Элементарные функции и их графики. Учебное пособие, страница 5

Построение графиковдробно-линейных функцийax + b, где c ≠ 0 и ad ≠ bc , назыcx + dвается дробно-линейной. Графиком этой функции являетсягипербола.Частным случаем дробно-линейной функции являетсяФункция вида y =k. График этойxфункции состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. При k > 0 гипербола расположена впервой и третьей четвертях, при k < 0 – во второй и четвертой четвертях.3x + 10Пример 11. Постройте график функции y =.2x + 4Решение.Выделимцелуючастьдробифункция обратной пропорциональности y =3x + 10 3x + 6 + 4 1,5( 2 x + 4) + 42=== 1,5 +.2x + 42x + 42x + 4x+ 2Таким образом, уравнение, которым задается график функy=ции, примет вид y = 1,5 +2. График заданной функции поx+ 2лучается из графика функции y =411сдвигом на 2 единицы поxоси OX влево, растяжением вдоль оси OY в 2 раза и сдвигомна 1,5 единицы по оси OY вверх.Заметим, что график функции не пересекает прямыеx = − 2 и y = 1,5 , хотя и приближается к ним достаточно близко.

Такие прямые называются асимптотами графика функции. График дробно-линейной функции имеет две асимптоты– вертикальную x = − 2 и горизонтальную y = 1,5 . Построение графика удобно начинать именно с нахождения асимптот:для нахождения вертикальной асимптоты приравниваем знаменательдроби нулю, а для нахождения горизонтальнойасимптоты выделяем целую часть дроби (рис. 34).Построение графика произвольной дробно-линейнойax + bвыполняется по алгоритмам, разобранcx + dным в примере 11.Упражнения8. Постройте графики функций:функции y =9.а) y = 2 3x − 1 ;б) y =4 x + 10 − 3 ;в) y = 2 +3− x ;г) y = 2 x + 5 − 3 ;д) y = 2 −x+ 4;е) y = 3 −2x + 9 .Постройте графики функций:а) y = 3 ⋅ 2 x − 1 ;б) y = 0,52 x + 3 − 6 ;в) y = 20,5 x − 4 ;г) y = log2 ( x + 3) − 1 ;42x− 2;е) y = 2 cos 3 x + 3 ;2ж) y = − log0,5 ( x + 5) ; з) y = log3 ( 2 x − 1) + 4 .д) y = 3 sin10. Постройте графики функций:а) y = x 2 − 7 x + 2 ;б) y = 2 x 2 − 10 x − 1,5 ;в) y = − x 2 + 4 x + 6 ;г) y = 0,5 x 2 − 3x − 3 ;д) y = − x 2 − 6 x + 1 ;е) y = − 0,5 x 2 + 2 x + 5 .11.

Постройте графики функций:4x − 12x + 5а) y =;б) y =;x+ 3x− 25 − 4x3 − 2xг) y =;д) y =;x− 4x− 13x + 5;x− 47 − 2xе) y =.x+ 2в) y =§ 10. Построение графиков функций,содержащих модуль x, x ≥ 0По определению x =  − x, x < 0 . Исходя из этого, получаем, что график функции y = x состоитиз двух лучей: y = x при неотрицательныхx и y = − x при отрицательных x. Построение этого графика можно проводить также,используя преобразование симметрии относительно оси ОХ.Так как модуль любоговыражения неотрицателен,то все точки графика43хy = f ( x) расположены выше оси абсцисс, или на оси абсцисс. Из этого следует, что для получения графика функцииy = f ( x) все точки графика функции y = f (x ) , лежащиевыше или на оси ОХ, нужно оставить на месте, а все точки, лежащие ниже оси ОХ, отобразить симметрично относительноэтой оси.Пример 12.

Постройте график функции y = x − 3 − 4 .Решение. Построение графика будем выполнять последовательно. Сначала строим график функции y = x . Затемсдвигаем его на 3 единицы вправо и на 4 единицы вниз. Заметим, что при этом вершина графика окажется в точке скоординатами x0 = 3 и y0 = − 4 (рис. 35).2Пример 13. Постройте график функции y = x − 3 x − 4 .Решение. Построение графика будем выполнять последовательно.Сначаластроим график функцииy = x 2 − 3x − 4 как параболу с вершиной в точкеx0 = 1,5 , y0 = − 6, 25 и ветвями,направленнымивверх.

Затем точки графика, расположенные ниже оси ОХ, –это точки, у которых координата x принадлежит интервалу(− 1; 4) , – отображаем симметрично относительно этой оси(рис. 36).44Пример14.Постройтеграфикфункцииy = 2x2 − 4 x + 1 .Решение.Функцияy = 2 x − 4 x + 1 – четная.2Ее график симметричен относительно оси OY, причемпри неотрицательных x онсовпадаетспараболойy = 2 x 2 − 4 x + 1 , имеющей вершину x0 = 1 , y0 = − 1 и ветви,направленные вверх. Сначала построим часть данной параболы при неотрицательных х, а затем полученную кривую симметрично отобразим относительно оси OY (рис.

