Автореферат (Автоморфизмы алгебраических многообразий и минимальные модели)

Федеральное государственное бюджетное учреждение наукиМатематический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наукНа правах рукописиУДК 512.776, 512.765Авилов Артем АлексеевичАвтоморфизмы алгебраических многообразийи минимальные моделиСпециальность:01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чиселАвторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМосква — 2016Работа выполнена на факультете математики Национального Исследо­вательского Университета "Высшая Школа Экономики"Научный руководитель:ПРОХОРОВ Юрий Геннадьевич — доктор физико-математических на­ук, профессор, ведущий научный сотрудник отдела алгебраической геомет­рии Федерального государственного бюджетного учреждения науки Матема­тический институт им.

В.А.Стеклова Российской академии наук (специаль­ность 01.01.06).Официальные оппоненты:КУЗЬМИН Леонид Викторович - доктор физико-математических наук,ведущий научный сотрудник Института информационных технологий Феде­рального государственного бюджетного учреждения Национальный исследо­вательский центр «Курчатовский институт» (специальность 01.01.06);ТРЕПАЛИН Андрей Сергеевич - кандидат физико-математическихнаук, и.о. научного сотрудника Федерального государственного бюджет­ного учреждения науки Институт проблем передачи информации им.А.А.Харкевича Российской академии наук (ИППИ РАН), сектор 4.1 "Алгебраи теория чисел"(специальность – 01.01.06).Ведущая организация:Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования «Владимирский государственный университет имениАлександра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».Защита диссертации состоится 20 октября 2016 г.

в 15 часов на заседаниидиссертационного совета Д 002.022.03 при Математическом институте им.В.А. Стеклова Российской академии наук по адресу: 119991, г. Москва, ул.Губкина, д. 8, конференц-зал.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического ин­ститута им. В.А. Стеклова Российской академии наук и на сайте МИАН поадресу: http://www.mi.ras.ru/dis/ref16/avilov/dis.pdfАвтореферат разосланавгуста 2016 г. Отзывы и замечания по ав­тореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать поуказанному адресу на имя учёного секретаря диссертационного совета.Учёный секретарь диссертационного советаД 002.022.03, доктор физико-математических наукМ.

А. КоролёвОбщая характеристика работыАктуальность темыКлассификация алгебраических многообразий – одна из важнейших за­дач алгебраической геометрии. Многие известные математики занимались ейс самых ранних работ по алгебраической геометрии конца XIX века. Суще­ствует два основных направления классификации – бирегулярная и бираци­ональная классификация, в которых многообразия классифицируются с точ­ностью до изоморфизма и бирациональной эквивалентности соответственно.Бирациональная классификация алгебраических кривых устроена доста­точно просто: в любом классе бирациональной эквивалентности есть ровноодна неособая проективная кривая, основным инвариантом которой являетсяеё род.

Следующим шагом является классификация поверхностей. Она былаосуществлена в начале XX века усилиями итальянских геометров (Ф. Севе­ри, К. Сегре, Г. Кастельнуово, Ф. Энриквеса и др.), однако зачастую методы,которыми они пользовались, были нестрогими, а доказательства содержалиошибки. В 60-х годах XX века их работы были критически пересмотрены, аутверждения передоказаны с использованием разработанной на тот моменттехники московской школой алгебраической геометрии1 . Любая неособая ал­гебраическая поверхность с помощью стягивания (−1)-кривых может бытьприведена к минимальной модели (поверхность называется минимальной, ес­ли на ней нет (−1)-кривых), поэтому классифицировать нужно только мини­мальные поверхности. Основным их инвариантом является размерность Ко­даиры, которая для поверхностей может принимать значение −∞, 0, 1 или2.

Поверхности кодаировой размерности −∞ бирационально эквивалентныP1 × , где – алгебраическая кривая; поверхности кодаировой размерно­сти 0 принадлежат одному из следующих классов: К3, абелевы, биэллипти­ческие или поверхности Энриквеса; поверхности кодаировой размерности 1являются эллиптическими; поверхности кодаировой размерности 2 называ­ются поверхностями общего типа. Множество результатов имеется на темудальнейшей классификации поверхностей, не все классы классифицированыполностью.В процессе классификации многообразий над алгебраически незамкну­В.А. Исковских, И.Р.

