Ахмедова (1137474), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ìû ïîêàæåì, ÷òîèåðàðõèè ïôàôôîâîãî òèïà äîïóñêàþò êðàñèâóþ ïåðåôîðìóëèðîâêó âòåðìèíàõ ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé (òýòà-ôóíêöèé ßêîáè). Ïîñëå òàêîéïåðåôîðìóëèðîâêè ÷èñëî íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé óìåíüøàåòñÿ, è íåñêîëüêî íåóêëþæèå íà âèä óðàâíåíèÿ (4), (5) è (8)(13) îáðåòàþò áîëååïðèâëåêàòåëüíóþ ôîðìó, â êîòîðîé îíè âûãëÿäÿò êàê åñòåñòâåííûå ýëëèïòè÷åñêèå äåôîðìàöèè áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè KP (èëè ìîäèôèöèðîâàííîé èåðàðõèè KP) è 2DTL. òàêîé ôîðìóëèðîâêå áåçäèñïåðñèîííóþ èåðàðõèþ Ïôàôô-ÊÏâìåñòî (4), (5) áóäåò çàäàâàòü óðàâíåíèå:−1z1−1 − z2e∇(z1 )∇(z2 )Fθ1 u(z1 )−u(z2 ),=θ4 u(z1 )−u(z2 )(19)ãäå èñïîëüçîâàíî îáîçíàåíèå äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà∇(z) = ∂t0 + D(z),à ôóíêöèÿu(z)(20)îïðåäåëÿåòñÿ èçe∂t0 (∂t0 +D(z))F = z7θ1 (u(z)|τ ).θ4 (u(z)|τ )(21)Òàêæå äëÿ äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé ïîëåçíî ââåñòè ôóíêöèþS(u, τ ) := logθ1 (u, τ ),θ4 (u, τ )(22)ñ åå ïîìîùüþ ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü óðàâíåíèå (19) â âèäå∇(z1 )S(u(z2 )|τ ) = ∂t0 S(u(z1 ) − u(z2 )|τ ).(23)Óðàâíåíèÿ áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-Òîäû (8)(13), ïîñëåîïðåäåëåííûõ ìàíèïóëÿöèé è ýëëèïòè÷åñêîé ïàðàìåòðèçàöèèïðèâîäÿòñÿ, ñîîòâåòñâåííî, ê(z1−1 − z2−1 ) e∇(z1 )∇(z2 )F =¯e∇(z1 )∇(z̄2 )F =¯¯(z1−1 − z2−1 ) e∇(z1 )∇(z2 )F =θ1 (u(z1 ) − u(z2 )),θ4 (u(z1 ) − u(z2 ))θ1 (u(z1 ) + ū(z2 ) + η),θ4 (u(z1 ) + ū(z2 ) + η)(24)θ1 (ū(z1 ) − ū(z2 )).θ4 (ū(z1 ) − ū(z2 ))Çäåñü òàêæå èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèå¯∇(z)= ∂t̄0 + D̄(z).(25)Îáðàòèì âíèìàíèå íà ïåðâîå óðàâíåíèå, îíî òàêîå æå, êàê è â (19).Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîëîâèíà áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-Òîäû(ñ ôèêñèðîâàííûìè âðåìåíàìè ñ ÷åðòîé) ñîâïàäàåò ñ áåçäèñïåðñèîííîé Ïôàôô-ÊÏ.
Ýòîò ôàêò áûëî áû íåëåãêî óâèäåòü â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêå. Òðåòüå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé âåðñèåé ïåðâîãî. Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äðóãóþ êîïèþ áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ, òîëüêî óæå îòíîñèòåëüíî âðåìåíôèêñèðîâàííûìèíûå ïî âðåìåíàìt̄k ,ñtk . Âòîðîå óðàâíåíèå ñîäåðæèò ñìåøàííûå ïðîèçâîä{tk } è {t̄k } è, òàêèì îáðàçîì, îáúåäèíÿåò äâå èåðàð-õèè â îäíó áîëåå îáùóþ. Ýòî óðàâíåíèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ.Õîòåëîñü áû òàêæå îòìåòèòü, ÷òî â ýëëèïòè÷åñêîé ïàðàìåòðèçàöèèìîäóëÿðíûé ïàðàìåòðτÿâëÿåòñÿ äèíàìè÷åñêîé ïåðåìåííîé.
