Элементарные функции и их графики. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской ФедерацииТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТСИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИИ.Э. Гриншпон, Я.С. ГриншпонЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИИ ИХ ГРАФИКИУчебное пособиеТомскИздательство Томского государственного университетасистем управления и радиоэлектроники2011Гриншпон И.Э., Гриншпон Я.С.Элементарные функции и их графики: учеб. пособие /И.Э. Гриншпон, Я.С. Гриншпон. – Томск: Изд-во Томск. гос. ун-тасистем упр. и радиоэлектроники, 2011.

– 52 с.Приведены определения, свойства и графики основных элементарных функций, а также правила линейных преобразований графиков функций. Особое внимание уделено графикам гармонических колебаний.Учебное изданиеГриншпон Ирина ЭдуардовнаГриншпон Яков СамуиловичЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИИ ИХ ГРАФИКИУчебное пособиеКомпьютерная верстка Я.С. ГриншпонаПодписано в печать .

. . Формат 60×84/16.Усл. печ. л. …... Заказ . Тираж экз.Томский государственный университетсистем управления и радиоэлектроники.634050, г. Томск, пр. Ленина, 40.Тел. 8 (3822) 533018. Гриншпон И.Э., Гриншпон Я.С., 2011 Изд-во Томск. гос. ун-та систем упр. ирадиоэлектроники, 20112ВведениеПри изучении различных явлений мы обычно имеемдело с совокупностью переменных величин, связанных между собой так, что значения одних переменных величин (независимых переменных) определяют значения других переменных величин (зависимых переменных или функций). Например, при изменении радиуса круга меняется его площадь.При изменении скорости тела изменяется путь, пройденныйтелом за данный промежуток времени. При изменении сопротивления проводника изменяется сила тока в цепи.Отвлекаясь от конкретного смысла переменных, математика рассматривает абстрактные переменные величины,изучает их взаимосвязи.Понятие переменой величины (функции) является одним из центральных понятий математического анализа.

Оноявляется для математики и ее приложений, связанных с изучением переменных величин, таким же фундаментальным,как понятие числа для арифметики.Как и остальные понятия математики, понятие функциисложилось не сразу, а прошло долгий путь развития.Впервые понятие функции было введено в знаменитомтруде математика и философа Рене Декарта «Геометрия»(1637 г.) под названием «переменная величина».

В геометрическом и механическом понимании это понятие интерпретируется у Исаака Ньютона (1671 г.). Под функцией он понимал переменную величину, которая изменяется с течениемвремени. Эту величину Ньютон называл «флюентой».3Термин «функция» (от латинского functio – исполнение) впервые ввёл в 1673 году немецкий математик ГотфридЛейбниц в письме к Гюйгенсу. У Лейбница функция связывалась с геометрическим образом (под функцией он понималотрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону). В работах Декарта, Ферма, Ньютона иЛейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо смеханическими представлениями.

В 18 веке функцию сталирассматривать как формулу, связывающую одну переменнуюс другой. Швейцарский математик Иоганн Бернулли в 1718году определил функцию следующим образом: «функциейпеременной величины называют количество, образованноекаким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». В 1755 году в «Дифференциальном исчислении»Леонард Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, чтопри изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых».Современное определение функции как зависимостиодной переменной величины от другой было дано в работахНиколая Ивановича Лобачевского («Об изчезании тригонометрических строк», 1834 г.) и чешского математика Бернарда Больцано.Введение переменной в математику оказало решающеевлияние на развитие математической науки.

Кроме количественных соотношений между постоянными величинами, математика смогла изучать процессы, связанные с изменениемвеличин и движением вообще.4Среди всего многообразия функций исторически выделились функции, отличающиеся своей простотой и наиболееширокой областью применения. Это простейшие элементарные функции, основное значение которых состоит в том, чтоони составляют базу для изучения более сложных функций,являясь в большинстве своем составными элементами последних.

