Автореферат (Математическое обоснование расщепления спектра и билокализации состояний при координатном и импульсном туннелировании в одномерных квантовых системах)

На правах рукописиВыборный Евгений ВикторовичМатематическое обоснование расщепленияспектра и билокализации состояний прикоординатном и импульсном туннелировании водномерных квантовых системахСпециальность 01.01.03 — Математическая физика(физико-математические науки)АВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМосква — 2015Работа выполнена в федеральном государственном автономномобразовательном учреждении высшего профессионального образования«Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»Научный руководитель:Карасев Михаил Владимирович,доктор физико-математических наук, профессор.Официальные оппоненты:Смолянов Олег Георгиевич,докторфизико-математическихнаук,профессор,ФГБОУ ВО “Московский государственный университет имени М.

В. Ломоносова”, профессор кафедрытеории функций и функционального анализа механикоматематического факультета.Федотов Александр Александрович,докторфизико-математическихнаук,профессор,ФГБОУ ВО “Санкт-Петербургский государственныйуниверситет”, профессор кафедры высшей математикии математической физики физического факультета.Ведущая организация:ФГБУН“ИнститутпроблеммеханикиимениА. Ю. Ишлинского РАН”.Защита состоится 2 июня 2015 года в 16:00 на заседании диссертационного совета Д 212.048.17,созданного на базе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет«Высшая школа экономики», по адресу: 123458, Москва, ул. Таллинская, д. 34, зал заседанийученого совета (к.501).С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» по адресу: 101000, Москва, ул.

Мясницкая, д.20, и на сайтеhttp://www.hse.ru/sci/diss/.Автореферат разосланУченый секретарь диссертационногоШнурковсовета, к.ф.-м.н., доцентПетр Викторович2Общая характеристика работыАктуальность темы исследованияТуннельный эффект является одним из базовых квантово-механических эффектов и играет существенную роль в различных областях современной физики, втом числе в квантовой теории поля, спектроскопии молекул, а также в квантовойхимии и некоторых вопросах биологии.

Задача об аналитическом описании туннельных эффектов для различных квантово-механических моделей имеет богатуюисторию, которая берет свое начало с момента становления квантовой механики.Детальный обзор классических результатов и приложений изложен, например,в книгах Разави1 , Гольданского2 и др. Современный рост интереса к изучениюквантового туннелирования связан также с прогрессом в наноэлектронике, гдевозникает возможность использования квантовых эффектов для качественно новых технологий, например, туннелирование в управляемом двуямном потенциалечасто используется как модель построения кубитов.Одним из проявлений туннельного эффекта является проникновение квантовой частицы через потенциальный барьер, разделяющий две области классического движения в конфигурационном пространстве, — так называемое координатноетуннелирование.

Например, в симметричном двуямном потенциале туннелирование через потенциальный барьер приводит к малому расщеплению энергетических уровней и двойной локализации волновых функций стационарных состоянийквантовой частицы.Другим важным проявлением туннельного эффекта является надбарьерноеотражение квантовой частицы, которое также можно рассматривать как туннелирование через классически запрещенную область (барьер) в импульсном представлении.

Одним из проявлений импульсного туннелирования является малоерасщепление спектра оператора Шредингера квантовой частицы, движущейся впотенциальном поле по окружности в роторном режиме, то есть с энергией, превышающий максимум потенциала.12M. Razavy. Quantum Theory of Tunneling. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2003. 549 p.В. И.

Гольданский, Л. И. Трахтенберг, В. Н. Флёров. Туннельные явления в химической физике. М.: Нау-ка, 1986. 296 с.3Координатное и импульсное туннелирование являются частными случаями общего эффекта туннелирования между двумя траекториями в фазовом пространстве — так называемого динамического туннелирования. Динамическое туннелирование возникает в различных квантовомеханических моделях и активно изучается в последнее время.Поскольку точное аналитическое описание туннельных эффектов удается построить только в простых модельных случаях, для исследования данного кругазадач в случае общих потенциалов применяются асимптотические методы.В настоящей диссертационной работе туннельный эффект анализируется дляодномерного оператора Шредингера с действительным потенциалом:~2 d2Ĥ = −+ V (x),2 dx2в квазиклассическом приближении по малому параметру ~ > 0.

