Ахмедова (Редукции бездисперсионных интегрируемых иерархий и уравнение Левнера)

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå àâòîíîìíîåîáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ¾Íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò¾Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè¿Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêèÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÀõìåäîâà Âàëåðèÿ ÝäóàðäîâíàÐåäóêöèè áåçäèñïåðñèîííûõ èíòåãðèðóåìûõèåðàðõèé è óðàâíåíèå ËåâíåðàÐåçþìå äèññåðòàöèèíà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍÈÓ ÂØÝÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëüÇàáðîäèí Àíòîí Âëàäèìèðîâè÷äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóêÌîñêâà 2018ÂâåäåíèåÍà ñåãîäíÿøíèé äåíü õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ïàðàìåòðè÷åñêèå ñåìåéñòâàîäíîëèñòíûõ êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé îáëàñòåé ñ ðàçðåçîì âäîëü íåêîòîðîé êðèâîé íà ôèêñèðîâàííóþ êàíîíè÷åñêóþ îáëàñòü (êàê ïðàâèëî,âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü èëè åäèíè÷íûé êðóã) ïîä÷èíÿþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ Ëåâíåðà.

Èìåííî ñ ýòîãî óðàâíåíèÿ ìû íà÷íåìíàøå èññëåäîâàíèå. Îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå Ëåâíåðà çàäàåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèéêàíîíè÷åñêèõ îáëàñòåé â ñåáÿ è ñëóæèò ìîùíûì èíñòðóìåíòîì èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ îäíîëèñòíûõ ôóíêöèé. Âïåðâûå îíî ïîÿâèëîñü â ðàáîòåÊàðëà Ëåâíåðà â 1923 ãîäó è îòíîñèëîñü ê ôóíêöèÿì, îïðåäåëåííûìâ åäèíè÷íîì êðóãå D. Óðàâíåíèå ñîäåðæèò ïðîèçâîëüíóþ èçìåðèìóþôóíêöèþ, êîòîðàÿ èãðàåò ðîëü "óïðàâëÿþùåé"ôóíêöèè. Ïîçäíåå â íîâûõ âåðñèÿõ óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà ðàññìàòðèâàëèñü äðóãèå êàíîíè÷åñêèåîáëàñòè: ïîëóïëîñêîñòü, ïîëîñà, êîëüöî.

Íàèáîëüøåå âíèìàíèå â ïîñëåäíèå ãîäû óäåëÿåòñÿ "ðàäèàëüíîìó"óðàâíåíèþ äëÿ D è "õîðäîâîìó"óðàâíåíèþ äëÿ âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè Í.  ïåðâîé ãëàâå äàííîé ðàáîòû îïèñàíû íåêîòîðûå èñòîðè÷åñêèå ôàêòû ðàçâèòèÿ ìåòîäà Ëåâíåðà èóðàâíåíèé, íîñÿùèõ ñåãîäíÿ åãî èìÿ.Êàê áûëî ïîêàçàíî â ðàáîòàõ Äæ.

Ãèááîíñà è Ñ. Öàðåâà, âîçíèêàåò èíòåðåñíàÿ ñâÿçü óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà ñ èíòåãðèðóåìûìè èåðàðõèÿìè íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.Õîðäîâîå óðàâíåíèå Ëåâíåðà èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü â êëàññèôèêàöèèðåäóêöèé èåðàðõèè Êàäîìöåâà-Ïåòâèàøâèëè (ÊÏ, KP) â áåçäèñïåðñèîííîì (äëèííîâîëíîâîì) ïðåäåëå. À èìåííî, îíî ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì ñîãëàñîâàííîñòè îäíîêîìïîíåíòíîé ðåäóêöèè ñî âñåé áåñêîíå÷íîé èåðàðõèåé.Ðàäèàëüíîå óðàâíåíèå Ëåâíåðà èãðàåò àíàëîãè÷íóþ ðîëü â èåðàðõèèáåçäèñïåðñèîííîé äâóìåðèçîâàííîé öåïî÷êè Òîäû. Óâèäåòü ñâÿçü áåçäèñïåðñèîííûõ èåðàðõèé ñ óðàâíåíèåì Ëåâíåðà ëåã÷å âñåãî ñ ïîìîùüþèåðàðõèè ÊÏ. Áåçäèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå ÊÏ âûãëÿäèò ñëåäóþùèìîáðàçîì:33(ut − uux )x − uyy = 0.24(1)Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Êàäîìöåâà-Ïåòâèàøâèëè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé(â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ).

