Элементарные функции и их графики. Учебное пособие (968721), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Функция ограничена и сверху и снизу, но она30не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значений.Функция y = arcctg x не является ни четной, ни нечетной.Функция является монотонно убывающей на всей областиопределения. График функции y = arcctg x симметричен ветви графика функции y = ctg x относительно биссектрисыпервой и третьей координатных четвертей (рис. 20).Показательная функция y = a x , где a > 0 и a № 1 .Область определения функции – вся числовая прямая,D( f ) = Ў . Функция принимает только положительныеE ( f ) = (0; + ∞ ) .значения:Функция ограничена снизу ине ограничена сверху.
Она не принимает ни наименьшего, нинаибольшего значений, неимеет точек экстремума.Показательная функция неявляется ни четной, ни нечетной. График функциипересекает ось ординат вточке (0; 1) , ось абсцисс онне пересекает. При a > 1 функция является возрастающей(рис. 21), а при 0 < a < 1 – убывающей (рис. 22) на всей области определения.Логарифмическая функция y = loga x , где a > 0 иa ≠ 1 . Логарифмическая функция является обратной к показательной. Поэтому ее область определения – множество по-31ложительных чисел, D( f ) = (0; + ∞ ) , область изменения –множество действительных чисел, E ( f ) = Ў .
Функция неограничена ни сверху, ни снизу. Она не принимает ни наименьшего, ни наибольшегозначений, не имеет точек экстремума. Логарифмическая функция не является ни четной,ни нечетной. График функциипересекает ось абсцисс в точке(1; 0) , ось ординат график непересекает. При a > 1 функцияявляетсявозрастающей(рис. 23), а при 0 < a < 1 – убывающей (рис.
24) на всей области определения. График функции y = loga x симметричен графику функции y = a x относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей.1.УпражненияНайдите области определения функций:x+ 1а) y = 2;б) y = 14 − 5 x − x 2 ;x − 5x + 6x− 715 + 2 x − x 2 ;в) y =;г)y=x 2 − 9 x + 20xx+ 9д) y = 3;е) y = ( x + 1)( x 2 − 4 x − 12) ;x − 4x32ж) y =x2 − 9 ;x− 6з) y = log3 ( 4 x − 7) ;x+ 1.5Найдите множества изменения функций:к) y = arcsinи) y = log2 (12 + 4 x − x 2 ) ;2.а) y = x 2 − 10 x + 17 ;б) y =в) y = log2 ( x 2 − 6 x + 13) ;г) y = 4 sin 2 x ;12 + 4 x − x 2 ;е) y = 3 ⋅ 24 x + 1 − 7 .3x + 22 − 3xДокажите, что функции y =и y=яв2x + 32x − 3ляются взаимно обратными.Какие из данных функций будут четными, какие нечетными:д) y = − 5 sin x + 2 ;3.4.5.6.а) y = x 4 − 3x 2 − 7 ;б) y = 2 x 5 + 7 x 3 − 8 x ;в) y = x ⋅ sin x + 2 cos x ;г) y =x2 + 9 + 2 | x |;x− 1д) y = ( x 2 + x ) ⋅ cos x ;е) y = lg.x+ 1Определите, какие функции будут периодическими инайдите их периоды:π x 3π а) y = 4 sin 2 x + ;б) y = 5 cos +;42 8 5π 2π в) y = 2 tg 3 x −;г) y = ctg 4 x −.12 3 Представьте сложную функцию в виде цепочки элементарных функций:а) y =x 3 − 3x 2 + 11 ;б) y =3335x2− 9x+ 1+ 21 ;в) y = sin( x 2 +x + 2) ;г) y =sin 3 x 2 + 9 ;е) y = sin 6 (lg(3x + 4)) .Составьте суперпозиции f ( g ( x )) и g ( f ( x )) , если:а) f ( x ) = x 3 , g ( x ) = x + 3 ; б) f ( x ) = cos x , g ( x ) = x 2 ;д) y = lg(cos( 2 x + 1)) ;7.в) f ( x ) =x , g ( x) = x2 + x + 1;г) f ( x ) = x − 1 , g ( x ) = 2 x − 1 .§ 7.
Линейные преобразования графиковфункцийВ этом параграфе мы рассмотрим основные линейныепреобразования графиков функций – параллельный переносграфика функции и растяжение графика функции.1. Параллельный перенос графикафункции y = f (x ) вдоль оси OY, то естьb<0 b>0построение графика вида y = f ( x ) + b .Если b > 0 , то ординаты всех точек графика функции увеличиваются на b единиц, а если b < 0 , тоординаты всех точек графика функции уменьшаются на bединиц.2. Параллельный перенос графикафункции y = f (x ) вдоль оси OХ, то естьпостроение графика вида y = f ( x − a ) . a <0 a >0Если a > 0 , то график функции сдвигаетсяна а единиц вправо, а если a < 0 , то график функции сдвигается на a единиц влево.34Пример 5. Задан график функции y = f (x ) (рис.
25).Постройте графики функций y = f ( x ) − 2 и y = f ( x − 2) .Решение. Перенесем заданный график функции на двеединицы вниз или вправо соответственно (рис. 26).3. Построение графикафункции y = f ( x − a ) + b осуществляется последовательнымвыполнением параллельных переносов графика функцииy = f (x ) вдоль осей координат.Пример 6. Постройте график функции y =x + 5 + 1.Решение.Известный график степеннойфункцииy=x (рис. 9) пере-несем на единицувверх и на пять единиц влево (рис. 27).4.«Растяжение»графикафункции y = f (x ) от оси OХ, тоесть построение графика функцииy = Af (x ) .
