Элементарные функции и их графики. Учебное пособие, страница 3

Периодическая функция имеет бесконечно многопериодов, все они кратны числу Т.Все введенные в этом параграфе определения используются при исследовании функций и построении графиков.§ 6. Основные элементарные функцииВ этом параграфе мы рассмотрим основные элементарные функции. Для каждой функции запишем ее свойства иначертим график.Степенные функцииy = xα , где α О Ў . Рассмотримнесколько частных случаев степенной функции.19Функции y = x 2 n ( n О Ґ ).

Функции определены на всейчисловой прямой, D( f ) = Ў . Они принимают только неотрицательные значения, E ( f ) = [0; + ∞ ) . Функции являются четными, их графики симметричны относительно оси ординат.Эти функции ограничены снизу. В точке x = 0 они имеютминимум и принимают наименьшее значение, равное 0, сверху функции не ограничены(рис. 5).Функции y = x 2 n − 1 ( n О Ґ ).

Функции определены навсей числовой прямой, D( f ) = Ў . Множества их изменения –также вся числовая ось E ( f ) = Ў , то есть эти функции неограничены ни сверху, ни снизу. Функции являются нечетными, их графики симметричныотносительно начала координат(рис. 6).1− 2n= 2 n ( n О Ґ ). Функции определеныФункции y = xxдля всех значений х, отличных от 0, то есть D( f ) = Ў \{0} .ОнипринимаюттолькоположительныезначенияE ( f ) = (0; + ∞ ) .

Эти функцииограничены снизу, но они непринимают свое наименьшеезначение. Функции являютсячетными, их графики симмет20ричны относительно оси ординат. При x > 0 функции убывают, при x < 0 функции возрастают. Графики функций непересекают оси координат (рис. 7).1− 2n+ 1= 2 n − 1 ( n О Ґ ). Функции опредеФункции y = xxлены для всех значений х, отличных от 0, то естьD( f ) = Ў \{0} . Множества их изменения также все значенияу, отличные от 0, то естьE ( f ) = Ў \ {0} . Эти функциине ограничены ни сверху, ниснизу. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат.

Функции убываютпри x < 0 и при x > 0 . Точка x = 0 – точка разрыва функции.Графики функций не пересекают оси координат (рис. 8).Функции y =2nx=12x n( n О Ґ ). Функции определеныдля всех неотрицательных значений х, то естьD( f ) = [0; + ∞ ) . Множества их изменения также все неотрицательные значения у, то есть E ( f ) = [0; + ∞ ) . Эти функцииограничены снизу и не ограничены сверху. Наименьшее значение у = 0 функции принимаютпри х = 0. Функции возрастаютна всей области своего определения. Графики функций расположены в первой четверти(рис. 9).21Функции y = x 2 n и y =2nx взаимнообратны при x ≥ 0, а значит, их графики симметричны относительно биссектрисы первой четверти.Функции y =2n − 1x=12nx −1( n О Ґ ).

Функции определе-ны для всех значений х, тоесть D( f ) = Ў . Множестваих изменения – также всезначения у, то есть E ( f ) = Ў.Эти функции не ограниченыни сверху, ни снизу. Функции возрастают на всей областисвоего определения. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат (рис. 10).Функции y = x 2 n − 1 и y =2n − 1x взаимнообратны. Ихграфики симметричны относительно биссектрисы первой итретьей четвертей.Функции y = x−12n=1( n О Ґ ). Функции определеныx2nдля всех положительных значений х, то есть D ( f ) = (0; + ∞ ) .Множества их изменения – также все положительные значения у, то есть E ( f ) = (0; + ∞ ) .Эти функции ограничены снизу и не ограничены сверху, ноони ни в одной точке не принимают свое наименьшее значение.

Функции убывают на22всей области своего определения. Графики функций расположены в первой четверти (рис. 11).1Функции y = x − 2 n и y = x − 2 n взаимнообратны приx > 0 , и их графики симметричны относительно биссектрисыпервой четверти.Функции y = x−12n− 1=12n− 1x( n О Ґ ).Функции определе-ны для всех значений х, отличных от 0, то есть D( f ) = Ў \{0}. Множества их изменения – также все значения у, отличныеот 0, то есть E ( f ) = Ў \ {0} . Эти функции не ограничены нисверху, ни снизу. Функции являются нечетными, их графикисимметричны относительноначала координат. Функцииубывают при x < 0 и приx > 0 .

