщепления соответствующих энергетических уровней.
В работе построены асимптотические формулы для величины расщепления в случае высоких энергетических уровней и дляэнергий, близких к невырожденному минимуму потенциала, а также представлено описание динамики частицы в случае резонансного туннелирования и приведен ряд примеров туннельного резонанса для несимметричных потенциалов.Критерий туннельного резонанса, доказанный в диссертационной работе, позволил получить явные аналитические условия возникновения эффекта туннельногозахвата состояния.Полученные результаты хорошо согласуются с известными результатами дляслучая симметричного потенциала и являются их нетривиальным обобщениемпри отсутствии симметрии.Применение строгих математических методов позволило обнаружить ряд существенных неточностей в существующих моделях туннелирования в несиммет22ричном двуямном потенциале.
В частности, в диссертации показано, что формулы, полученные в работе Сонга, дают неверный результат, и построен соответствующий контрпример.В диссертационной работе получены новые асимптотические формулы длярасщепления энергий в задаче «блоха на слоне». Доказанная формула позволяетлегко находить главный член асимптотического разложения величины экспоненциально малого смещения энергетических уровней при деформации потенциалав классически запрещенных областях.В работе также рассмотрена задача о расщеплении энергий при динамическомтуннелировании, когда резонансное туннелирование происходит между двумя периодическими траекториями классического движения в фазовом пространстве.Предложен общий операторный метод получения асимптотических формул длявеличины туннельного расщепления энергий, в качестве примеров рассмотренычастица в симметричном и несимметричном двухъямном потенциале и задача онадбарьерном отражении частицы, движущейся по окружности.Для частицы на окружности предложенный метод позволил получить общую,неизвестную ранее асимптотическую формулу для величины туннельного расщепления, применимую как в случае аналитического потенциала, так и для потенциала конечной гладкости.
В частности, с помощью этого общего метода данновый вывод хорошо известной асимптотической формулы для модельной задачио квантовом маятнике.Работы автора по теме диссертацииРаботы, опубликованные автором в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК:1. Выборный Е.В. Туннельное расщепление спектра и билокализация собственных функций в несимметричной двойной яме //Теоретическая и математическая физика. — 2014. — Т. 178. — №1. — С. 108–131. — 1,1 а.л.2. Выборный Е.В. Об энергетическом расщеплении при динамическом туннелировании //Теоретическая и математическая физика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