К элементарным функциям относятся основные элементарные функции (степенные, тригонометрические, обратные тригонометрические, показательные, логарифмические)и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и суперпозиций.Для успешного усвоения программы по высшей математике студент должен иметь достаточную математическуюбазу. В этом пособии систематизированы сведения о функциях, которые изучались в школе на протяжении всего курсаматематики. В нем рассматриваются основные элементарныефункции, приводятся их свойства, строятся графики. Излагается построение графиков линейной, квадратичной и дробнолинейной функций.

Рассматриваются линейные преобразования графиков функций: параллельный перенос графиков, ихсжатие и растяжение по осям, симметрии относительно осейкоординат. В последнем параграфе рассматриваются гармонические колебания и строятся графики гармоник.Рассмотрение элементарных функций продиктованонеобходимостью повторения и закрепления знаний студентов по данному разделу математики и подготовки их куспешному изучению математического анализа.5§ 1. Множества. Операции над множествами.Числовые множестваМножество – одно из основных понятий современнойматематики. Это понятие не сводится к другим понятиям ине определяется. Объекты, составляющие множество, называют его элементами. Множества обозначают заглавнымилатинскими буквами: A, B, C, X, …, их элементы – прописными буквами: a, b, c, x, … или буквами с индексамиa1, a2, a3, ...

Множество, не содержащее ни одного элемента,называют пустым и обозначают ∅.Чтобы задать множество, необходимо знать, какиеобъекты принадлежат множеству, а какие нет. Если множество содержит немного элементов, то его можно задать,перечислив все его элементы. Если множество заданосписком, то его элементы записывают в фигурных скобкахчерез точку с запятой. Множество цифр можно записать следующим образом: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}; множествопростых чисел, меньших 20, – B = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19};множество дней недели – С = {понедельник; вторник; среда;четверг; пятница; суббота; воскресенье}.Однако задать множество списком можно только тогда,когда оно содержит конечное число элементов (но и это неудобно, если число элементов множества велико).

Существуетуниверсальный способ задания множеств. Множество можетбыть задано с помощью характеристического свойства, тоесть такого свойства, которым обладают все элементы множества, и не обладают объекты, не принадлежащие множеству.Задание множества с помощью характеристического свойства6записывают следующим образом: А = {х | P(х)}, где P(x) – характеристическое свойство.Приведем несколько примеров:1.

Если A = { x x − натуральное число, x < 4} , то A = { 1; 2;3} .2. Пусть B – множество остатков от деления натуральных чисел на 7. Тогда B = { 0;1; 2;3; 4;5;6} .3. Если D – множество действительных чисел, не меньшихдвух и не больших семи, то D – отрезок [2; 7].Рассмотрим два множества A и B. Если каждый элементмножества B является элементом множества A, то говорят,что B – подмножество множества A. Этот факт записываюттак: В ⊂ А.

Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества. Каждое непустое множество Аимеет хотя бы два подмножества – само множество А и пустое множество.Пусть даны два множества А и В.Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Обозначают пересечение множеств A ∩ B:A ∩ B = { х | х ∈ A и х ∈ B}.Объединением (суммой) множеств А и В называетсямножество, состоящее из всех элементов, принадлежащиххотя бы одному из множеств А или В. Обозначают объединение множеств A ∪ B:A ∪ B = { х | х ∈ A или х ∈ B}.7Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащихмножеству В.

Обозначают разность множеств A \ B:A \ B = { х | х ∈ A и х ∉ B}.Элементами множества могут быть различные объекты– числа, слова, геометрические фигуры, функции и т. д. В математике особую роль играют числовые множества, то естьмножества, элементами которых являются числа.Например:  – множество натуральных чисел,  – множество целых чисел,  – множество рациональных чисел,  –множество действительных чисел.Напомним, что натуральными называют числа, используемые при счете предметов, то есть Ґ ={1;2;3;4;5; } .

Целымисчитают натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и число ноль. Таким образом,ў = {0; ± 1; ± 2; ± 3; ± 4;} . Рациональные числа – это обыкновенные дроби с целым числителем и натуральным знаменамmьтелем: ¤ = н m О ў , n О Ґ э . Любое рациональное число мооnюжет быть записано в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.Все десятичные дроби (в том числе и бесконечные непериодические) образуют множество действительных чисел.Действительные числа изображают точками на координатнойпрямой (числовой оси).