В качестве основных моделей рассматривается координатное туннелирование частицы в двуямномпотенциале на прямой (x ∈ R) и импульсное туннелирование частицы в потенциальном поле на окружности (x ∈ S).Степень разработанности научной проблемыЗадача о построении квазиклассической асимптотики для туннельных эффектов в одномерном симметричном двуямном потенциале является одной из базовых, хорошо изученных задач квантовой механики.

Фундаментальные результатыв задаче о туннельном расщеплении энергий для симметричного двуямного потенциала были получены в работах Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшица, С. Ю. Славянова,В. П. Маслова, С. Ю. Доброхотова, а также Д. М. Деннисона (D. M. Dennison),Е. М. Харрелла (E.

M. Harrell), К. Херринга (C. Herring), Б. Саймона (B. Simon) имногих других. В случае симметричного двуямного потенциала известны и строгодоказаны асимптотические формулы для расщепления высоких и нижних энергетических уровней, а также формула для туннельного расщепления энергии основного состояния в многомерном двуямном потенциале.С физической точки зрения большой интерес представляет также случай несимметричного потенциала. Тогда задача существенно усложняется, однако примеры,4рассмотренные численно, по-прежнему демонстрируют возможность возникновения резонансного туннелирования и малого расщепления соответствующего энергетического уровня при определенных настройках потенциала.Одной из основных задач диссертационной работы является построение и строгое обоснование асимптотики спектра и стационарных состояний оператора Шредингера Ĥ с несимметричным двуямным потенциалом и определение условий возникновения туннельного резонанса в этом случае.Некоторые строго обоснованные результаты о величине расщепления были получены в работах Саймона3 , Хелффера4 и Шестранда5 .

С другой стороны, важный вопрос об асимптотике соответствующих стационарных состояний оставалсяоткрытым. Подробное изложение известных результатов и открытых проблем вслучае несимметричного двуямного потенциала приведено в главе 1 диссертации.Заметим, что при рассмотрении туннелирования в несимметричном двуямном потенциале особую важность приобретает строгое обоснование полученныхрезультатов, поскольку некоторые работы, опубликованные ранее в физическойлитературе, содержат противоречивые выводы. Например, в работе Сонга6 были предложены необходимые и достаточные условия возникновения резонансноготуннелирования, и построены квазиклассические формулы для соответствующихэнергетических уровней и стационарных состояний, но эта работа не согласуется срезультатами, представленными и строго доказанными ранее в работах Хелффераи Шестранда.

В диссертации показано, что работа Сонга содержит существенныеошибки, которые приводят к неверному результату.В задаче о квантовой частице на окружности в роторном режиме также возникает малое расщепление энергетических уровней дискретного спектра оператораĤ, связанное с импульсным туннелированием от состояния, отвечающего дви3B. Simon. Semiclassical analysis of low lying eigenvalues. II: Tunneling // Annals of mathematics. 1984.

Т. 120.№. 1. С. 89–118.4B. Helffer. Semi-classical analysis for the Schrödinger operator and applications. Lecture notes in mathematics,vol. 1336. Berlin: Springer, 1988.110 c.5B. Helffer, J. Sjöstrand. Puits multiples en limite semi-classique. II: Interaction moléculaire. Symétries.Perturbation // Annales de l’institut Henri Poincaré (A) Physique théorique.

1985. Т. 42. №. 2. С. 127–212.6D. Y. Song Tunneling and energy splitting in an asymmetric double-well potential // Annals of Physics. 2008. Т.323. №. 12. С. 2991–2999.5жению частицы по окружности в одном направлении, в состояние, отвечающеедвижению в противоположном направлении. Задача о вычислении туннельногорасщепления эквивалентна известной задаче о вычислении ширины лакун — промежутков между зонами в блоховском спектре оператора Шредингера на прямойс периодическим потенциалом. Данная задача является одной из классических задач математической физики, современное состояние вопроса изложено, например,в книге Брауна7 .В этой задаче асимптотические формулы для величины расщепления известны для ряда частных случаев.

Базовым примером является квантовый маятникV (x) = cos(x), тогда соответствующее уравнение Шредингера эквивалентно уравнению Матье. В более общем случае, когда потенциал аналитический и топологиялиний Стокса имеет вид, как при V (x) = cos(x), асимптотика ширины лакун былапостроена в работе Дыхне8 , полное строгое доказательство и разбор еще нескольких случаев представлен в работе Симоняна9 .