Ахмедова (1137474), страница 2

Файл №1137474 Ахмедова (Редукции бездисперсионных интегрируемых иерархий и уравнение Левнера) 2 страницаАхмедова (1137474) страница 22019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Ìû ïîêàæåì, ÷òîèåðàðõèè ïôàôôîâîãî òèïà äîïóñêàþò êðàñèâóþ ïåðåôîðìóëèðîâêó âòåðìèíàõ ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé (òýòà-ôóíêöèé ßêîáè). Ïîñëå òàêîéïåðåôîðìóëèðîâêè ÷èñëî íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé óìåíüøàåòñÿ, è íåñêîëüêî íåóêëþæèå íà âèä óðàâíåíèÿ (4), (5) è (8)(13) îáðåòàþò áîëååïðèâëåêàòåëüíóþ ôîðìó, â êîòîðîé îíè âûãëÿäÿò êàê åñòåñòâåííûå ýëëèïòè÷åñêèå äåôîðìàöèè áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè KP (èëè ìîäèôèöèðîâàííîé èåðàðõèè KP) è 2DTL. òàêîé ôîðìóëèðîâêå áåçäèñïåðñèîííóþ èåðàðõèþ Ïôàôô-ÊÏâìåñòî (4), (5) áóäåò çàäàâàòü óðàâíåíèå:−1z1−1 − z2e∇(z1 )∇(z2 )Fθ1 u(z1 )−u(z2 ),=θ4 u(z1 )−u(z2 )(19)ãäå èñïîëüçîâàíî îáîçíàåíèå äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà∇(z) = ∂t0 + D(z),à ôóíêöèÿu(z)(20)îïðåäåëÿåòñÿ èçe∂t0 (∂t0 +D(z))F = z7θ1 (u(z)|τ ).θ4 (u(z)|τ )(21)Òàêæå äëÿ äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé ïîëåçíî ââåñòè ôóíêöèþS(u, τ ) := logθ1 (u, τ ),θ4 (u, τ )(22)ñ åå ïîìîùüþ ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü óðàâíåíèå (19) â âèäå∇(z1 )S(u(z2 )|τ ) = ∂t0 S(u(z1 ) − u(z2 )|τ ).(23)Óðàâíåíèÿ áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-Òîäû (8)(13), ïîñëåîïðåäåëåííûõ ìàíèïóëÿöèé è ýëëèïòè÷åñêîé ïàðàìåòðèçàöèèïðèâîäÿòñÿ, ñîîòâåòñâåííî, ê(z1−1 − z2−1 ) e∇(z1 )∇(z2 )F =¯e∇(z1 )∇(z̄2 )F =¯¯(z1−1 − z2−1 ) e∇(z1 )∇(z2 )F =θ1 (u(z1 ) − u(z2 )),θ4 (u(z1 ) − u(z2 ))θ1 (u(z1 ) + ū(z2 ) + η),θ4 (u(z1 ) + ū(z2 ) + η)(24)θ1 (ū(z1 ) − ū(z2 )).θ4 (ū(z1 ) − ū(z2 ))Çäåñü òàêæå èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèå¯∇(z)= ∂t̄0 + D̄(z).(25)Îáðàòèì âíèìàíèå íà ïåðâîå óðàâíåíèå, îíî òàêîå æå, êàê è â (19).Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîëîâèíà áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-Òîäû(ñ ôèêñèðîâàííûìè âðåìåíàìè ñ ÷åðòîé) ñîâïàäàåò ñ áåçäèñïåðñèîííîé Ïôàôô-ÊÏ.

Ýòîò ôàêò áûëî áû íåëåãêî óâèäåòü â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêå. Òðåòüå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé âåðñèåé ïåðâîãî. Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äðóãóþ êîïèþ áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ, òîëüêî óæå îòíîñèòåëüíî âðåìåíôèêñèðîâàííûìèíûå ïî âðåìåíàìt̄k ,ñtk . Âòîðîå óðàâíåíèå ñîäåðæèò ñìåøàííûå ïðîèçâîä{tk } è {t̄k } è, òàêèì îáðàçîì, îáúåäèíÿåò äâå èåðàð-õèè â îäíó áîëåå îáùóþ. Ýòî óðàâíåíèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ.Õîòåëîñü áû òàêæå îòìåòèòü, ÷òî â ýëëèïòè÷åñêîé ïàðàìåòðèçàöèèìîäóëÿðíûé ïàðàìåòðτÿâëÿåòñÿ äèíàìè÷åñêîé ïåðåìåííîé.