Шафаревич “Алгебраические поверхности”, Алгебраическая геометрия-2, Итогинауки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 35, ВИНИТИ, М., (1989), 131–26311тыми полями и при классификации конечных групп бирациональных авто­морфизмов естественным образом возникает понятие -многообразия.-многообразием называется многообразие над полем k сдействием группы на ⊗ k.Определение.Впервые понятие -многообразия было введено Ю.И.

Маниным2 приизучении рациональных поверхностей над совершенными полями. Техника-поверхностей была усовершенствована В.А. Исковских, который класси­фицировал рациональные -поверхности34 . Наиболее важными случаями-многообразий являются следующие:1. алгебраический случай: группа является группой Галуа поля k надk и действует на ⊗ k через второй сомножитель;2. геометрический случай: группа является конечной группой, действу­ющей на k-автоморфизмами.Первый случай важен для классификации многообразий над алгебраиче­ски незамкнутыми полями. Далее мы будем рассматривать только геометри­ческий случай.

Одним из важнейших приложений изучения геометрическогослучая -многообразий является изучение группы Кремоны.Группа Кремоны Cr (k) ранга – это группа бирациональ­ных автоморфизмов проективного пространства Pk .Определение.Изучение свойств этих групп также является давней и важной задачейбирациональной геометрии.

В дальнейшем в этом параграфе мы будем пола­гать, что k – алгебраически замкнутое поле характеристики 0.Группа Кремоны ранга 1 устроена очень просто: поскольку бирациональ­ные автоморфизмы кривых совпадают с их бирегулярными автоморфизмами,то Cr1 (k) = PGL2 (k). Если ранг равен 2, то группа Кремоны порождается23Наука, Москва, 1987В.А. Исковских, “Рациональные поверхности с пучком рациональных кривых”, Матем. Сб., 74(116):4Ю.И. Манин, “Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика”,(1967), 608–6384В.А. Исковских, “Рациональные поверхности с пучком рациональных кривых и с положительнымквадратом канонического класса”,Матем.

Сб., 83(125):1(9) (1970), 90–1192группой Aut(P2 ) ≃ PGL2 (k) и всего одним дополнительным элементом5 , дей­ствующим по правилу(0 : 1 : 2 ) ↦→ (1 2 : 0 2 : 0 1 ).Соотношения на её порождающие были впервые найдены М. Гизатуллиным6 .Однако, уже начиная с ранга 3 группа Кремоны не обладает хорошим набо­ром порождающих7 , и практически ничего не известно о её структуре. Изу­чение алгебраических и топологических свойств группы Кремоны ранга 2активно продолжается в настоящее время.Другая классическая задача, связанная с группами Кремоны – класси­фикация их конечных подгрупп с точностью до сопряжения (и, в частности,элементов конечного порядка). Известно, что группы Кремоны ранга 2 и 3удовлетворяют свойству Жордана – существует такая константа , что длялюбой конечной подгруппы группы Кремоны в ней есть нормальная абелеваподгруппа индекса не более, чем 89 . Преположительно этот результат веренв любой размерности.

Поэтому можно ожидать, что конечные подгруппы вгруппе Кремоны малого ранга допускают разумную классификацию.Изучение конечных подгрупп в группе Cr2 (C) было начато Бертини10и продолжена многими другими математиками. Классификация конечныхподгрупп в Cr2 (C) была завершена И. Долгачёвым и В. Исковских11 (за ис­ключением некоторых специальных случаев).

Суть метода классификациисостоит в следующем. Пусть – конечная подгруппа в Cr2 (C). Тогда дей­ствие регуляризуется, т.е. существует неособое проективное многообразие , на котором действует бирегулярными автоморфизмами с эквивариант­ным бирациональным отображением 99K P2 . После эквивариантных стя­5M. Noether, “Uber die ein-zweideutigen Ebenentransformationen”,zu Erlangen, 18786Sitzungberichte der physicmedizin, Soc.М.Х. Гизатуллин, “Определяющие соотношения для кремоновой группы плоскости”,Сер. матем., 46:5 (1982), 909–9707H.P. Hudson, “Cremona transformations in plane and space”,8Yu.

Prokhorov, C. Shramov “Jordan property for CremonaИзв. АН СССР,Cambridge Univ. Press, 1927groups”, Compositio Math., 150:12(2014).2054-20729J.-P. Serre, “A Minkowski-style bound for the orders of the finite subgroups of the Cremona group of rank2 over an arbitrary field”,108Mosc. Math. J., 9:1 (2009), 183–198E.