Ýòî ñâîé-ñòâî óêàçûâàåò íà íåêîòîðîå ñõîäñòâî ñ óðàâíåíèÿìè Óèçåìà äëÿ ðîäà1. è èíòåãðèðóåìûìè ñòðóêòóðàìè, ñâÿçàííûìè ñ êðàåâûìè çàäà÷àìè âïëîñêèõ äâóñâÿçíûõ îáëàñòÿõ.8Òàê êàê Ïôàôôîâû èåðàðõèè ãîðàçäî ìåíåå èçó÷åíû, ÷åì áîëåå ïðèâû÷íûå èåðàðõèè ÊÏ èëè Òîäû, òî ìû íàøëè ïîëåçíûì äàòü ïîäðîáíîåñðàâíåíèå ýòèõ èåðàðõèé.Ãëàâà 4Ýòà ãëàâà ïîñâÿùåíà îäíîêîìïîíåíòíûì ðåäóêöèÿì ïôàôôîâûõ èåðàðõèé. Êàê è â ïðåäûäóùåé ãëàâå, èçó÷åíèå ïôàôôîâûõ èåðàðõèé íà÷èíàåì ñ áîëåå ïðîñòîé èåðàðõèè dDKP. Ðàññìîòðèì åå îäíîêîìïîíåíòíûåðåäóêöèè, ñ÷èòàÿ, ÷òî âñå äèíàìè÷åñêèå ïåðåìåííûå çàâèñÿò îò âðåìåít ÷åðåç îäíó åäèíñòâåííóþ ïåðåìåííóþ, â êà÷åñòâå êîòîðîé, áåç îãðàíèåíèÿ îáùíîñòè, ìîæíî âûáðàòü ìîäóëÿðíûé ïàðàìåòð τ . Ìû ïîêàæåì,÷òî òàêèå ðåäóêöèè êëàññèôèöèðóþòñÿ ðåøåíèÿìè äèôôåðåíöèàëüíîãîóðàâíåíèÿ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì àíàëîãîì óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà.
 êîìïëåêñíîì àíàëèçå ýòî "ýëëèïòè÷åñêîå óðàâíåíèå Ëåâíåðà"òàêæå èçâåñòíî êàê óðàâíåíèå Ãîëóçèíà-Êîìàöó: τ τ4πi ∂τ u(z, τ ) = − ζ1 u(z, τ )+ξ(τ ) 2 + ζ1 ξ(τ ) 2 ,ζ1 (u, τ ) := ∂u log θ1 (u|τ ) è ξ(τ ) ïðîèçâîëüíàÿöèÿ τ òàê íàçûâàåìàÿ "ôóíêöèÿ óïðàâëåíèÿ"ãäå(26)(íåïðåðûâíàÿ) ôóíêèëè "óïðàâëÿþùàÿôóíêöèÿ". Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ýëåìåíòîì òåîðèè ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé äâóñâÿçíûõ îáëàñòåé ñ ðàçðåçîìíà êîëüöî.×òîáû îïèñàíèå îäíîêîìïîíåíòíîé ðåäóêöèè áûëî ïîëíûì, ìû äîëæíû âûâåñòè óðàâíåíèå, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåòτ (t)è íàéòè åãî ðåøå-íèÿ.S u(z) + ξ(τ )0∇(z)τ =∂t0 τ.S 0 (ξ(τ ))(27)Ýòî ïðîèçâîäÿùåå óðàâíåíèå äëÿ èåðàðõèè óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà.