Ýòî ñâîé-ñòâî óêàçûâàåò íà íåêîòîðîå ñõîäñòâî ñ óðàâíåíèÿìè Óèçåìà äëÿ ðîäà1. è èíòåãðèðóåìûìè ñòðóêòóðàìè, ñâÿçàííûìè ñ êðàåâûìè çàäà÷àìè âïëîñêèõ äâóñâÿçíûõ îáëàñòÿõ.8Òàê êàê Ïôàôôîâû èåðàðõèè ãîðàçäî ìåíåå èçó÷åíû, ÷åì áîëåå ïðèâû÷íûå èåðàðõèè ÊÏ èëè Òîäû, òî ìû íàøëè ïîëåçíûì äàòü ïîäðîáíîåñðàâíåíèå ýòèõ èåðàðõèé.Ãëàâà 4Ýòà ãëàâà ïîñâÿùåíà îäíîêîìïîíåíòíûì ðåäóêöèÿì ïôàôôîâûõ èåðàðõèé. Êàê è â ïðåäûäóùåé ãëàâå, èçó÷åíèå ïôàôôîâûõ èåðàðõèé íà÷èíàåì ñ áîëåå ïðîñòîé èåðàðõèè dDKP. Ðàññìîòðèì åå îäíîêîìïîíåíòíûåðåäóêöèè, ñ÷èòàÿ, ÷òî âñå äèíàìè÷åñêèå ïåðåìåííûå çàâèñÿò îò âðåìåít ÷åðåç îäíó åäèíñòâåííóþ ïåðåìåííóþ, â êà÷åñòâå êîòîðîé, áåç îãðàíèåíèÿ îáùíîñòè, ìîæíî âûáðàòü ìîäóëÿðíûé ïàðàìåòð τ . Ìû ïîêàæåì,÷òî òàêèå ðåäóêöèè êëàññèôèöèðóþòñÿ ðåøåíèÿìè äèôôåðåíöèàëüíîãîóðàâíåíèÿ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì àíàëîãîì óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà.

 êîìïëåêñíîì àíàëèçå ýòî "ýëëèïòè÷åñêîå óðàâíåíèå Ëåâíåðà"òàêæå èçâåñòíî êàê óðàâíåíèå Ãîëóçèíà-Êîìàöó: τ τ4πi ∂τ u(z, τ ) = − ζ1 u(z, τ )+ξ(τ ) 2 + ζ1 ξ(τ ) 2 ,ζ1 (u, τ ) := ∂u log θ1 (u|τ ) è ξ(τ ) ïðîèçâîëüíàÿöèÿ τ òàê íàçûâàåìàÿ "ôóíêöèÿ óïðàâëåíèÿ"ãäå(26)(íåïðåðûâíàÿ) ôóíêèëè "óïðàâëÿþùàÿôóíêöèÿ". Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ýëåìåíòîì òåîðèè ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé äâóñâÿçíûõ îáëàñòåé ñ ðàçðåçîìíà êîëüöî.×òîáû îïèñàíèå îäíîêîìïîíåíòíîé ðåäóêöèè áûëî ïîëíûì, ìû äîëæíû âûâåñòè óðàâíåíèå, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåòτ (t)è íàéòè åãî ðåøå-íèÿ.S u(z) + ξ(τ )0∇(z)τ =∂t0 τ.S 0 (ξ(τ ))(27)Ýòî ïðîèçâîäÿùåå óðàâíåíèå äëÿ èåðàðõèè óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà.

