Диммертация (Моделирование процессов оценки эффективности инновационных проектов предприятия с использованием реальных опционов), страница 11

А под экспонентой называютфункцию вида f(x)=ex.2161В разделе 2.6 диссертации будут предложены пути преодоления данныхметодологических ограничений.Выше была рассмотрена модель оценки стоимости опционов БлэкаШоулза (англ. Black-Scholes OPM). Осознанное понимание предпосылок,иными словами, фундамента, на которых она построена, позволит нам вдальнейшем улучшить методологию оценки стоимости реальных опционов.2.5 – Биномиальная модель оценки опционов (Binomial Option Pricing Model)Перейдем к изучению второго классического алгоритма оценкистоимости опционов. После выхода в свет в 1973 году работы Ф. Блэка и М.Шоулза интерес к методам оценки стоимости опционов возрос.

В 1979 г.команда авторов в лице Джона Кокса, Стефана Росса и Марка Рубинштейнапубликуют работу “Option Pricing: A Simplified Approach” [57]. Названиеработы оказалось “говорящим само за себя”: подход, который использовалиавторы, действительно, гораздо проще для понимания и использования напрактике. Главная идея метода заключается в замене предпосылок моделиБлэка-Шоулза 2 и 3 (остальные остались в силе) на соответственнонижеследующие:2.Время принимается дискретным;3.Цена базового актива подчиняется биномиальному процессу.Иными словами, в каждый следующий момент времени цена базовогоактива может пойти либо вверх с вероятностью , либо вниз свероятностью (1 − ), изменившись соответственно в (от англ. Up) или в (от англ.

Down) раз, что схематично изображено на рисунке 9, приведенномбез изменений из оригинальной статьи, где – цена базового актива, акции(англ. Stock).62Рисунок 9. Биномиальное изменение цены базового актива.Вводится условие: > > , где = (1 + )(17)Ограничение (17) – логично: если стоимость базового актива растет, тоон приносит доходность больше безрискового вложения, но такое возможно,только если взять на себя риск понести убытки в случае падения стоимостибазового актива.

Стоимость call-опциона в таком случае изображена нарисунке 10, где – стоимость исполнения опционного права:Рисунок 10. Стоимость call-опциона в биномиальной модели.Дерево стоимости опциона идентично по структуре дереву стоимостибазового актива. Стоимость опциона в конечных вершинах однозначноопределяется логическими ограничениями, которые исходят из определенияопционов – см. формулы (1) и (2), т.е. по сути теми же самыми граничнымиусловиями, что использовали Блэк и Шоулз (13).63Далее в работе Кокса-Росса-Рубинштейна следуют на удивлениепростые арбитражные рассуждения (англ.

Arbitrage Pricing Theory, APT).Возможно в текущий момент времени купить call-опцион на покупку активаза ден. ед.. В будущем опцион будет стоить или , если базовый активподорожает, или , если актив подешевеет ден. ед.. Также можно (в силувозможности занимать по предпосылке 6) приобрести ∆ шт. базового актива,заплатив в начальный момент времени ∆ ∗ ден. ед., а также приобрести шт.

безрисковых облигаций, которые принесут в следующем периоде ден.ед.. Поскольку во многих экономических теоретических моделях действуетпредположение об отсутствии арбитражных возможностей извлеченияприбыли без риска, то выполняется простая система уравнений:∆ + = {∆ + = = ∆ + (18)Иными словами, мы составим портфель из такого количества ∆ шт.акций и шт. облигаций, что доходность такого портфеля будет равнадоходности опциона вне зависимости от движения цены базового актива.Средства, которые потрачены на портфель, равны стоимости опциона вначальный момент времени.

Эта простая система трех линейных уравнений стремя неизвестными (, ∆, )22 легко решается:−=−(−) +(−)(19)Введем новую переменную, как:≡−−(20)Стоимость акций в начальный момент времени и параметры изменения их цены запериод , – известны.2264Обратим внимание, что в силу ограничения (17) переменная принадлежит диапазону [0;1], т.е.

обладает свойствами вероятности.Подставляя (20) в (19), получим, что стоимость опциона в начальныймомент времени составляет:С= +(1−)(21)Полученныйособенностей.результатВо-первых,содержитстоимостьнесколькоопциона(21)примечательныхнезависитотвероятностей движения цены базового актива в сторону повышения q или всторону понижения (1 − q). Даже если разные инвесторы по-разномуоценивают вероятности удорожания или удешевления базового актива(акций), то они все равно придут к единому мнению о стоимости опциона.Как писали сами авторы [57]:“What may seem more incredible is what we do not need to know: amongother things, we do not need to know the probability that the stock price will riseor fall23.”Однако, отметим, что вероятности повышения или понижения ценыбазового актива все же влияют на стоимость опциона, но не напрямую, акосвенно, через значения параметров u и d.Во-вторых,стоимостьопционавтекущиймоментможноинтерпретировать, как дисконтированное значение взвешенной будущейстоимости базового актива.

