Автореферат (Модели «копула» в управлении рыночным риском российских банков), страница 3

определяется следующим образом:3Символ[ ] обозначает целую часть.14( ( )(2)( ) ) ,..., F (u ( ) )) ,где u = ( u ( ) , u ( ) ,..., u ( ) ) , где u ( ) = F ( y ( ) ) - значение частной функцииC ( u, α ) = FX FX−(11) u ( ) , FX−(12) u (1122d−1dX( )diiiX( )распределенияслучайногоi-ойвектораслучайной(компонентыX = X ( ) , X ( ) ,..., X (12)Td),( i = 1,..., d )функциеймногомерногосовместногораспределения которого является FX ; α = ( a1 , a2 ,..., ak ) - вектор параметровфункции копулы.Фактически структурный сдвиг является дискретным, не непрерывным.Переход от одной копулы к другой осуществляется в разные временныепериоды, которые зависят от частотности данных (например, на следующийдень при использовании дневных наблюдений).Тогда необходимо проверить гипотезу такого вида:H 0 : С1 = С2(3)H1 : С1 ≠ С2 ,(4)где С1 , С2 - некоторые копулы (необязательно одного семейства).При отклонении нулевой гипотезы необходимо построить оценкумомента структурного сдвигаm , для которого вероятности ошибок первого ивторого рода были бы достаточно малы (стремились к нулю с увеличениемобъема выборки N ), а оценка параметра структурного сдвига (разладки) θˆN ,была бы состоятельной, т.е.

стремилась бы к истинному параметру разладки θпри увеличении объема выборки N .Предлагаемый методобнаружения основан на непараметрическомподходе сравнения эмпирических копулDl (u ) , которые для каждоговременного периода l = 1,K, N − 1 определяются как:Dl (u ) =1 l1 l dI(U≤u)=∑ i ,l∑∏ I (U ij ,l ≤ u j )l i =1l i =1 j =115(5)1 N1 N dDN −l (u ) =∑ I (U i, N −l ≤ u ) = N − l i∑∏ I (U ij ,N −l ≤ u j ) ,N − l i =l +1=l +1 j =1(6)где u j - порог сетки разбиения d-мерного единичного куба; I () функция-индикатор, принимающая значение единицы при выполнении условияв скобках; U i ,l = (U i1,l ,K ,U id ,l ) - вектор значений частных эмпирическихфункций распределения, где для каждого j = [1,K, d ] верно следующее:U ij ,l =lF j ,l ( X ij ) = rank ( X ij ) /(l + 1), 1 ≤ i ≤ ll +1U ij , N −l = rank ( X ij ) /( N − l + 1), l + 1 ≤ i ≤ NДля обнаружения момента разладкиm(7)(8)используется следующаямодификация статистики Колмогорова-Смирнова4 (модификация учитываетсоотношение размера выборки до и после момента l разбиения всей выборки):Ψ l , N −l (u ) = ( Dl (u ) − DN −l (u )) l ( N − l ) / N(9)TN =(10)max[ β N ]≤l ≤[(1− β ) N ]sup| Ψ l , N −l (u ) | ,uгде задана константа 0 < β < 1/ 2 , чтобы выполнялось неравенство[ β N ] ≤ l ≤ [(1 − β ) N ] .Оценка момента структурного сдвига строится следующим образом:mˆ N ∈ Argmax[ β N ]≤l ≤[(1− β ) N ]sup| Ψ l , N −l (u ) | ,u(11)ˆN / N .а оценка параметра структурного сдвига определяется как θˆN = mВ исследовании предлагаются и обосновываются следующие показателиэффективности метода обнаружения:1) вероятность ошибки первого рода:4Использование статистики Колмогорова-Смирнова лишь обсуждалось в предыдущихисследованиях (см.

например работы Тсухакары Х.), но рассмотрен был только случайприменения статистики Крамера-фон-Мизеса (см. статью 2009 г. Ремийярда Б. и СкайллетО.). Поскольку статистика Колмогорова-Смирнова не применялась ранее, она былаиспользована в данном диссертационном исследовании.16α N = P0 {TN > G},(12)где G > 0 - выбираемая исследователем граница принятия решения оналичии структурного сдвига;2) вероятность ошибки второго рода:δ N = Pm {TN ≤ G} .(13)3) вероятность ошибки оценивания момента структурного сдвига:для любого малого ε (например, для 0 < ε < 1/ 2 ):γ N = Pm {| θˆN − θ |> ε } .(14)В итоге, получена оценка сверху математического ожидания статистикиTN ,определяющей момент структурного сдвига в копуле.

В полном текстедиссертационного исследования приводятся результаты экспериментальноготестирования алгоритма обнаружения структурного сдвига на примере данных,смоделированных копулами Клэйтона и Гумбеля.Далее приводятся постановки рассматриваемых задач управлениярыночным (процентным и валютным) риском российских банков, которыеставят целью максимизировать целевую функцию (суммарную доходность Rот изменения риск-факторов) при условии, чтобы величина риска ГП(α ) ,измеренная методом границы потерь5, не превысила величины капитала банкаK за счет управления позициямиX , подверженными риску (открытыевалютные позиции (ОВП) – для валютного риска; разрывы (гэпы) ликвидности– для процентного риска). Математически задача имеет следующий вид: E R | X → max) X (, ГП(α ) ≤ K x( j ) ⋅ P = 0j∑ j(15)Граница потерь уровня α ( ГП(α ) , VaR) представляет собой квантиль распределенияубытков от рыночного риска уровня значимости α , т.е.

