Элементарные функции и их графики. Учебное пособие (968721), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Точка О, соответствующая числу 0,разбивает координатную прямую на два луча: положительный и отрицательный. Число, изображением которого накоординатной прямой является точка М, называется коорди8натой точки М. Если x1 < x2 , то точка с координатой x1 лежит левее точки с координатой x2 .Особое значение в математике имеют подмножествамножества , называемые числовыми промежутками: отрезок[a; b] – множество точек х, удовлетворяющих условиюa ≤ x ≤ b ; интервал (a; b) – множество точек х, удовлетворяющих условию a < x < b ; полуинтервалы [a; b) и (a; b] –множества точек х, удовлетворяющих условиям a ≤ x < b иa < x ≤ b соответственно; бесконечные промежутки (a; +∞),(– ∞; b), [a; +∞), (–∞; b] – множества точек х, удовлетворяющих условиям x > a , x < b , x ≥ a , x ≤ b соответственно.Множество точек числовой прямой, удовлетворяющихусловию x ∈ (a − r; a + r ) , называется окрестностью точкиа радиуса r.
Окрестность можно записать также через двойное неравенство a − r < x < a + r или неравенство с модулем| x − a |< r .§ 2. Понятие функцииПусть Х и Y – некоторые числовые множества и пустьуказано правило, по которому каждому элементу х множества Х поставлено в соответствие единственное значение у измножества Y. Это соответствие называется функцией иобозначается y = f (x ) . Переменная х называется независимой или аргументом, переменная у – зависимой или функцией.
Множество Х называется областью определенияфункции и обозначается D(f ). Множество Y (множество всехзначений, которые принимает переменная у) называется об9ластью изменения (областью значений) функции и обозначается E(f ).Две функции называются равными, если они имеютодинаковые области определения и каждому значению аргумента они ставят в соответствие одно и тоже число.Наиболее распространенный способ задания функции –аналитический, то есть с помощью формулы. Например,функцию, ставящую в соответствие каждому неотрицательному числу х его квадратный корень, можно записать в видеy=xилиf ( x) =x . Этот способ задания функциикомпактен, содержит полную информацию о свойствахфункции и наиболее удобен при проведении расчетов. Еслине сделано специальной оговорки, то за область определенияфункции берут все значения аргумента, для которых указанные в формуле действия выполнимы.
Например, областьопределения функции f ( x ) =x все неотрицательные значе-3x − 1–2x − 4область определения все действительные значения х, кромеx = 2 , то есть D(g) = \{2}.Иногда для разных значений х функция задается разными формулами. В этом случае используют обозначение:ния х, то есть D( f ) = [0; + Ґ ) , а для функции g ( x ) = f1 ( x ), x ∈ X 1f ( x ) = f 2 ( x ), x ∈ X 2 , причем X 1 ∪ X 2 ∪ ... ∪ X n = D( f ) ....f(x),x ∈ Xn nГрафик такой функции состоит из n частей.10На практике часто используют табличный способ задания функции. При этом способе задания функции приводится таблица, в которой для имеющихся значений аргумента указываются соответствующие значения функции. Табличный способ важен потому, что он является основнымпри описании реальных зависимостей, возникающих припроведении различных экспериментов.
С математическойточки зрения табличное задание функции неполно, так каконо позволяет найти значение функции только для тех значений аргумента, которые заданы в таблице. Однако оно позволяет высказать предположение об аналитическом представлении функции, и, применяя различные методы приближенных вычислений, найти это представление.Рассмотрим декартову систему координат на плоскости. Множество точек плоскости, координаты которыхудовлетворяют условию ( x, f ( x ) ) , называется графикомфункции y = f (x). Графическое представление функции удобно для непосредственного восприятия ее особенностей, описания свойств.
Однако графический способ неудобен при выполнении расчетов.Функции можно также задавать словесно. Например,функция Дирихле задается таким описанием: значение функции равно 1, если x рационально, и 0, если x иррационально.Примеры функций:1. Функция y = f ( x)каждому положительному11xчислу х ставит в соответствие число y = 1 , каждому отрицательному числу х ставит в соответствие число y = − 1 иy (0) = 0 (рис. 1).
