Автореферат (Оценка ковариационной матрицы для случая временных рядов различной частотности и приложения для моделей финансовых рынков)

На правах рукописиПанов Евгений ВалерьевичОЦЕНКА КОВАРИАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ ВРЕМЕННЫХРЯДОВ РАЗЛИЧНОЙ ЧАСТОТНОСТИ И ПРИЛОЖЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛЕЙФИНАНСОВЫХ РЫНКОВCпециальность 08.00.13 – «Математические и инструментальные методыэкономики»АВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2010Работа выполнена в Государственном университете – Высшей школе экономикиНаучный руководитель:доктор физико-математических наук, профессор,Шведов Алексей СергеевичОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наукЗавриев Сергей Константиновичкандидат физико-математических наукКатышев Павел КонстантиновичВедущая организация:Учреждение Российской академии наукВычислительный центр им.

А.А. Дородницына РАНЗащитасостоится«22»марта2010г.в10.00часовназаседаниидиссертационного совета Д 002.013.02 Учреждения Российской академии наукЦентрального экономико-математического института РАН по адресу: 117418,г. Москва, Нахимовский проспект, д. 47, ауд. 520.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЦЭМИ РАН.Автореферат разослан «» ________ 2010 г.Ученый секретарь диссертационного советакандидат физико-математических наукС.В. Борисова2I. Общая характеристика работыАктуальность темы. Исследователи часто встречаются с необходимостьюработатьсвременнымирядамиразличнойчастотности.Кпримеру,смакроэкономическими данными и данными с финансовых рынков.

Одним извозможных подходов при построении эконометрических моделей в этом случаеявляется прореживание более частых временных рядов. Но это приводит к потерезначительной части информации, поскольку остающиеся после прореживаниянаблюдения в некотором смысле не будут передавать тип поведения наблюдаемыхвеличин. Поэтому при работе с данными различной частотности актуальным являетсявопрос, нельзя ли построить оценки параметров эконометрических моделей такимобразом, чтобы не терять информацию, т.е.

каким-нибудь образом обойтись безпрореживания. Это, к примеру, возможно для случая линейной регрессии (см. [Ghysels,Santa-Clara, Valkanov, 2002] 1 и [Ghysels, Sinko, Valkanov, 2007] 2 ) или для оценкипараметров GARCH-процесса с некоторым изменением спецификации (см. [Ghysels,Jasiak, 1997]3).Такая ситуация показана на Рис. 1 для двух величин (условно обозначенных Z1 иZ2), наблюдаемых в различные (нерегулярные) моменты времени. Прикладные задачи,требующие оценок, основанных на данных различной частотности, являютсяпримерамизадач,вкоторыхданныемогутбытьсмоделированыкакпоследовательность случайных векторов, не все компоненты которых известны во всемоменты времени.Рис.

1. Пример величин, зависящих от времени и наблюдаемых с различной частотностью1Ghysels, E., Jasiak, J. GARCH for Irregularly Spaced Financial Data: The ACD-GARCHModel // Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics. 1997. Vol. 2 (4).2Ghysels, E., Sinko, A., Valkanov, R. MIDAS Regression: Further Results and NewDirections // Econometric Reviews. 2007. Vol. 26 (1.1). PP. 53-90.3Ghysels, E., Jasiak, J.

GARCH for Irregularly Spaced Financial Data: The ACD-GARCHModel // Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics. 1997. Vol. 2 (4).3Использование данных различных частотностей сопряжено с определённымитрудностями. Дело в том, что многие оценки из области анализа временных рядов длятакого рода данных не предназначены. В недавнее время в этом направлении былополученонесколькорезультатов.Кпримеру,такбылиобобщеныоценкикоэффициентов линейной регрессии или оценки параметров GARCH-процесса снекоторым изменением спецификации.Вопросам оценивания асимптотических ковариационных матриц посвященобольшое число научных работ в области эконометрики и спектрального анализа.Классическими трудами, описывающими подходы к решению данной проблемы,являются работы М.

Пристли, М. Бартлетта, У. Ньюи, К. Веста, Д. Эндрюса, П.Филлипса, У. Ден Хаана, А. Левина, Х. Уайта, Э. Парзена, П. Даниэлла и др. Ссовременными подходами к оцениванию некоторых параметров в случае временныхрядов различной частотности можно ознакомиться в работах Э. Гайселса, Р. Валканова,А. Синько и др.В данной работе получено обобщение оценки асимптотической ковариационнойматрицы на случай временных рядов различной частотности. Такая оценкаавтоматически может обобщить на этот случай и методику оценки коэффициента«бета» для российских акций «второго эшелона РТС», и оценки коинтеграционноговектора, и метод главных компонент, и многие оценки из области многофакторногостатистического анализа (см. обзор в [Айвазян, Мхитарян, 1998; стр. 546-564] 4 ).

Втретьей главе работы описана методика оценки коэффициента «бета» – мерысистематического риска, актуальной для российских акций «второго эшелона РТС».Основные цели работы. Целями исследования являлись: обобщение оценкиасимптотической ковариационной матрицы на случай временных рядов различнойчастотности; а также, как один из примеров её применения, оценивание коэффициента«бета» для российских акций «второго эшелона РТС», сделки по которым происходятнерегулярно – зачастую реже одного раза в день.Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:1. получение формулы для обобщенной оценки асимптотической ковариационнойматрицы Ньюи и Веста на случай временных рядов различной частотности;2.

