Автореферат (Автоморфизмы алгебраических многообразий и минимальные модели), страница 3

Список публика­ций приведён в конце автореферата.8Структура и объём диссертацииДиссертация состоит из пяти глав, разбитых на параграфы. В концеприводится список литературы, состоящий из 75 наименований. Общий объёмдиссертации — 82 страницы.Краткое содержание работы— введение. В ней формулируется основная задача, изу­чаемая в диссертации, обсуждается история вопроса, даётся общий обзор ходадоказательства, обозначаются дальнейшие направления применения получен­ных результатов, вводятся используемые обозначения.Вторая глава содержит предварительные сведения, используемые придоказательстве результатов.В третьей главе исследуются трёхмерные расслоения на коники.Основным результатом параграфа 3.1 является следующая теорема, яв­ляющаяся обобщением теоремы Саркисова22 на случай трёхмерных расслое­ний над произвольным полем характеристики 0 с действием конечной груп­пы:Первая главаПусть k – произвольное поле характеристики нуль.

Пусть –геометрически неприводимое трёхмерное алгебраическое многообразие надk, и пусть : 99K – доминантное рациональное отображение с об­щим слоем, являющимся рациональной кривой над полем k( ). Предполо­жим, что конечная группа действует на и бирациональными авто­морфизмами так, что отображение является эквивариантным.

Тогда у существует стандартная модель, то есть существует коммутативнаядиаграмма/ ′Теорема./′′где ′ и ′ – неособые проективные многообразия с действием группы ,отображения 99K ′ и 99K ′ бирациональны, ′ – расслоение Мори на22В.Г. Саркисов, “О структурах расслоений на коники”,371–4089Изв. АН СССР.

Сер. матем.,46:2(1982),рациональные кривые, а все отображения -эквивариантны.Схема доказательства состоит в следующем. Применив эквивариантнуюкомпактификацию, эквивариантное разрешение особенностей и эквивариант­ную относительную программу минимальных моделей, можно считать, что → является -расслоением Мори. Далее мы доказываем следующуюлемму:Пусть → – -расслоение Мори с двумерной базой. Пусть – особая -точка поверхности . Тогда существует эквивалентное ему-расслоение на рациональные кривые ′ → ′ , являющееся -расслоениемМори, причём отображение ′ → является крепантным частичным раз­решением особенности в -точке , а отображение 99K ′ являетсяэлементарным преобразованием Саркисова.Лемма.Для доказательства леммы очень важна следующая теорема23 , доказан­ная Ю. Г. Прохоровым и Ш.

Мори:Пусть : → – трёхмерное расслоение Мори над алгебраи­чески замкнутым полем характеристики нулю с двумерной базой. Тогда может иметь только дювалевские особенности типа А.Теорема.Доказательство основано на построении некоторого линка Саркисова,которое бирационально преобразует исходное расслоение Мори в другое рас­слоение Мори на коники, причём база второго расслоения на коники есте­ственным образом отображается в базу первого, и это отображение имеетединственный -неприводимый исключительный дивизор. Поскольку обе ба­зы являются поверхностями с дювалевскими особенностями, можно приме­нить теорему о классификации морфизмов между поверхностями с дюва­левскими особенностями24 , согласно которой это отображение является либовзвешенным раздутием гладкой точки, либо частичным крепантным разре­шением особенностей.

Первая возможность исключена по построению линка.Таким образом, применив этот линк несколько раз, мы придем к расслоениюМори с неособой базой.Publ. RIMS, 44 (2008), 315–36923S. Mori, Yu. Prokhorov, “On24D. Morrison, “The birational geometry of surfaces with rational double points”,Q-conicbundles”,133–17610Math. Ann.,116(1986),Можно считать, что дивизор вырождения полученного расслоения наконики является приведенным дивизором с простыми нормальными пересе­чениями.