×òîáû çàïèñàòü èõ, âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì00S (u(z) + u) = S (u) +X z −kk≥1êîòîðîå îïðåäåëÿåò ôóíêöèèkBk0 (u) = Bk0 (u|τ ).Bk0 (u),(28) òåðìèíàõ ýòèõ ôóíê-öèé, óðàâíåíèÿ èåðàðõèè ïîñëå ðåäóêöèè âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:∂τ∂τ= φk (ξ(τ )|τ ),∂tk∂t0Bk0 (ξ(τ )|τ )φk (ξ(τ )|τ ) := 0,S (ξ(τ )|τ )9k ≥ 1.(29)Îáùåå ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:∞Xtk φk (ξ(τ )|τ ) = Φ(τ ),(30)k=1ãäåΦ(τ )ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ îòΦ(τ ) = 0,ìû çàêëþ÷àåì èç (30), ÷òîτ .
 ñàìîì ïðîñòîì ñëó÷àå, êîãäàX ∂τtk= 0, ò.å τ (t) îäíîðîäíàÿ∂tkk≥1ôóíêöèÿ îò âðåìåí ñòåïåíè0.Òàêæå ìû îòìå÷àåì íåîæèäàííóþ ñâÿçü ñ óðàâíåíèåì Ïåíëåâå. Àèìåííî, ìû ïîêàæåì, ÷òî âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîτýëëèïòè÷åñêîãî óðàâ-íåíèÿ Ëåâíåðà (26), ñ îïðåäåëåííûì âûáîðîì óïðàâëÿþùåé ôóíêöèè,äàåò çàïèñàííîå â ýëëèïòè÷åñêîé ôîðìå óðàâíåíèå Ïåíëåâå VI ñî ñïåöèàëüíûìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ.Äàëåå ìû ïðîäåëûâàåì àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ äëÿ îäíîêîìïîíåíòíîé ðåäóêöèè áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-Òîäû.
Íàøà öåëü- îõàðàêòåðèçîâàòü êëàññ ôóíêöèéu(z, λ), η(λ), τ (λ),êîòîðûå ñîãëàñó-þòñÿ ñî âñåé èåðàðõèè. Äëÿ ïðîñòîòû â äàëüíåéøåì ìû ïîëàãàåìÏîëó÷àåì, ÷òî äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ ôóíêöèèèη(τ ),λ = τ.u(z, τ ), ū(z, τ )÷òîáû îíè áûëè ñîâìåñòíûìè ñ áåñêîíå÷íîé èåðàðõèåé Ïôàôô-Òîäû ÿâëÿþòñÿ:4πi ∂τ η(τ ) = −ζ1η2 τη+ iκ 2 − ζ1 2 − iκ τ2 τη4πi∂τ u(z, τ ) = −ζ1 u + + iκ 2 + ζ1 2 + iκ τ2η2(31) 4πi∂τ ū(z, τ ) = −ζ1 u + η − iκ τ + ζ1 η − iκ τ2222Ïðîèçâîäÿùèå óðàâíåíèÿ äëÿ áåñêîíå÷íîé ðåäóöèðîâàííîé èåðàðõèè:S 0 (u(z) + ξ)∂t0 τ ,∇(z)τ =S 0 (ξ)¯S 0 (ū(z̄) + ξ)¯∇(z̄)τ = −∂t0 τ.S 0 (ξ)(32)Îíè ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà.