Если A > 1 , то ординатакаждой точки графика увеличивает35А>10<A < 1ся в А раз (растяжение графика функции от оси OХ) и уменьшается в1раз, если 0 < A < 1 (сжатие графика функции кAоси OХ).5. Симметрия относительно осиОХ, то есть построение графика функциихy = − f (x ) .
При этом каждаяА = –1точка графика функции отображаетсяв точку, симметричную относительно оси OХ.6. Построение графика функции y = Af (x ) , если A < 0 ,проводится как последовательное выполнение двух преобразований – симметрии относительно оси OХ и растяженияот оси OХ.Пример 7. Заданграфикфункцииy = f (x ) (рис.
25). Постройтеграфикифункций y = 3 f ( x ) иy = − 0,5 f ( x ) .Решение. График функции y = 3 f ( x ) получим растяжением в три раза графика функции y = f (x ) от оси OX.Чтобы построить график функции y = − 0,5 f ( x ) необходимоисходный график сначала отразить относительно оси OХ, азатем сжать его в два раза вдоль оси OY(рис. 28).0<k<17.
«Сжатие» графика функцииy = f (x ) к оси OY, то есть построениеk>136графика функции y = f (kx ) . При k > 1 абсциссы точек графика функции уменьшаются в k раз, происходит сжатие графика функции к оси OY. При 0 < k < 1 абсциссы точек графика функции увеличиваются в1раз, происходит растяжениеkграфика функции от оси OY.8. Симметрия относительно оси ОY, тоесть построение графика функции y = f ( − x )у. При этом каждая точка графика функцииk = –1отображается в точку, симметричную ей относительно оси OY.9. Построение графика функции y = f (kx ) , если k < 0 ,проводится как последовательное выполнение двух преобразований – симметрии относительно оси OY и сжатия к осиOY.Пример 8. Задан график функции y = f (x ) (рис.
25).Постройте графики функций y = f (2 x ) и y = f ( − 0,5 x) .Решение. График функции y = f (2 x ) строится путемсжатия графика функции y = f (x ) в два раза к оси OY. Дляпостроенияграфикафункции y = f (− 0,5 x)нужносимметричноотразить график исходной функции относительно оси OY и растянуть его вдоль осиOX в два раза (рис. 29).37Заметим, что, так как график функции y = f (x ) симметричен относительно оси OY, то есть функция f ( x ) являетсячетной, то отражение относительно OY не меняет вид графика.Пример 9. Постройте график функции y = 2 4 − x .Решение.Запишем функцию в видеy = 2 − ( x − 4) .
Следовательно,построениеграфика производитсяпоследовательным выполнением преобразований известногографика функции y =x (рис. 9): симметричное отражениеотносительно оси OY, параллельный перенос на четыре единицы вправо и растяжение графика от оси OХ в два раза(рис. 30).§ 8. Линейные и квадратичные функцииy = kx + b .
Функция определенана всей числовой прямой, D( f ) = Ў . Множество ее изменения – также множество всех действительных чисел,E ( f ) = Ў . Функция не ограничена. Она не имеет точек эксЛинейная функциятремума. При k > 0 функция является возрастающей, приk < 0 – убывающей.При k = 0 функция является постоянной. Графиком линейной функции является прямая.38Угловой коэффициент k прямой равен тангенсу угла междупрямой и положительным направлением оси абсцисс,k = tg α (рис.
31). Из аксиом геометрии известно, что еслидве точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямаяпринадлежит плоскости. Поэтому для построения графикалинейной функции достаточно задать две точки.Квадратичная функцияy = ax 2 + bx + c( a ≠ 0 ).Функция определена на всей числовой прямой. Графикомквадратичной функции является парабола.Для построения графика квадратичной функции целесообразно преобразовать формулу, выделив полный квадрат:2b ц 4ac − b2жy = ax + bx + c = a з x += a ( x − x0 ) 2 + y 0 ,ч +2a4aиш2гдеb4ac − b 2, y0 =. Таким образом, получаем, что вер2a4aшина параболы находится в точке с координатамиx0 = −x0 = −b4ac − b 2. График квадратичной функции сим, y0 =2a4aметричен относительно прямой x = x0 .При a > 0 ветви параболы направлены вверх.
В точкеx0 функция имеет минимум и принимает в этой точке наименьшее значение. При x > x0 функция возрастает, приx < x0 функция убывает. В этом случае квадратичная функция ограничена снизу и не ограничена сверху.39При a < 0 ветви параболы направлены вниз. В точке x0функция имеет максимум и принимает в этой точке наибольшее значение. При x > x0 функция убывает, при x < x0функция возрастает. В этом случае квадратичная функцияограничена сверху и не ограничена снизу.Если дискриминант соответствующего квадратногоуравнения положителен, то парабола пересекает ось абсциссв двух точках. Если дискриминант равен нулю, то параболакасается оси абсцисс.
Если дискриминант отрицателен, топарабола расположена выше оси абсцисс, если a > 0 , и нижеоси абсцисс, если a < 0 .Пример 10. Постройте графики функций y = x 2 − 2 x − 3и y = 2 x − x2 − 2 .Решение. Вершина параболыкоординатыx0 = 1y = x2 − 2 x − 3имеетиy0 = − 4 . Так как старшийкоэффициент a = 1 положителен, то ветви параболынаправлены вверх. Также,решивуравнениеx 2 − 2 x − 3 = 0 , можно найти точки пересечения с осью абсцисс:x1 = − 1 и x2 = 3 (рис. 32).Дляпараболыy = 2 x − x − 2 аналогично полу2чаем, что x0 = 1 и y0 = − 1 , и ветви ее направлены вниз. Дан40ная парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс, таккак дискриминант соответствующего квадратного уравненияотрицателен (рис. 33).§ 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