Точка x = 0 – точкаразрыва функции. Графикифункций не пересекают осикоординат (рис. 12).1Функции y = x − 2 n + 1 и y = x − 2 n − 1 взаимнообратны. Ихграфики симметричны относительно биссектрисы первой итретьей четвертей.Тригонометрические функции.Функция y = sin x . Область определения функции – всячисловая прямая, D( f ) = Ў . Она принимает значения,удовлетворяющие условиюy Ј 1 , то есть E ( f ) = [ − 1; 1] .23Функция ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значениеπ+ 2π n ( n О ў ), и2эти точки являются точками минимума.

Наибольшее значеy = − 1 функция принимает в точках x = −π+ 2π m ( m О ў ),2и эти точки являются точками максимума. График функцииy = sin x пересекает ось абсцисс в точках x = π k ( k О ў ).Функция y = sin x является периодической, ее периодние y = 1 функция принимает в точках x =T = 2π . Функция y = sin x яв-ляется нечетной,ее график симметричен относительно начала координат. Функция не является монотонной на всей области определения, но она возрастает на каж-π πдом промежутке  − + 2π n; + 2π2 2n  ( n О ў ) и убывает на3ππ+ 2π m ( m О ў ). Графиккаждом промежутке  + 2π m;22этой функции называется синусоидой. Учитывая периодичность, достаточно построить график на отрезке длиной 2π ,например [0; 2π ] , а затем копировать его (рис.

13).Функция y = cos x . Область определения функции всячисловая прямая:D( f ) = Ў . Она принимает значения,удовлетворяющие условиюy Ј 1 , то есть E ( f ) = [ − 1; 1] .24Функция ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значениеy = − 1 функция принимает в точках x = π + 2π n ( n О ў ), иэти точки являются точками минимума. Наибольшее значение y = 1 функция принимает в точках x = 2π m ( m О ў ), иэти точки являются точками максимума. График функцииy = cos x пересекает ось абсцисс в точках x = π + π k ( k О ў2y=cosx). Функцияявляется периодической, ее периодy=cosx является четной, ее график симT = 2π . Функцияметричен относительно оси ординат. Функция не являетсямонотонной на всей области определения, но она возрастаетна каждом промежутке [π + 2π n; 2π + 2π n ] ( n О ў ) и убываетна каждом промежутке [ 2π m; π + 2π m] ( m О ў ).

График этойфункции называется косинусоидой. Учитывая периодичность, достаточно построить график на отрезке длиной 2π ,например [0; 2π ], а затем копироватьего(рис. 14).Функцияy = tg x . Область определения функции все действительныезначениях,x=кромеπ+πm2( m О ў ):мπьD( f ) = Ў \ н + π m m О ў э . Множество ее изменения – всяо2ючисловая прямая, E ( f ) = Ў .

Функция y = tg x не ограничена25ни сверху, ни снизу. Она не имеет точек экстремума и непринимает ни наименьшее, ни наибольшее значения. Графикфункции y = tg x пересекает ось абсцисс в точках x = π k (k О ў ). Функция y = tg x является периодической, ее периодT = π . Функция y = tg x является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Функция не является монотонной на всей области определения, но она воз-π πрастает на каждом промежутке  − + π n; + π n  ( n О ў ), в2 2точкахπ+πn(2n О ў ) функцияимеет разрывы.График этой функции называется тангенсоидой.

Учитываяпериодичность, достаточно построить график на отрезке длиx= π π ной π , например  − ;  , а затем копировать его (рис. 15). 2 2Функция y = ctg x . Область определения функции всеx = π m ( m О ў ):действительные значения х, кромеD( f ) = Ў \ { π m m О ў } . Множество ее изменения – вся чи-словая прямая, E ( f ) = Ў . Функция y = ctg x не ограниченани сверху, ни снизу. Она не имеет точек экстремума и непринимает ни наименьшее, ни наибольшее значения.

