Автореферат (Автоморфизмы алгебраических многообразий и минимальные модели), страница 2

Bertini, “Ricerche sulle trasforormazioni univoche involutorie nel piano”,Annali di Mat. Pura Appl. (2),(1877), 254–28711I. Dolgachev, V. Iskovskikh, “Finite subgroups of the plane Cremona group”,geometry: in honour of Yu.I. Manin. Vol I, Progr. Math., 269 (2009), 443–5483In Algebra, arithmetic andгиваний (−1)-кривых, мы получим -многообразие, которое является ли­бо -расслоением на рациональные кривые над P1 с rk Cl() = 2, либо-минимальной поверхностью дель Пеццо. Классифицировав все возможныеминимальные группы для расслоений на коники и для поверхностей дельПеццо, Долгачёв и Исковских получили полную классификацию конечныхподгрупп в Cr2 (C) (по модулю некоторых серий). Но довольно часто получен­ные подгруппы являются сопряжёнными в Cr2 (C), поэтому их естественноотождествить. Несложно видеть, что -многообразия 1 и 2 дают сопря­жённые подгруппы в том и только том случае, когда есть -эквивариантноебирациональное отображение 1 99K 2 .

Поэтому кроме классификации всехрациональных -расслоений Мори необходимо исследовать также и бираци­ональные отображения между различными расслоениями. Есть некоторыечастные результаты также для групп Кремоны ранга 2 над полями, отлич­ными от C.Новый взгляд на бирациональную классификацию алгебраических мно­гообразий появился с развитием программы минимальных моделей. Она яв­ляется естественным обобщением процедуры приведения поверхности к ми­нимальной форме путём стягивания (−1)-кривых на многообразия старшихразмерностей. Она состоит в следующем: любое неособое проективное много­образие с помощью определённых бирациональных преобразований, а имен­но дивизориальных стягиваний и флипов, можно привести к многообразиюодного из следующих типов: либо полученное многообразие имеет численноэффективный антиканонический класс, либо оно допускает структуру рас­слоения Мори12 .Проективное (-)многообразие с (эквивариантным) мор­физмом : → называется (-)расслоением Мори, если его особенностине более чем терминальные Q-факториальные (соотв., Q-факториальные,т.е.

любой -инвариантный дивизор Вейля является дивизором Q-Картье),* = , dim > dim , относительное число Пикара (/ ) равно 1(соотв., (/ ) = 1) и антиканонический класс − является -обильным.Определение.Программа минимальных моделей полностью обоснована для трёхмер­ных многообразий над полями характеристики нуль13 , а также для некоторыхUniversitext, Springer-Verlag, 2002Cambridge Tracts in Math., 134, 199812K. Matsuki, “Introduction to Mori program”,13J.

Kollar, S. Mori, “Birational geometry of algebraic varieties”,4классов многообразий в старших размерностях, например, для рациональносвязных многообразий14 . В данной ситуации имеется также эквивариантная(например, относительно конечной группы или группы Галуа) и относитель­ная (над произвольным многообразием) программа минимальных моделей.В настоящий момент в обосновании программы минимальных моделей оста­ются открытые вопросы в случае многообразий размерности выше 4 и про­межуточной кодаировой размерности, а также для многообразий над поля­ми положительной характеристики.

В виду того, что любое многообразие (и-многообразие) можно компактифицировать и разрешить особенности, про­грамма минимальных моделей даёт первый шаг к полной бирациональнойклассификации многообразий. Таким образом, классификация -расслоенийМори является важной задачей для бирациональной классификации много­образий. Среди них выделяется класс многообразий Фано.Нормальное проективное -многообразие называет­ся Q-многообразием Фано, если его отображение в точку является-расслоением Мори. Если при этом канонический дивизор является ди­визором Картье, то называется -многообразием Фано.Определение.Классификация (особых) многообразий Фано тривиальна в случае кри­вых: только P1 является одномерным многообразием Фано.

В случае поверх­ностей классификация устроена несколько сложнее, но тоже обозримо. Неосо­бые многообразия Фано размерности 2 называются поверхностями дель Пец­цо и полностью классифицированы: все они являются либо раздутиями P2в не более чем восьми точках в общем положении, либо P1 × P1 . Посколькув двумерном случае программа минимальных моделей не выводит из классанеособых многообразий, то с её точки зрения этой классификации достаточ­но.В трёхмерном случае уже классификация неособых многообразий Фа­но является крайне нетривиальной, даже для случая Pic() = Z15 . Однако,этого недостаточно для нужд программы минимальных моделей, поскольку втрёхмерном случае минимальным классом многообразий, в котором работаетпрограмма, являются многообразия с не более чем терминальными особенно­14C.

Birkar, P. Cascini, C.D. Hacon, J. McKernan, “Existence of minimal models for varieties of log generaltype”,15J. Am. Math. Soc., 23:2 (2010), 405–468V. Iskovskikh, Yu. Prokhorov, “Fano varieties, Algebraic geometry V”,Berlin, 19995Encyclopaedia Math.