В этом случае параметры p и (1 − p) выступаютв роли весов, и данные веса совпадают, как показали авторы, со значениямивероятностей движения цены базового актива в сторону повышения q и вПеревод с английского языка: “Что может показаться ещё более невероятным, этото, что нам не надо знать (прим. авт.: знать для определения стоимости опциона): средипрочего, нам не надо знать вероятности, с которыми цена акции повысится илипонизится”.2365сторону понижения (1 − q) в случае инвесторов безразличных к риску (англ.risk-neutral). Иными словами, абсолютно все инвесторы на рынке, как несклонные к риску (англ.

risk-averse), так и склонные к риску (англ. riskseeking), сойдутся в равновесии в оценке стоимости опциона [57]:“... the value of the call does not depend on investors’ attitudes towardrisk24.”Рассмотрим не один промежуток времени (T = 1), а, например, два, какизображено на рисунке 11. Стоимость опциона в начальный момент времениC получится итеративно из стоимостей C и C (см.

рисунок 12), которые всвою очередь, будут получены из пар C / C и C / C соответственно.Последние пары стоимостей оционов представляют собой стоимость вконечных вершинах согласно логическим условиям (1) и (2). Рассужденияостаются аналогичными при любом количестве дискретных промежутковвремени.Рисунок 11. Дерево стоимости базового актива в случае T=2.Перевод с английского языка: “Стоимость call опциона (прим. авт.: как и put опциона)не зависит от отношения инвесторов к риску.”2466Рисунок 12. Дерево стоимости опциона в случае T=2.Таким образом, стоимость опциона как производного инструментазависит от следующих входных параметров: стоимость базового актива вначальный момент времени S0 , цена исполнения опциона K, интервалвремени T,параметрыизменчивостиценыбазовогоактива (u; d),безрисковой ставки дисконтирования r: = (0 ; ; ; ; ; )(22)Сравнивая характеристики Binomial OPM с Black-Scholes OPM,отметим, что биномиальная модель:более понятна интуитивно и проста в вычислениях;требует больше времени на вычисления;не требует в качестве входного параметра вариацию доходностибазового актива, и поэтому проще в применении на практике.Отметим,Рубинштейна,чторезультаты,сходятсякполучаемыерезультатамметодомметодаКокса-Росса-Блэка-Шоулзаприбесконечном увеличении количества итераций (T → ∞).

При этом обычно67параметры изменения цены базового актива выражают как функцию отволатильности и количества итераций: = √/(23) = −√/(24)Представляется, что метод Кокса-Росса-Рубинштейна применительно кспецифичным особенностям инвестиций в реальные инновационные проектычрезмерно упрощает дерево сценариев, используя лишь биномиальноедвижение с равными временными интервалами. Если в случае финансовыхопционов, для которых разрабатывался метод, оперативность принятиярешения за счет упрощения метода и снижения точности оценки может бытьоправдано, то в случае реальных инновационных проектов более критичнодать максимально корректную оценку, даже если это будет стоитьсравнительно бо̀льших временных и человеческих ресурсов.

В следующемразделе будут предложены пути преодоления данных методологическихограничений.В разделе был рассмотрен второй классический метод оценки стоимостиопционов, Binomial OPM, а также приведены его отличительные черты отметода Блэка-Шоулза.2.6 – Анализ применимости предпосылок основных методов к случаюреальных опционовИзучим вопрос о релевантности предпосылок, на которых построеныосновные методы оценки эффективности инновационной деятельности.Прежде всего отметим, что по ряду причин в данной работе подробноизучены основные, но не все возможные методы оценки реальных опционов.68Во-первых, как отмечалось выше, подавляющее большинство методовосновано или на Black-Scholes OPM, или на Binomial OPM: происходитусложнение математического аппарата, рассматриваются частные случаи,меняются виды распределения волатильности и т.п., но базис не изменяется;Во-вторых, многие методы представляют собой настолько сложныйматематический аппарат, что рассматриваются лишь как теоретическиеконструкции, без возможностей апробации на практике, что не соответствуетцели нашей работы;В-третьих,поройпутаютметодыоценкистоимостиопционов(финансовых) и методы оценки стоимости реальных опционов.

Разницамежду ними существенна и критична, будет рассмотрена подробнее ниже напримеремоделейБлэка-ШоулзаиКокса-Росса-Рубинштейна.Дляинтересующегося читателя приведем пример широкого перечня методовоценки стоимости финансовых опционов – см. Приложение 5;В-четвертых, изучение множества всех построенных в литературемоделейнепредставляетсявозможным,следуетограничиватькруграссмотрения, руководствуясь принципом Парето (“20% усилий дают 80%результата”).Сведемосновныеприменительнок“проблемные”случаюоценкиместарассмотренныхэффективностиметодовинвестицийвинновационные проекты и сразу обозначим наиболее перспективные иэффективные пути их решения.DCF-метод с критерием в виде NPV:1.В расчёте не учитывается ценность управленческой гибкости – решениеобинвестицияхпринимаетсябезучетавозможностейкомпании/инвесторов отреагировать на изменившуюся конъюнктуру,что особенно актуально для инновационных проектов.Предлагаемое решение состоит в конструировании и внедрении винновационныепроектыреальныхопционов,примерыкоторых69приведены в таблице 2.