Ýòà èåðàðõèÿ íåïëîõî èçó÷åíà, è ó íåå åñòüíåñêîëüêî ýêâèâàëåíòíûõ ïðåäñòàâëåíèé, îäíàêî äëÿ èëëþñòðàöèè ñâÿçè ñ óðàâíåíèåì Ëåâíåðà ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òîëüêî ñîîòâåòñòâóþ-2ùèì óðàâíåíèåì Õèðîòû:eD(z)D(ζ)F = 1 −∂t1 (D(z) − D(ζ))F.z−ζ(2)Ðàññìîòðåâ îäíîêîìïîíåíòíûå ðåäóêöèè äàííîé èåðàðõèè, ìû óâèäèìñâÿçü ñ óðàâíåíèåì Ëåâíåðà.Ïîñëå èëëþñòðàöèè âîçíèêàþùåé ñâÿçè, ìû ïåðåéäåì íåïîñðåäñòâåííî ê èçó÷åíèþ áåçäèñïåðñèîííîãî ïðåäåëà èåðàðõèé Ïôàôô-ÊÏ è ÏôàôôÒîäû.Èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏ (òàêæå èçâåñòíàÿ êàê DKP, ñïàðåííàÿ èåðàðõèÿ ÊÏ, Ïôàôôîâà ðåøåòêà) ÿâëÿåòñÿ èåðàðõèåé ñD∞ -ñèììåòðèÿìè.Âïåðâûå îíà áûëà ïðåäëîæåíà Ì.

Äæèìáî è Ò. Ìèâîé â 1983 ãîäó. Âïîñëåäñòâèè îíà ïîÿâëÿëàñü ïîä ðàçíûìè íàçâàíèÿìè â ðàçëè÷íûõ êîíòåêñòàõ. Òåðìèí ïôàôôîâà îáóñëîâëåí òåì, ÷òî ñîëèòîíîïîäîáíûå ðåøåíèÿ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïôàôôèàíû.  òåêñòå äèññåðòàöèè ìû áóäåìíàçûâàòü ýòó èåðàðõèþ Ïôàôô-ÊÏ èëè DKP.Õîòÿ â äàííîì èññëåäîâàíèè ìû áóäåì èçó÷àòü òîëüêî áåçäèñïåðñèîííûå èåðàðõèè, ïîëåçíî, îäíàêî, ïîñìîòðåòü íà "ïîëíóþ"èåðàðõèþ,÷òîáû óâèäåòü, ÷òî ïðîèñõîäèò ïðè ïåðåõîäå ê áåçäèñïåðñèîííîìó ïðåäåëó.

Èòàê, ïåðâîå óðàâíåíèå èåðàðõèè Ïôàôôîâîé ðåøåòêè, òàê íàçûâàåìîå óðàâíåíèå DKP, âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ∂u∂ ∂t1 −4 ∂t3 +2 ∂v± +∂t3∂ 3 v±∂t31∂3u∂t31++∂u12u ∂t1±6u ∂v∂t1∓322+ 3 ∂∂tu2 = 12 ∂∂tu2 (v + v − )2∂ 2 v±∂t1 ∂t2+ 2v1±R∂u∂t2 dt1= 0.Êàê ìîæíî óâèäåòü, ëåâàÿ ñòîðîíà ïåðâîãî óðàâíåíèÿ óðàâíåíèåÊÏ, à ïðàâàÿ ñòîðîíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñïàðåííûé ÷ëåí ïîëÿv±.Èìåííî ïîýòîìó óðàâíåíèå DKP èíîãäà è íàçûâàþò ñïàðåííûì ÊÏ(cKP).