Sci.,, Springer,стями. Классификация особых многообразий Фано проводится отдельно длягоренштейновых и негоренштейновых многообразий различными методами.В случае горенштейновых многообразий с терминальными особенностями из­вестно, например, что они обладают сглаживанием16 , в частности, они име­ют те же когомологические инварианты, что и неособые многообразия. Вслучае негоренштейновых многообразий наиболее важным результатом яв­ляется ограниченность трёхмерных многообразий Q-Фано с каноническимиособенностями17 . Имеются отдельные результаты в зависимости от индексаФано многообразия. Имеются частичные результаты по классификации го­ренштейновых -многообразий Фано.Так же, как и в двумерном случае, изучение Q-расслоений Мори по­могает в задаче классификации конечных подгрупп в Cr (k). Эта программабыла реализована в некоторых частных случаях для группы Кремоны ранга 3над полем C: например, классифицированы простые неабелевы подгруппы18 ,2-элементарные19 и -элементарные подгруппы20 .Таким образом, классификация рациональных -расслоений Мори яв­ляется важной задачей с разных точек зрения.Большая часть диссертации посвящена классификации конечных группавтоморфизмов трёхмерных многообразий дель Пеццо, изучению их мини­мальности и бирациональной жёсткости.Трёхмерное многообразие называется многообразием дельПеццо, если оно имеет не более чем терминальные горенштейновы особен­ности, а его антиканонический класс − является обильным дивизоромКартье и делится на 2 в группе Пикара.

Если – такая конечная подгруппаAut(), что () = 1, то будем говорить, что -минимально, а группу в этом случае будем называть минимальной.Определение.Частично трёхмерные Q-многообразия дель Пеццо были классифици­рованы Ю. Прохоровым21 в терминах структуры группы классов дивизоров16Y. Namikawa, “Smoothing Fano 3-folds”,17Y. Kawamata, “Boundness ofQ-FanoJ. Alg. Geom., 6 (1997), 307–324Proc. Int. Conf.

Algebra. Contemp. Math.,threefolds”,131(1992),439–44518Yu. Prokhorov, “Simple finite subgroups of the Cremona group of rank 3”,J. Algebraic Geom., 21:3 (2012),563–60019Yu. Prokhorov, “2-elementary subgroups of the space Cremona group”,affine geometry, Springer Proc. in Math. and Stat. 79 (2014), 215–22920Automorphisms in birational andYu. Prokhorov, “p-elementary subgroups of the Cremona group of rank 3”,varieties, EMS Ser. Congr. Rep.

Eur. Math. Soc. (2011), 327–3386Classification of algebraicи действия группы на ней.Поскольку нас в основном интересуют приложения к изучениюгруппы Кремоны, мы изучаем следующий вопрос: классифицироватьQ-многообразия дель Пеццо, не допускающие бирациональной перестрой­ки в более простые Q-многообразия Фано (например, в P3 или квадрику вP4 ), поскольку соответствующие подгруппы в группе Кремоны уже описаны,а также в -расслоения Мори с базой положительной размерности, посколь­ку их группы автоморфизмов лучше изучать с других точек зрения. Группы,допускающие перестройку в P3 мы будем называть линеаризуемыми, а груп­пы, допускающие перестройку в расслоение Мори на коники или поверхностидель Пеццо – расслоенного типа.Основным инвариантом многообразия дель Пеццо является его сте­пень = (− 21 )3 , которая может принимать значения от 1 до 8.

В случае ≥ 5 любое -многообразие является неособым21 , а такие многообразия иих группы автоморфизмов хорошо изучены.Цель работыГлавной целью работы является изучение геометрии трёхмерных-расслоений на коники и -многообразий дель Пеццо, а также приложениеполученных результатов к изучению трёхмерной группы Кремоны.Методы исследованияВ диссертации используются методы классической алгебраической гео­метрии и программы минимальных моделей, теории особенностей алгебраи­ческих многообразий, теории групп и теории представлений.Научная новизнаРезультаты лиссертации являются полностью новыми.

Основные из нихсостоят в следующем:1. Доказано, что трёхмерное -расслоение Мори на коники над произволь­ным полем характеристики нуль имеет стандартную модель. Таким об­21Yu. Prokhorov, “G-Fano threefolds, I”,Adv. Geom., 13:3 (2013), 389–4187разом, для классификации конечных подгрупп в группе Кремоны до­статочно изучать только стандартные -расслоения на коники.2. Классифицированы все рациональные -многообразия дель Пеццо сте­пеней 3 и 4, не допускающие -эквивариантной бирациональной пере­стройки в более простые -многообразия и в -расслоения Мори с ба­зой положительной размерности.

Таким образом, классифицированывсе -многообразия, которые могут быть -бирационально жёсткимии, следовательно, дают новые подгруппы в группе Кремоны.3. Доказана бирациональная жесткость некоторых полученных многооб­разий.Теоретическая и практическая ценностьДиссертация носит теоретический характер. Полученные результаты мо­гут быть использованы в алгебраической геометрии.Апробация результатовОсновные результаты диссертации докладывались∙ на летней школы-конференции по алгебраической геометрии и ком­плексному анализу для молодых ученых России (Коряжма, 2015),∙ насеминаре«Геометрияалгебраическихмногообразий»им.В.

А. ИсковскихподруководствомЮ. Г. Прохорова,В. В. Пржиялковского, Д. О. Орлова, К. А. Шрамова в МИАН (Москва,2013),∙ насеминаре«Геометрияалгебраическихмногообразий»им.В. А. ИсковскихподруководствомЮ. Г. Прохорова,В. В. Пржиялковского, Д. О. Орлова, К. А. Шрамова в МИАН (Москва,2015),ПубликацииРезультаты диссертации опубликованы в трёх единоличных работах изсписка ВАК, одном тезисе конференции и одном препринте.