×òîáû íàïèñàòüèõ ÿâíî, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ïîëüçóåìñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè àíàëîãàìè ïîëèíîìîâ Ôàáåðà. Ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ:∂τ∂τ= φk (ξ(τ )|τ ),∂tk∂t0∂τ∂τ= ψk (ξ(τ )|τ ),∂ t̄k∂t010(33)ãäå¯ )|τ )B̄k0 (ξ(τψk (ξ(τ )|τ ) = − 0.S (ξ(τ )|τ )Bk0 (ξ(τ )|τ )φk (ξ(τ )|τ ) = 0,S (ξ(τ )|τ )(34)Îáùåå ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå ãîäîãðàôà:Xtk φk (ξ(τ )) +Φt̄k ψ0 (ξ(τ )) = Φ(τ ).(35)k≥0k≥1ÇäåñüX- ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ îòτ.Ãëàâà 5Ìû èçó÷àåì äèàãîíàëüíûåò.å. òåïåðüìåííûõλj .uN-êîìïîíåíòíûå ðåäóêöèè èåðàðõèè dDKP,áóäåò çàâèñåòü îò âðåìåí ÷åðåçNâåùåñòâåííûõ ïåðå-Îòïðàâíîé òî÷êîé áóäåò ñëóæèòü ñèñòåìàNýëëèïòè÷å-ñêèõ óðàâíåíèé Ëåâíåðà, êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåò çàâèñèìîñòüu(z)îòïåðåìåííûõλj :i ∂τττ4πi ∂λj u(z, {λi }) = − ζ1 u+ξj , 2 + ζ1 ξj , 2,∂λjh(36) ñâîþ î÷åðåäü èõ óñëîâèå ñîâìåñòèìîñòè âûðàæàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîéñèñòåìîé Ãèááîíñà-Öàðåâà ∂τ1 ∂ξk00=ζ1 (−ξk + ξj , τ ) − ζ1 (ξj , τ ),∂λj4πi∂λjäëÿ âñåõ∂ 2τ1∂τ ∂τ=℘1 (ξk − ξj , τ 0 ),∂λk ∂λj2πi∂λk ∂λjj = 1, .
. . , N , j 6= k . Çàâèñèìîñòü ïåðåìåííûõ λj(37)(38)îò âðåìåíôèêñèðóåòñÿ ñèñòåìîé êâàçèëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñëåäóþùåãî âèäà∂λj∂λj= φj,k ({λi }),∂tk∂t0ñ(39)φj,k ({λi }), îïðåäåëåííûõ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùèì ñëó÷àÿì ñ ïîìîùüþýëëèïòè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ Ôàáåðà. Ìû ïîêàæåì, ÷òî óñëîâèåì ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû (39) ÿâëÿåòñÿ∂λj φi,n∂λj φi,n0=φj,n − φi,nφj,n0 − φi,n011äëÿ âñåõi 6= j , n, n0 ,ò.å. íåçàâèñèìîñòüΓij :=∂λj φi,nφj,n − φi,n(40)îò n. Äàëåå ìû çàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà àññîöèèðîâàííà ñ äèàãîíàëüíîéìåòðèêîé åãîðîâñêîãî òèïà, à ðåøåíèå ìîæåò áûòü íàéäåíî ñ ïîìîùüþîáîáùåííîãî ìåòîäà ãîäîãðàôà, ðàçðàáîòàííîãî Öàðåâûì.Çàêëþ÷åíèå äàííîé äèññåðòàöèè èçó÷àëèñü áåçäèñïåðñèîííûå èåðàðõèè ÏôàôôÊÏ è Ïôàôô-Òîäû, èõ ðåäóêöèè è óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ðåäóêöèè äîïóñòèìû.
Îñíîâíûìè òåõíè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè ÿâëÿþòñÿ ìåòîäû ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé è òåîðèè èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì.Ññûëêè1. V. Akhmedova and A. Zabrodin,elliptic Lowner equation,arXiv:1404.5135Dispersionless DKP hierarchy andJ. Phys. A: Math. Theor. 47 (2014) 392001.Elliptic parametrization of Pfaintegrable hierarchies in the zero dispersion limit, Theor. Math. Phys.2. V. Akhmedova and A. Zabrodin,185 (2015) 410-422.arXiv:1412.84353. V. Akhmedova and A.
Zabrodin,and elliptic Lowner equation,arXiv:1605.01561Dispersionless Pfa-Toda hierarchyJ. of Math. Phys. 57-10 (2016).4. V. Akhmedova, T. Takebe, A. Zabrodin,Multi-variable reductions ofthe dispersionless DKP hierarchy, J. Phys. A: Math. Theor. 50 (2017). arXiv:1707.0152812.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