Графикфункции y = ctg x пересекает ось абсцисс в точках26π+ π k ( k О ў ). Функция y = ctg x является периодиче2ской, ее период T = π . Функция y = ctg x является нечетной,ее график симметричен относительно начала координат.Функция не является монотонной на всей области определения, но она убывает на каждомпромежутке( π n; π + π n )(x=n О ў ), в точкахx = π n ( n О ў ) функция имеет разрывы. График этой функции называется котангенсоидой.

Учитывая периодичность,достаточно построить график на отрезке длиной π , например ( 0; π ) , а затем копировать его (рис. 16).Обратные тригонометрические функции.Напомним определения обратных тригонометрическихвыражений. Арксинусом числа а называется угол α такой, π π что sin α = a и α ∈  − ;  . Арккосинусом числа а называ 2 2ется угол α такой, что cos α = a и α ∈ [0; π ] . Арктангенсом π π числа а называется угол α такой, что tg α = a и α ∈  − ;  2 2. Арккотангенсом числа а называется угол α, такой, чтоctg α = a и α ∈ (0; π ) .27Функция y = arcsin x является обратной к функцииy = sin x . Используя свойства прямой функции, получимсвойства обратной. Для этого рассмотрим часть графикафункции y = sin x , на которой синус каждое свое значениепринимает только один раз (промежуток монотонности π π функции) – отрезок  − ;  .

Функция y = arcsin x каждому 2 2значению синуса ставит в соответствие его аргумент. Такимобразом, область определения функции y = arcsin x – отре π π зок [–1; 1], множество изменения – отрезок  − ;  . Функ 2 2ция ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значениеy= −πфункция принимает в точке2π2функция принимает в точке x = 1 .Функция y = arcsin x является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Функция является монотонновозрастающей на всей области определения.

График функции y = arcsin x симметричен рассмотренной выше частиграфика функции y = sin x относительно биссектрисы перx = − 1 , наибольшее значение y =вой и третьей координатных четвертей (рис. 17).Функция y = arccos x является обратной к функцииy = cos x . Используя свойства прямой функции, получим28свойства обратной. Для этого рассмотрим часть графикафункции y = cos x , на которой косинус каждое свое значениепринимает только один раз (промежуток монотонности функции) – отрезок [ 0; π ] . Функцияy = arccos x каждому значениюкосинуса ставит в соответствиеего аргумент. Таким образом,область определения функции y = arccos x – отрезок [–1; 1],множество изменения – отрезок [ 0; π ] . Функция ограниченаи сверху и снизу. Наименьшее значение y = 0 функция принимает в точке x = 1 , наибольшее значение y = π функцияпринимает в точке x = − 1 .

Функция y = arccos x не являетсяни четной, ни нечетной. Функция является монотонно убывающей на всей области определения. График функцииy = arccos x симметричен рассмотренной выше части графика функции y = cos x относительно биссектрисы первой итретьей координатных четвертей (рис. 18).Функция y = arctg x является обратной к функцииy = tg x . Используя свойствапрямой функции, получимсвойства обратной. Для этогорассмотрим одну ветвь графика функции y = tg x , на которой тангенс каждое свое значение принимает только один раз (промежуток монотонно-29 π π сти функции) – интервал  − ;  .

Функция y = arctg x каж 2 2дому значению тангенса ставит в соответствие его аргумент.Таким образом, область определения функции y = arctg x –вся числовая прямая, D( f ) = Ў , множество изменения – ин π π тервал  − ;  . Функция ограничена и сверху и снизу, но 2 2она не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значений. Функция y = arctg x является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Функция являетсямонотонно возрастающей на всей области определения.

График функции y = arctg x симметричен ветви графика функции y = tg x относительно биссектрисы первой и третьейкоординатных четвертей (рис. 19).Функция y = arcctg x является обратной к функцииy = ctg x . Используя свойства прямой функции, получимсвойства обратной. Для этого рассмотрим одну ветвь графика функции y = ctg x , на которой котангенс каждое свое значение принимает только одинраз (промежуток монотонностифункции) – интервал ( 0; π ) .Функция y = arcctg x каждомузначению котангенса ставит в соответствие его аргумент. Таким образом, область определения функции y = arcctg x –вся числовая прямая, D( f ) = Ў , множество изменения – интервал ( 0; π ) .