Эта функция называется знаком числа х и 1, x > 0y=sgnx=обозначается − 1, x < 0 . 0, x = 02. Функция y = f ( x) каждому числу x ∈ [n; n + 1) , гдеn ∈ , ставит в соответствие число n (рис. 2).Эта функция называетсяцелой частью числа х иобозначается y = [x ] .3.y = f ( x)Функциякаждомучислу x ∈ [n; n + 1) ,где n ∈ , ставит всоответствие числоx − n (рис. 3). Этафункция называется дробной частью числа х и обозначаетсяy = {x} .§ 3. Сложная функцияПознакомимся с понятием суперпозиции функций, которое состоит в том, что в качестве аргумента одной функции используется другая функция.
Полученная в результатесуперпозиции функция называется сложной функцией. Записывается сложная функция следующим образом:12y = g ( f ( x )) . Например: z = f ( x ) = x 2 + 1 , y = g ( z ) =гда сложная функция y = g ( f ( x )) =z . То-x 2 + 1 . Чтобы найтизначение сложной функции, подставляют сначала заданноезначение x0 во внутреннюю функцию и находят ее значениеz0 = f ( x0 ) , а затем уже вычисляют соответствующее значение функции y0 = g ( z0 ) .При выполнении суперпозиции функций считают, чтомножество значений внутренней функции f (x ) содержитсяв области определения внешней функции g (z ) .Сложную функцию можно составить из большего числа более простых функций.Пример 1. Сложную функцию f ( x ) =log2 sin x пред-ставьте в виде цепочки элементарных функций.Решение.
Будем последовательно выполнять операции,которые заданы в формуле: z = sin x , t = log2 z , y =t . Сле-довательно, заданная в условии задачи функция являетсясуперпозицией трех основных элементарных функций.Пример 2.Даны функции y =z + 1, z = t 4 , t = sin u,u = 2 x . Запишите сложную функцию y = f (x ) .Решение. Подставляя последовательно функции одну вдругую, получим сложную функцию y =sin 4 2 x + 1 .§ 4. Обратная функцияПусть функция y = f ( x) , определенная на множествеХ, такова, что любым двум различным значениям аргумента13х ставит в соответствие различные значения у, то есть, еслиx1 ≠ x2 , то y1 = f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) = y2 . Эта функция устанавливает взаимнооднозначное соответствие между областью своего определения Х и областью изменения Y.Действительно, каждой точке x ∈ X ставится в соответствие единственное y ∈ Y . При этом каждой точке y ∈ Y соответствует единственное x ∈ X , такое, что y = f ( x) .
Такимобразом, на множестве Y определена функция f − 1 , котораяназывается обратной к функции f. Область определенияобратной функции – множество Y, область значений –множество Х. Графики функции y = f ( x) и обратной кней функции y = f − 1 ( x) симметричны относительно прямой y = x (рис. 4). Дляобратныхфункцийверносоотношениеf ( f − 1 ( x )) = f − 1 ( f ( x )) = x .Для нахождения обратной функции необходимо из равенства y = f ( x) выразить х через у, и в полученном выражении x = f − 1 ( y ) букву х заменить буквой у, букву у – буквойх.Пример 3. Имеют ли функцииf ( x ) = 0,5(3x + 7) иg ( x ) = x 2 + 1 обратные? Если да, то найдите их.14Решение.
Выразим х из формулы y = 0,5(3 x + 7) . Получим x =2y − 7. Обозначив аргумент через х, а функцию че32x − 72x − 7−1, то есть функция f ( x ) =33является обратной к функции f ( x ) = 0,5(3x + 7) .рез у, получим y =Функция g ( x ) = x 2 + 1 не имеет обратной, так как онанеявляетсяg ( − 1) = g (1) = 2 .взаимнооднозначной.Действительно,Пример 4. Являются ли функцииg ( x) =f ( x) = x 2иx взаимнообратными?Решение. Нет, так как g ( f ( x )) =x 2 = x ≠ x .
Однако,если данные функции рассматривать только при x і 0 , тоесть считать D( f ) = [0; + Ґ ) , то эти функции становятся взаимнообратными.§ 5. Свойства функцийОпределение 1. Функция y = f ( x ) называется монотонно возрастающей на множестве X ⊂ D( f ) , если длялюбой пары точек x1, x2 ∈ X из условия x1 < x2 следует, чтоf ( x1 ) < f ( x2 ) , то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции.Определение 2.