Òóò ìû âîñïîëüçîâàëèñü ïðèâû÷íûìè îáîçíà÷åíèÿìèy = t2èx = t1 ,t = t3 . òåðìèíàõτ -ôóíêöèé, uèv±îïðåäåëÿþòñÿ êàê∂2τn±1.u = 2 log τn , v ± =∂t1τnÌîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îïåðàòîðàìè Õèðîòû (ïðîèçâîäíûìè Õèðî-3òû), êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Dk f · g :=∂∂− 0∂tk ∂tkf (tk )g(t0k ).tk =t0kÑ èõ ïîìîùüþ óðàâíåíèå DKP çàäàåòñÿ((−4D1 D3 + D14 + 3D22 )τn τn = 24τn+1 τn−1(2D3 + D13 ∓ 3D1 D2 )τn±1 τn = 0.(3)Õîòÿ äàííàÿ èåðàðõèÿ èìååò îïðåäåëåííîå ñõîäñòâî ñ èåðàðõèåé ÊÏè öåïî÷êîé Òîäû, îíà, áåçóñëîâíî, ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò íèõ è íàäàííûé ìîìåíò ãîðàçäî õóæå èçó÷åíà.Áåçäèñïåðñèîííàÿ âåðñèÿ èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ (dPfa-KP, dDKP)áûëà ïðåäëîæåíà Òàêàñàêè.

 ôîðìå Õèðîòû îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéáåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé∂t D(z)F − ∂t1 D(ζ)F1eD(z)D(ζ)F 1 − 2 2 e2∂t0 (2∂t0 +D(z)+D(ζ))F = 1 − 1,z ζz−ζ(4)e−D(z)D(ζ)F2 −2∂t0 D(z)F2 −2∂t0 D(ζ)F−ζ ez−ζz e= z +ζ −∂t12∂t0 +D(z)+D(ζ) F(5)F = F (t)t = {t0 , t1 , t2 , . . .}, ãäåíà ôóíêöèþîò áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà (äåéñòâèòåëüíûõ) âðåìåíD(z) =X z −kk≥1ÔóíêöèÿFk∂tk .(6)ÿâëÿåòñÿ áåçäèñïåðñèîííûì àíàëîãîì òàó-ôóíêöèè.

Äèôôå-ðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ èç óðàâíåíèé (4), (5) ðàçëîæåíèåìïî ñòåïåíÿìzèζ.Òîãäà áåçäèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå Ïôàôôîâîé ðå-øåòêè çàäàåòñÿ2+ 3F22 − 4F13 = 12e4F00 6F112F03 +34F01(7)+ 6F01 F11 − 6F01 F02 = 3F12 .Äëÿ êðàòêîñòè ìû èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèÿFmn ≡ ∂tm ∂tn F .Ýòîò æåðåçóëüòàò ìû ìîãëè ïîëó÷èòü íåïîñðåäñòâåííî èç óðàâíåíèÿ DKP (3),v ± = exp(log τn±1 − log τn ) → exp(±h̄−1 F0 )v + v − = exp(log τn+1 − 2 log τn + log τn−1 ) → exp(F00 ) ïðè h̄ → 0.âîñïîëüçîâàâøèñü ïðåäåëàìèè4Äâóìåðíàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-Òîäû, ïðåäëîæåííàÿ â Òàêàñàêè, ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ è ñâÿçàíà ñ íåé òàê æå, êàêäâóìåðèçîâàííàÿ öåïî÷êà Òîäû ñâÿçàíà ñ èåðàðõèåé ÊÏ.  ÷àñòíîñòè,−→îáîáùåíèå Ïôàôô-ÊÏÏôàôô-Òîäà ïðåäïîëàãàåò óäâîåíèå íàáî-ðà èåðàðõè÷åñêèõ âðåìåí.