37).Упражнения12. Постройте графики функций:а) y = | x 2 − 7 x + 10 | ;б) y = | x 2 − x − 6 | ;в) y = | x 2 − 7 x + 12 | ;г) y = | x 2 − 3x − 10 | ;д) y = | x 2 − 2 x − 8 | ;е) y = | x 2 + 3 x − 4 | .13. Постройте графики функций:а) y = x 2 − 2 | x | − 4 ;б) y = x 2 − 4 | x | − 1 ;в) y = x 2 + 2 | x | − 3 ;г) y = x 2 − 6 | x | + 1 ;д) y = x 2 − 8 | x | + 4 ;е) y = x 2 − 6 | x | + 2 .14. Постройте графики функций:а) y = | x 2 − 7 | x | + 6 | ;б) y = | x 2 − 3 | x | − 4 | ;в) y = | x 2 − 6 | x | + 5 | ;г) y = | x 2 + 2 | x | − 8 | ;45д) y = | x 2 − 6 | x | + 8 | ;е) y = | x 2 − | x | − 6 | .15.

Постройте графики функций:б) y = 2|x − 1| − 4 ;а) y = 1 + log2 | x − 3 | ;в) y = 2 | cos x | − 1 ;г) y = | log2 ( x + 1) | − 2 ;д) y = | 2 x + 3 − 6 | ;е) y = 4 sin | x | − 2 .§ 11. Гармонические колебанияТригонометрические функции используются для описания различных колебательных процессов: колебания груза,подвешенного на пружине, вокруг положения равновесие, закон изменения переменного тока в цепи, колебания маятника, распространение звуковых и цветовых волн и т.д.Формулы y = A sin(ω x + ϕ ) и y = A cos(ω x + ϕ ) , с помощью которых описываются такие процессы, называютсяформулами гармонических колебаний. Положительная величина А называется амплитудой колебания, положительнаявеличина ω – частотой колебания, величина ϕ – начальнойфазой колебания. Амплитуда характеризует размах колебания, частота – количество колебаний в единицу времени.Построение графиков гармонических колебаний (гармоник) y = A sin(ω x + ϕ ) , y = A cos(ω x + ϕ ) производится внесколько этапов.Рассмотрим алгоритм построения графика функцииy = A sin(ω x + ϕ ) : а) строим график функции y = sin x ;б) строим график функции y = sin( x + ϕ ) , сдвигая графикфункции y = sin x на |ϕ| единиц по оси ОХ (если ϕ > 0 , то46сдвигаем влево, если ϕ < 0 , то сдвигаем вправо); в) строимграфик функции y = sin(ω x + ϕ ) , сжимая его в ω раз к осиOY; г) строим график функции y = A sin(ω x + ϕ ) , растягиваяего в A раз от оси ОХ.y = A sin(ω x + ϕ )Заметим,чтофункциииy = A cos(ω x + ϕ ) , описывающие гармонические колебания,2π.

Они ограниωчены сверху и снизу, их наибольшее и наименьшее значенияравны ± A .Пример 15. Постройте график гармонического колебаявляются периодическими с периодом T =2π цжния y = 3cos з 2 x −ч.3 шиРешение. Дляэтой гармоники амплитуда A = 3 , частота– ω = 2 , начальная фаза2π.3Строим график функ-–ϕ = −2πции y = cos x ; сдвигаем наединиц по оси ОХ вправо;3сжимаем график к оси OY в 2 раза; растягиваем от оси OX в 3раза (рис. 38).47Пример 16.

Постройте график гармонического колеба-π цжния y = 3cos 2 з x − ч .6шиРешение. Преобразуем формулу, раскрыв в аргументеπ цжкосинуса скобки: y = 3cos з 2 x − ч . Следовательно, для этой3шигармоники амплитуда A = 3 , частота – ω = 2 , начальная фазаπ.3Строим графикфункции y = cos x ;–ϕ = −π3единиц по оси ОХ вправо; сжимаем график к оси OY в 2 раза; растягиваем от оси OXв 3 раза (рис.

39).Пример 17. Постройте график гармонического колебасдвигаем график наπ ния y = − 3 cos 2 x −  .3Решение. Эта формула не задает гармоническое колебание, так как A = − 3 < 0 . Применив формулу приведенияcos( x + π ) = − cos x ,преобразуемформулуквиду:π цжy = 3cos з 2 x + ч .3шиСледовательно, для48этой гармоники амплитуда A = 3 , частота – ω = 2 , начальнаяфаза – ϕ =π.3πСтроим график функции y = cos x ; сдвигаем наеди3ниц по оси ОХ влево; сжимаем график к оси OY в 2 раза; растягиваем от оси OX в 3 раза (рис.

40).Упражнения16. Постройте графики функций:2π б) y = − cos x +3 жx π ца) y = 3sin з + ч ;и2 4ш2π в) y = 2 cos 2 x −;3 3π г) y = 3 cos 3x −;4 π д) y = 4 sin 2 x +  ;6π е) y = 2 sin 3x −  ;45π ж) y = 1,5 cos 4 x +;3  x 5π з) y = 4 cos +.2 8 49Литература1. Абрамов А.М., Виленкин Н.Я., Дорофеев Г.В.

Избранныевопросы математики. Факультативный курс. / А.М. Абрамов, Н.Я. Виленкин, Г.В. Дорофеев. М.: Изд-во «Просвещение», 1980.2. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа длявтузов / A.Ф. Бермант. – М.: Изд-во физ-мат. литературы,1963.3. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа, т.1 / К.А. Бохан, И.А. Егорова, К.В.