×òîáû çàïèñàòü èõ, âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì00S (u(z) + u) = S (u) +X z −kk≥1êîòîðîå îïðåäåëÿåò ôóíêöèèkBk0 (u) = Bk0 (u|τ ).Bk0 (u),(28) òåðìèíàõ ýòèõ ôóíê-öèé, óðàâíåíèÿ èåðàðõèè ïîñëå ðåäóêöèè âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:∂τ∂τ= φk (ξ(τ )|τ ),∂tk∂t0Bk0 (ξ(τ )|τ )φk (ξ(τ )|τ ) := 0,S (ξ(τ )|τ )9k ≥ 1.(29)Îáùåå ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:∞Xtk φk (ξ(τ )|τ ) = Φ(τ ),(30)k=1ãäåΦ(τ )ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ îòΦ(τ ) = 0,ìû çàêëþ÷àåì èç (30), ÷òîτ .

 ñàìîì ïðîñòîì ñëó÷àå, êîãäàX ∂τtk= 0, ò.å τ (t) îäíîðîäíàÿ∂tkk≥1ôóíêöèÿ îò âðåìåí ñòåïåíè0.Òàêæå ìû îòìå÷àåì íåîæèäàííóþ ñâÿçü ñ óðàâíåíèåì Ïåíëåâå. Àèìåííî, ìû ïîêàæåì, ÷òî âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîτýëëèïòè÷åñêîãî óðàâ-íåíèÿ Ëåâíåðà (26), ñ îïðåäåëåííûì âûáîðîì óïðàâëÿþùåé ôóíêöèè,äàåò çàïèñàííîå â ýëëèïòè÷åñêîé ôîðìå óðàâíåíèå Ïåíëåâå VI ñî ñïåöèàëüíûìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ.Äàëåå ìû ïðîäåëûâàåì àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ äëÿ îäíîêîìïîíåíòíîé ðåäóêöèè áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-Òîäû.

Íàøà öåëü- îõàðàêòåðèçîâàòü êëàññ ôóíêöèéu(z, λ), η(λ), τ (λ),êîòîðûå ñîãëàñó-þòñÿ ñî âñåé èåðàðõèè. Äëÿ ïðîñòîòû â äàëüíåéøåì ìû ïîëàãàåìÏîëó÷àåì, ÷òî äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ ôóíêöèèèη(τ ),λ = τ.u(z, τ ), ū(z, τ )÷òîáû îíè áûëè ñîâìåñòíûìè ñ áåñêîíå÷íîé èåðàðõèåé Ïôàôô-Òîäû ÿâëÿþòñÿ:4πi ∂τ η(τ ) = −ζ1η2 τη+ iκ 2 − ζ1 2 − iκ τ2 τη4πi∂τ u(z, τ ) = −ζ1 u + + iκ 2 + ζ1 2 + iκ τ2η2(31)  4πi∂τ ū(z, τ ) = −ζ1 u + η − iκ τ + ζ1 η − iκ τ2222Ïðîèçâîäÿùèå óðàâíåíèÿ äëÿ áåñêîíå÷íîé ðåäóöèðîâàííîé èåðàðõèè:S 0 (u(z) + ξ)∂t0 τ ,∇(z)τ =S 0 (ξ)¯S 0 (ū(z̄) + ξ)¯∇(z̄)τ = −∂t0 τ.S 0 (ξ)(32)Îíè ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà.