 äàííîé ðàáîòå ìû áóäåì ðàáîòàòü ñ âåùåñòâåííûìè ôîðìàìè èåðàðõèé, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî âðåìåíà ÊÏ ñ÷èòàþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè, â òî âðåìÿ êàê äâà íàáîðà âðåìåí Òîäûÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûìè äðóã äðóãó.Áåçäèñïåðñèîííàÿ âåðñèÿ èåðàðõèè Ïôàôô-Òîäû (dPfa-Toda) ïè-F , çàâèñÿùåé îò áåñêîíå÷íîãî â îáå ñòîðîíû íàáîðàâðåìåí {. . . , t̄2 , t̄1 , r, s, t1 , t2 , . .

.}. Ïîñêîëüêó ðàçëè÷íûå èåðàðõèè â äàííîé ðàáîòå íå ïåðåñåêàþòñÿ, ìû ñîõðàíèì îáîçíà÷åíèå F äëÿ áåçäèñïåðøåòñÿ äëÿ ôóíêöèèñèîííîé òàó-ôóíêöèè. Äåéñòâèòåëüíàÿ ôîðìà èåðàðõèè, ñ êîòîðîé ìûáóäåì èìåòü äåëî, ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî âðåìÿtk , sräåéñòâèòåëüíî, àt̄kêîìïëåêñíî ñîïðÿæåíî ê- ÷èñòî ìíèìîå. Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ âûãëÿäÿòñëåäóþùèì îáðàçîì:D(z)D(ζ)Fe1 ∂se1−zζ ∂s +∂r +D(z)+D(ζ) F1 ∂se1−ez̄ ζ̄1 ∂rD(z)D(ζ)Fe1−ezζze−∂r D(z)F − ζe−∂r D(ζ)F=,z−ζ(8)z̄e∂r D̄(z̄)F − ζ̄e∂r D̄(ζ̄)F=,z̄ − ζ̄(9) ∂s −∂r +D̄(z̄)+D̄(ζ̄) FD̄(z̄)D̄(ζ̄)F ∂s +∂r +D(z)+D(ζ) Fze−∂s D(z)F − ζe−∂s D(ζ)F=,z−ζ(10)eD̄(z̄)D̄(ζ̄)F1−1 −∂rez̄ ζ̄ ∂s −∂r +D̄(z̄)+D̄(ζ̄) F−∂s D̄(z̄)F=z̄e− ζ̄ez̄ − ζ̄−∂s D̄(ζ̄)F,(11)e−D(z)D̄(ζ̄)F1−1 ∂rez ζ̄− ∂s +∂r +D(z) D̄(ζ̄)Fe 1 ∂s ∂s +D(z)+D̄(ζ̄) Fe, (12)z ζ̄ ∂s +D(z)+D̄(ζ̄) Fe− ∂s −∂r +D̄(ζ̄) D(z)F − 1 .∂r +D(z)−D̄(ζ̄) F−1=z −∂reζ̄=1−(13)ÇäåñüD̄(z̄) =X z̄ −kk≥1k∂t̄kÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûì àíàëîãîìäèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà (6).

Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (9), (11) ïîëó÷àþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, èç (8), (10) ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ïîñòàíîâêè÷åðòûD → D̄, z → z̄ , ζ → ζ̄ , tk → t̄k , s → s̄ = s, r → r̄ = −r,5äåéñòâèåêîòîðîãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå ïðè óñëîâèè, ÷òî ôóíêöèÿFäåéñòâèòåëüíà. Ìû âèäèì, ÷òî ó êàæäîãî óðàâíåíèÿåñòü ÷åðòîâàííûé àíàëîã.  òî æå âðåìÿ óðàâíåíèÿ (12) è (13) äåéñòâèòåëüíû, ò.å. îíè íå ìåíÿþòñÿ ïðè êîìïëåêñíîì ñîïðÿæåíèè. Äàëåå â òåêñòå ìû íå áóäåì ïîñòîÿííî âûïèñûâàòü ïàðû êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõóðàâíåíèé è îãðàíè÷èìñÿ íàïèñàíèåì ëèøü îäíîãî èç êàæäîé ïàðû, íåçàáûâàÿ ïðè ýòîì î òîì, ÷òî îáà âûïîëíÿþòñÿ îäíîâðåìåííî. Äëÿ äàëüíåéøåãî óäîáíî áóäåò ââåñòè êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå íóëåâûå âðåìåíàt0 = s + r, t̄0 = s − r,òîãäà∂t0 = 21 (∂s + ∂r ), ∂t̄0 = 21 (∂s − ∂r ).Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ èåðàðõèè ïîëó÷àþòñÿ èç óðàâíåíèé(8)(13) ðàçëîæåíèåì ïî ñòåïåíÿìþò âèäz , ζ , z̄ , ζ̄ .

Ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ èìå- F e 00 F01̄ = eF0̄0̄ F0̄1 ,F00 +F0̄0̄F11̄ = 2 eÌû ïîëüçóåìñÿ îáîçíà÷åíèÿìè(14)sinh 2F00̄ .Fmn ≡ ∂tm ∂tn F , Fmn̄ ≡ ∂tm ∂t̄n F , Fm̄n̄ ≡≡ ∂t̄m ∂t̄n F .Ãëàâà 2 ýòîé ãëàâå ìû ïðåäëàãàåì íåáîëüøîé èñòîðè÷åñêèé ýêñêóðñ îá óðàâíåíèè Ëåâíåðà è,÷òîáû ïðîäåìîíñòðèðîâàòü, êàê èìåííî îíî âîçíèêàåò â êîíòåêñòå èíòåãðèðóåìûõ èåðàðõèé, ðàññìîòðèâàåì áåçäèñïåðñèîííóþ èåðàðõèþ Êàäîìöåâà-Ïåòâèàøâèëè.

Óðàâíåíèå Õèðîòû äëÿ äàííîéèåðàðõèè èìååò âèä:eD(z1 )D(z2 )F =z1 − z2 − ∂t1 D(z1 )F + ∂t1 D(z2 )F.z1 − z2(15)Ââåäåì ôóíêöèþp(z) = z − ∂t1 D(z)F.Ôóíêöèÿ(16)z(p) ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ê p(z), ñ÷èòàåì åå îäíîëèñòíîé âáëèçèáåñêîíå÷íîñòè.z(p) = p +Êîýôôèöèåíòûuiu1 u2+ 2 + ...ppçàâèñÿò îò äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàìåòðîât1 , t2 , t3("âðåìåí") Ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü ñëåäóþùóþ ðåäóêöèþ - ïóñòüçàâèñèò îò âñåõ âðåìåítj÷åðåç ôóíêöèþU = U ({tj }).z(p; {tj }) = z(p, U ),6Ò.å....z(p)U = U ({tj })Óñëîâèåì ñîãëàñîâàííîñòè îäíîêîìïîíåíòíîé ðåäóêöèè ñ èåðàðõèåé áóäåò óðàâíåíèå∂p(z)1=−.∂Up(z) − ξ(U )Àíàëîãè÷íîå óðàâíåíèå äëÿz(p)(17)èìååò âèä:1∂z(p)∂z(p)=.∂Up − ξ(U ) ∂p(18)Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè õîðäîâîå óðàâíåíèå Ëåâíåðà ñ óïðàâëÿþùåé ôóíêöèåéξ(U ).Ãëàâà 3Ìû ïîäðîáíî ðàññìîòðèì Ïôàôôîâû èåðàðõèè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêå, çàòåì ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ýëëèïòè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêè áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ, è îáîáùèì ðåçóëüòàòíà ñëó÷àé èåðàðõèè áåçäèñïåðñèîííîé Ïôàôô-Òîäû.