Несложно проверить, полученное расслоение на коники в этом слу­чае является вложенным с проективизацию линейного расслоения ранга 3 набазе. В этом случае верна следующая лемма:Пусть ℎ : → – вложенное расслоение на коники, причёмповерхность неособа (но не обязательно проективна), а дивизор вырож­дения Γ этого расслоения приведён и имеет только простые нормальныепересечения.

Тогда все особые точки обыкновенные двойные. Более того,̃︁ → – раздутие максимальных идеалов особых точек, то ̃︁если : неособо, а антиканонический дивизор −̃︁ относительно численно эффек­тивен и объёмен.Лемма.Используя эту лемму, мы строим линки Саркисова, которые устраняютособенности расслоения, являющиеся обыкновенными двойными точками:Пусть ℎ : → – вложенное расслоение на коники, причёмповерхность неособа (но не обязательно проективна), дивизор вырожде­ния Γ этого расслоения приведён и состоит из двух гладких неприводимыхкомпонент, пересекающихся трансверсально в одной точке , а особов точке . Тогда существует и единственна следующая коммутативнаядиаграмма, задающая элементарное преобразование Саркисова:Лемма.õ︁ℎ/̂︁̂︀ℎô︀̃︁ → – раздутие точки , морфизм ̂︀ → – раздутиегде морфизм ̃︁ 99K ̂︁ – изоморфизм в коразмерности 1, а ̂︁ →точки , отображение ̂︀ – стандартное расслоение на коники.Применив эту лемму несколько раз, мы получим искомое стандарт­ное расслоение.

Четвёртая глава посвящена исследованию трёхмерных-многообразий дель Пеццо степени 4. Основным результатом главы явля­ется следующая теорема:Пусть – -многообразие дель Пеццо степени 4. Предположим,что не является -бирационально эквивалентным P3 и квадрике в P4 сТеорема.11регулярным действием группы , а также не является группой рассло­енного типа. Тогда является одним из следующих многообразий:1. пересечение двух квадрик в P5 с шестью обыкновенными двойнымиточками.

Такое многообразие единственно, а его полная группа авто­морфизмов изоморфна(C* o C2 )3 o S3 ;2. неособое пересечение двух квадрик. В этом случае возможны следую­щие варианты:(i) Aut() ≃ C52 o C5 ;(ii) Aut() ≃ C52 o D12 ;(iii) Aut() ≃ C52 o D6 ;(iv) группа Aut() вкладывается в точную последовательность0 → C52 → Aut() → S4 → 0.В случаях (2 i), (2 ii) и (2 iv) многообразие единственно с точно­стью до изоморфизма. В случае (2 iii) такие многообразия образуютоднопараметрическое семейство.Доказательство теоремы основано на следующем.

Хорошо известно, чтомногообразие дель Пеццо степени 4 чвляется пересечением двух неособыхквадрик. Любому такому пересечению можно сопоставить некоторый комби­наторный инвариант, называемый символом Сегре25 . Он представляет из себяконечный набор точек из P1 , каждой из которых приписывается набор нату­ральных чисел.

Известно, что пучки квадрик изоморфны в том и только томслучае, когда существует автоморфизм P1 , переводящий символ Сегре одно­го пучка квадрик в символ Сегре другого пучка. Таким образом, символ Се­гре однозначно задаёт само многообразие. Используя символ Сегре несложноописать все особенности многообразия и его группу автоморфизмов. Такимобразом, перебирая все возможные символы Сегре трехмерных пересеченийдвух квадрик, можно в каждом случае явно указать Aut()-инвариантныеперестройки, за исключением двух случаев: гладкого пересечения двух квад­рик и пересечения двух квадрик с 6 обыкновенными двойными точками.Кроме этого, мы доказываем следующую теорему:25W.V.D.

Hodge, D. Pedoe, “Methods of Algebraic Geometry, Vol. II”,12Cambridge Univ. Press, 1952Пусть – гладкое пересечение двух квадрик в P5 с группой ав­томорфизмов Aut() ≃ C52 o C5 . Пусть ≃ C42 o C5 – подгруппа Aut().Тогда является -бирационально жёстким.Теорема.Доказательство проводится классическими методами, путем последова­тельного исключения всех возможных неканонических центров. Пятая гла­ва посвящена исследованию трёхмерных рациональных -многообразий дельПеццо степени 3. Основным результатом главы является следующая теорема:Пусть = 3 ⊂ P4 – кубическая гиперповерхность, являющеесярациональным -многообразием Фано. Предположим, не линеаризуема ине является группой расслоенного типа. Тогда все особенности являютсяобыкновенными двойными точками, а описывается следующей таблицей:Теорема.type1 type2 () () Aut() J15 31∘610S6A5 , S5 (подгруппы S6 фиксирую­щие координату ), A6 , Aut()Aut() ≃ S6 действует перестановкой координат 0 , ..., 5 (см.

J15 ниже)J14 30∘59S23 oC2 S23 (подгруппа Aut(), действую­щая транзитивно на множестве ко­ординат), C23 o C4 , Aut()Aut() ⊂ S6 действует перестановкой координат 0 , ..., 5 (см. J14 ниже)J9a 28∘26S5Aut()J9b 28∘26S23 oC2 S23 (единственная подгруппа, дей­ствующая транзитивно на Sing()),C23 o C4 , Aut()J5a 27∘15S5C5 o C4 , A5 , Aut()∘J5b 2715A5Aut()где type1 – тип многообразия в терминологии работы26 , type2 – тип мно­гообразия в терминологии работы27 , () – ранг группы классов дивизоровCl(), () – количество особенностей многообразия . Уравнения, зада­ющие , в этих случаях имеют следующий вид:26H. Finkelnberg, J. Werner, “Small resolutions of nodal cubic threefold”,185–19627Yu.

Prokhorov, “G-Fano threefolds, I”,Adv. Geom., 13:3 (2013), 389–41813Ind. Math (Proc.),92:2(1989),J15:{︂5∑︀ ==05∑︀}︂3 = 0 ⊂ P5 , т.е. – кубика Сегре;=0J14: {0 1 2 − 3 4 5 =5∑︀ = 0} ⊂ P5 ;=0J9a:4∑︀ 1+ 2+ −=04∑︀ 1+ 3+ = 0 (мы рассматриваем индексы по моду­=0лю 5);J9b: 0 1 2 − 0 1 3 + 0 1 4 + 0 2 3 − 30 2 4 + 0 3 4 − 1 2 3 + 1 2 4 −1 3 4 + 2 3 4 = 0;J5a: = 0;∑︀0≤<<≤4J5b:4∑︀ 1+ 2+ − =04∑︀ 1+ 3+ = 0, где – примитивный корень тре­=0тьей степени из 1 (оба корня дают изоморфные многообразия; мы рас­сматриваем индексы по модулю 5).Для доказательства важна следующая простая лемма.1. Многообразие не имеет неподвижных особых точек и ин­вариантных прямых относительно действия группы .Лемма.2. Не существует -инвариантных плоскостей в P4 .Следствие.-орбита особой точки многообразия имеет мощность неменьше 5.В случае, если мощность -орбиты особой точки не превосходит 3, мож­но напрямую применить предыдущую лемму.

В случае орбиты из 4 немложнопоказать, используя классификацию особых кубических поверхностей28 , чтолибо эти 4 особые точки лежат на одной плоскости, либо соотвтствующеегиперплоское сечение является кубической поверхностью, группа автомор­физмов которой имеет инвариантную плоскость в P3 . В обоих случаях мож­но применить предыдущую лемму. Два следующих утверждения позволяютограничить возможные варианты количества и взаимного расположения осо­бых точек многообразия :28J.W. Bruce, C.T.C.