доказательство теорем о том, что полученная оценка обладает всеми свойствамиоценки Ньюи и Веста (положительная полуопределённость и состоятельность);4Айвазян, С.А., Мхитарян, В.С.: Прикладная статистика и основы эконометрики. М.:Юнита, 199843. вывод формулы «усечённого» спектрального ядра для данной оценки, котороебы существенно облегчило расчёты, обобщая т.н. квадратическое спектральноеядро, признанное наиболее эффективным в своём классе;4. доказательство свойств предложенного «усечённого» ядра (сходимости кквадратичномуспектральномуядруигарантииположительнойполуопределённости);5. численное исследование свойств предложенной оценки и предложенного ядра;6. создание прототипа методики оценки коэффициента «бета» для акций «второгоэшелона РТС».Научная новизна исследования заключается в разработке новых методовоценок для временных рядов различной частотности.

Главный результат работы – этообобщение оценки, определённой лишь для временных рядов одинаковой частотности,на случай рядов различной частотности и теоремы о сохранении всех её свойств. Ещёодин результат, полученный в работе, – это спектральное ядро для оценокковариационной матрицы, которое одновременно является «усечённым» (не зависит отавтоковариаций высоких порядков), положительно полуопределённым и сходящимся кнаиболее «точному» ядру из данного класса.

Такого сочетания свойств не имеет ниодно другое известное автору спектральное ядро. Более того, в численномисследовании на коротких выборках данное ядро давало более точные результаты, чемквадратическое спектральное. Как следствие, в работе показано, как на основеполученной матрицы обобщить оценку коинтеграционного вектора и некоторых другихпараметров для случая временных рядов различной частотности. В-третьих, в даннойработе впервые такие оценки численно сравниваются в случае временных рядовразличной частотности. И, наконец, предложенная методика оценивания коэффициента«бета» для акций, торгуемых не каждый день, тоже вносит вклад в научную новизнуработы.Все основные результаты получены автором лично и являются новыми (заисключением доказательства одной из теорем об укорочении набора весов,полученного в соавторстве с научным руководителем А.С.

Шведовым).Методы исследования. При проведении исследования использовались методыматематическойстатистики,теориивероятностей,стохастическихпроцессов,спектрального анализа, эконометрики, анализа временных рядов, эмпирическихфинансов, оценки ценных бумаг и портфельной теории.Теоретическая и практическая значимость результатов исследования.Теоретическая значимость результатов состоит главным образом в том, чтополученная оценка обладает всеми преимуществами оценок с укороченными ядрами и5оценок с квадратическими спектральными ядрами, но не наследует многих ихнедостатков.А именно, преимуществом оценок с укороченными ядрами являетсялёгкость вычисления и независимость от выборочных автоковариаций высокогопорядка, а недостатком – низкая скорость сходимости.

Преимуществом квадратическихспектральных оценок является большая скорость сходимости, а недостатками – либоотсутствие гарантий положительной полуопределённости, либо сложность вычисленияи зависимость от выборочных автоковариаций высокого порядка. Полученная оценка,единственнаяизизвестныхавтору,обладаетодновременновсемиэтимипреимуществами, но ни одним из этих недостатков.Также построенные оценки асимптотической ковариационной матрицы могутбыть использованы не только для оценивания коэффициента «бета» на основе рядовразличной частотности, но и для оценивания коинтеграционных векторов и обобщенияметода главных компонент на данный случай.С точки зрения практической значимости, одно из приложений заключается втом, что с данной оценкой открывается возможность оценивать все параметры,необходимые для измерения риска в системах RiskMetrics или MSCI Barra даже в техслучаях, когда торги по рассматриваемым инструментам происходят с различной инерегулярной частотностью.Последнее особенно важно для управления рисками на предприятиях,занимающихся посреднической деятельностью в области не самых ликвидных ценныхбумаг, таких как акции «второго эшелона РТС» или свопы на отказ от кредитныхобязательств (более известные как CDS).

В периоды финансовых кризисов,характеризующиеся высокой волатильностью, возможность измерять риски ихеджировать их может определить дальнейшую судьбу такого предприятия. В разделе3.2 также описано, каким образом результаты диссертации могут быть применены длярасчёта резервов.Апробациярезультатовисследования.Основныенаучныерезультатыдиссертационной работы обсуждались на ежегодной конференции МеждународногоИнститута Прогнозирования (ISF) в 2007 году (Нью Йорк), а также на семинарахкафедры эконометрики и математической экономики ГУ-ВШЭ.Публикации.

По теме диссертации опубликовано 4 научные работы (в томчисле 3 основные работы) общим объемом 4,4 п.л. (личный вклад автора 3.9 п.л.). Двеработы опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав,приложения, списка литературы из 87 наименований, 15 таблиц, 12 графиков и 3рисунков.6II. Основные положения диссертацииВо введении обосновываются актуальность, цели и структура диссертации пооцениванию асимптотической ковариационной матрицы и её приложениям.Впервойглавеработырассмотренклассоценокасимптотическойковариационной матрицы многомерного случайного процесса с дискретным временем,при построении которых используется идея, заключающаяся в том, что эту матрицу внекотором частном случае можно выразить через ковариационную функциюслучайного процесса.Получены два различных теоретических результата. Сначала в разделах 1.1-1.3предлагается обобщение такого класса оценок на случай временных рядов различнойчастотности (мы используем термин «обобщение», поскольку речь идёт о расширениисуществующего класса оценок).