граница потерь уровня α отражает,какая максимальная величина денежных средств может быть потеряна банком вследствиедвижения рыночных факторов риска с вероятностью не выше (1 − α ) при неизменнойситуации с доступной ликвидностью.517где(X = x ( ) , ... , x (1m))Tиподверженной j-ому риск-фактору (x( j) –размер управляемой позиции,j = 1,..., m );K – капитал банка; P j -значение j-ого риск-фактора; ГП(α ) = − FR−1 (α ) - величина рыночного рискабанка (граница потерь уровняα ),определяемая как квантиль функции( j)и Rраспределения целевой доходности R , где R = ∑ R( j)= η j ⋅ x ( j ) , гдеjη j ( t ) = ln ( Pj ( t ) Pj ( t − 1) ) - логарифмическая доходность («доходность») j-огориск-фактора за период [t − 1; t ] .Задачауправленияценовымрискомвоперацияххеджированияпредставляет собой частный случай задачи управления рыночным риском с темотличием, что управление производится не всеми позициями, а толькопозицией в срочных (хеджирующих) активах.

Иными словами, задачахеджирования ценового риска состоит в его минимизации, т.е. в минимизацииизменения целевой функции (стоимости портфеля, состоящего из базового ихеджирующего активов). Традиционный способ хеджирования реализуется последующему правилу из формулы (16) (также именуемым МНК-подходом,посколькуполученныйкоэффициент(оптимальноехеджирующеесоотношение) равен коэффициенту парной регрессии доходности срочногоактива на доходность базового):h* =σ CASH , FWD,2σ FWD(16)где h * - оптимальное хеджирующее соотношение, σ CASH , FWD - ковариация2между доходностями базового и срочного активов; σ FWD- дисперсиядоходности срочного актива;Учитывая, что минимизировать ценовой риск возможно не только посредствам минимизации колебаний стоимости захеджированного портфеля какв формуле (16), так и через наложение непосредственных ограничений снизу навеличину ценового риска, то автором предложена альтернативная постановка18задачи хеджирования ценового риска, которая предполагает использованиеформулы (17):E ( ГП(α ) | X ) → min(17),Xгде X - позиция в срочном (хеджирующем) активе.Определив порядок оценки момента структурного сдвига в копуле иописав постановки задач управления рыночным риском российских банков, прирешении которых он будет использован, возникает потребность в определениипорядка выбора наилучшей6 модели «копула».Обосновано, что выбор копулы производится по следующему наборуиндикаторов, рассчитанных на множестве экзаменующей (не обучающей)выборки: количество пробоев7 границы потерь рыночного риска; величинамаксимального пробоя границы потерь рыночного риска; среднеквадратическаяошибка ретроспективного прогноза величины рыночного риска; кумулятивнаядоходность рыночного риска; стандартного отклонение реализованногорыночного риска.Перечисленныекритерииформируютиерархическуюсистему,позволяющую путем их последовательного сопоставления для несколькихмоделей «копула» выбрать наилучшую.

Подробный порядок проведения такогосопоставления приводится в полном тексте диссертационного исследования.После формулирования алгоритма оценки момента структурного сдвига вкопулеипорядка«Эмпирическаявыборареализация.наилучшейСравнение«копулы»свтретьейтрадиционнымиглавеподходами»проводится их апробация на российских данных. Вначале описывается выборкопулы для моделирования совместной динамики обменных курсов валют длярешения задачи управления валютным риском, затем процентных ставок – для6Под наилучшей понимается модель «копула», более точно прогнозирующая величинуриска в трех описанных выше задачах управления рыночным риском российских банков.7Пробой – случай превышения фактической реализации риска над его оценкой, полученнойпо средствам метода оценки границы потерь риска ГП(α ) .19задачи управления процентным риском и котировок ценных бумаг и фьючерсов– для управления ценовым риском в операциях хеджирования.При решении каждой из трех обозначенных задач управления рыночнымриском результаты решения в предположении многомерной нормальности(подход 1) сравниваются с решением с использованием копулы (подход 2).Перед решением задачи управления валютным риском был проведенанализ данных на предмет наличия структурного сдвига в копуле совместногораспределения доходностей обменных курсов валют.

Датой сдвига былоопределено 14 декабря 2006 г. Далее был исследован характер совместногораспределения обменных курсов, которое не является распределениемнезависимых случайных величин и не является гауссовским. Учитываятенденции в совместной динамике обменных курсов, оно наилучшим образомописывается архимедовой копулой Гумбеля. Данная копула позволяетсмоделировать факт того, что обратные обменные курсы иностранных валют поотношению к рублю РФ имеют тенденцию одновременно расти, нежелиодновременно снижаться.