Функция y = f ( x ) называется монотонно убывающей на множестве X ⊂ D( f ) , если для любой пары точек x1, x2 ∈ X из условия x1 < x2 следует, что15f ( x1 ) > f ( x2 ) , то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.Монотонно возрастающие и монотонно убывающиефункции называют монотонными.Монотонные функции обладают следующими свойствами:1) сумма двух монотонно возрастающих (монотонноубывающих) функций является монотонно возрастающей(монотонно убывающей) функцией;2) произведение двух положительных монотонно возрастающих (монотонно убывающих) функций является монотонно возрастающей (монотонно убывающей) функцией;3) если функция y = f ( x) монотонно возрастающая(монотонно убывающая), то функция y = − f ( x) монотонноубывающая (монотонно возрастающая);4) если положительная функция y = f ( x) является монотонно возрастающей (монотонно убывающей), то функцияy=1является монотонно убывающей (монотонно возf ( x)растающей);5) если функция y = f ( x) монотонная, то она имеетобратную функцию.Определение 3.
Функция y = f ( x) называется ограниченной сверху на множестве X ⊂ D( f ) , если существует такое число М, что значение функции в любой точке не превосходит этого числа, то есть для любого x ∈ X выполняетсянеравенство f ( x ) ≤ M .16Определение 4. Функция y = f ( x) называется ограниченной снизу на множестве X ⊂ D( f ) , если существует такое число m, что значение функции в любой точке не меньшеэтого числа, то есть для любого x ∈ X выполняется неравенство f ( x ) ≥ m .Ограниченная сверху и снизу на множестве Х функцияназывается ограниченной на этом множестве.
Другими словами, если функция f ( x ) ограничена на множестве Х, то существуют такие числа m и М, что m ≤ f ( x ) ≤ M для всехx ∈ X . Условие ограниченности можно также записать ввиде | f ( x ) |≤ M для некоторого положительного числа М.Определение 5. Точка x0 ∈ D( f ) называется точкоймаксимума функции y = f ( x) , если существует окрестностьэтой точки такая, что для всех точек x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f ( x ) < f ( x0 ) .Определение 6. Точка x0 ∈ D( f ) называется точкойминимума функции y = f ( x) , если существует окрестностьэтой точки такая, что для всех точек x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f ( x ) > f ( x0 ) .Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции.Заметим, что функция в области своего определенияможет иметь несколько точек максимума или минимума.Определение 7.
Будем говорить, что в точкеx0 ∈ X ⊂ D( f ) функция y = f ( x) принимает наибольшее на17множестве Х значение, если для всех точек x ∈ X справедливо неравенство f ( x ) ≤ f ( x0 ) .Определение8.Будемговорить,чтовточкеx0 ∈ X ⊂ D( f ) функция y = f ( x) принимает наименьшее намножестве Х значение, если для всех точек x ∈ X справедливо неравенство f ( x ) ≥ f ( x0 ) .Если множество Х представляет собой отрезок [a; b], тонаибольшее и наименьшее значения функция принимаетлибо в точке экстремума, либо на конце отрезка.Говорят, что множество Х симметрично относительно начала координат, если для любой точки x ∈ X противоположная точка − x ∈ X .Определение 9. Функция y = f ( x) называется четной,если ее область определения симметрична относительно начала координат, и f ( − x ) = f ( x ) для любого x ∈ D( f ) .Определение 10. Функция y = f ( x ) называется нечетной, если ее область определения симметрична относительноначала координат, и f ( − x ) = − f ( x ) для любого x ∈ D( f ) .График четной функции имеет ось симметрии: так какточки ( x; f ( x )) и ( − x; f ( x )) принадлежат графику функции,то он симметричен относительно оси ординат.
График нечетной функции имеет центр симметрии: так как точки( x; f ( x )) и ( − x; − f ( x )) принадлежат графику функции, тоон симметричен относительно начала координат.Четные и нечетные функции обладают следующимисвойствами:181) сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная);2) произведение двух четных (нечетных) функций естьфункция четная; произведение четной и нечетной функцийесть функция нечетная;3) если нечетная функция f ( x) определена в нуле, тоf (0) = 0 ;4) всякая функция, определенная на множестве Х, симметричном относительно начала координат может бытьпредставлена в виде суммы двух функций, определенных наХ, причем одна из этих функций является четной, а другая –нечетной.Определение 11. Функция y = f ( x ) называется периодической, если существует такое число T > 0 , что для любого x ∈ D( f ) точка x + T ∈ D( f ) и справедливо равенствоf ( x + T ) = f ( x) .Наименьшее из чисел Т в определении 11 называют периодом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