×òîáû íàïèñàòüèõ ÿâíî, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ïîëüçóåìñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè àíàëîãàìè ïîëèíîìîâ Ôàáåðà. Ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ:∂τ∂τ= φk (ξ(τ )|τ ),∂tk∂t0∂τ∂τ= ψk (ξ(τ )|τ ),∂ t̄k∂t010(33)ãäå¯ )|τ )B̄k0 (ξ(τψk (ξ(τ )|τ ) = − 0.S (ξ(τ )|τ )Bk0 (ξ(τ )|τ )φk (ξ(τ )|τ ) = 0,S (ξ(τ )|τ )(34)Îáùåå ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå ãîäîãðàôà:Xtk φk (ξ(τ )) +Φt̄k ψ0 (ξ(τ )) = Φ(τ ).(35)k≥0k≥1ÇäåñüX- ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ îòτ.Ãëàâà 5Ìû èçó÷àåì äèàãîíàëüíûåò.å. òåïåðüìåííûõλj .uN-êîìïîíåíòíûå ðåäóêöèè èåðàðõèè dDKP,áóäåò çàâèñåòü îò âðåìåí ÷åðåçNâåùåñòâåííûõ ïåðå-Îòïðàâíîé òî÷êîé áóäåò ñëóæèòü ñèñòåìàNýëëèïòè÷å-ñêèõ óðàâíåíèé Ëåâíåðà, êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåò çàâèñèìîñòüu(z)îòïåðåìåííûõλj :i ∂τττ4πi ∂λj u(z, {λi }) = − ζ1 u+ξj , 2 + ζ1 ξj , 2,∂λjh(36) ñâîþ î÷åðåäü èõ óñëîâèå ñîâìåñòèìîñòè âûðàæàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîéñèñòåìîé Ãèááîíñà-Öàðåâà ∂τ1 ∂ξk00=ζ1 (−ξk + ξj , τ ) − ζ1 (ξj , τ ),∂λj4πi∂λjäëÿ âñåõ∂ 2τ1∂τ ∂τ=℘1 (ξk − ξj , τ 0 ),∂λk ∂λj2πi∂λk ∂λjj = 1, .

. . , N , j 6= k . Çàâèñèìîñòü ïåðåìåííûõ λj(37)(38)îò âðåìåíôèêñèðóåòñÿ ñèñòåìîé êâàçèëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñëåäóþùåãî âèäà∂λj∂λj= φj,k ({λi }),∂tk∂t0ñ(39)φj,k ({λi }), îïðåäåëåííûõ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùèì ñëó÷àÿì ñ ïîìîùüþýëëèïòè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ Ôàáåðà. Ìû ïîêàæåì, ÷òî óñëîâèåì ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû (39) ÿâëÿåòñÿ∂λj φi,n∂λj φi,n0=φj,n − φi,nφj,n0 − φi,n011äëÿ âñåõi 6= j , n, n0 ,ò.å. íåçàâèñèìîñòüΓij :=∂λj φi,nφj,n − φi,n(40)îò n. Äàëåå ìû çàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà àññîöèèðîâàííà ñ äèàãîíàëüíîéìåòðèêîé åãîðîâñêîãî òèïà, à ðåøåíèå ìîæåò áûòü íàéäåíî ñ ïîìîùüþîáîáùåííîãî ìåòîäà ãîäîãðàôà, ðàçðàáîòàííîãî Öàðåâûì.Çàêëþ÷åíèå äàííîé äèññåðòàöèè èçó÷àëèñü áåçäèñïåðñèîííûå èåðàðõèè ÏôàôôÊÏ è Ïôàôô-Òîäû, èõ ðåäóêöèè è óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ðåäóêöèè äîïóñòèìû.

Îñíîâíûìè òåõíè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè ÿâëÿþòñÿ ìåòîäû ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé è òåîðèè èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì.Ññûëêè1. V. Akhmedova and A. Zabrodin,elliptic Lowner equation,arXiv:1404.5135Dispersionless DKP hierarchy andJ. Phys. A: Math. Theor. 47 (2014) 392001.Elliptic parametrization of Pfaintegrable hierarchies in the zero dispersion limit, Theor. Math. Phys.2. V. Akhmedova and A. Zabrodin,185 (2015) 410-422.arXiv:1412.84353. V. Akhmedova and A.

Zabrodin,and elliptic Lowner equation,arXiv:1605.01561Dispersionless Pfa-Toda hierarchyJ. of Math. Phys. 57-10 (2016).4. V. Akhmedova, T. Takebe, A. Zabrodin,Multi-variable reductions ofthe dispersionless DKP hierarchy, J. Phys. A: Math. Theor. 50 (2017). arXiv:1707.0152812.

Характеристики

Список файлов диссертации

Редукции бездисперсионных интегрируемых иерархий и уравнение Левнера
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее